浙江省台州市2026届高三下学期二模数学试卷（Word版附解析）

这是一份浙江省台州市2026届高三下学期二模数学试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了04， 已知 为等比数列， ， ，则， 已知 为第二象限角，且 ，则， 已知实数 ， ，若 ， ，则， 已知函数 ，则， 设 ， 为常数，则（等内容，欢迎下载使用。
2026.04
本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.请考生按规定用笔将所
有试题的答案涂、写在答题纸上.
选择题部分（共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 为等比数列， ， ，则 （ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 17
【答案】A
【解析】
【详解】由等比中项的性质知 ，
若该数列的公比为 ，则 ，显然 ，
所以 .
2. 已知 为第二象限角，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由 为第二象限角，知 ，
而 ，故 .
3. 设一个随机事件的样本空间为 ，事件 ，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A. B.
C. 若 ，则 D. 若 ，则
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【答案】D
【解析】
【详解】对于 A，任意事件 的概率都满足 ，故 成立；
对于 B，因 是事件 的对立事件，则 ，所以 ，故 成立；
对于 C，因为 ，则事件 包含事件 所有的样本点，所以 ，故 成立；
对于 D，由 ，仅能说明事件 和事件 的并集为样本空间，但并未说明事件 和事件 是否互
斥，
由概率的加法公式 ，因此，只有当 ，即
时， 才成立，故 不一定成立.
4. 已知实数 ， ，若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【详解】 ，故 ， ，
，故 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 .
5. 已知一个圆锥的底面半径为 ，高为 1，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ）
A. 体积为 B. 表面积为
C. 两条母线的夹角的最大值为 D. 过顶点的截面面积的最大值为 2
【答案】D
【解析】
【分析】先算出母线长，结合体积公式、表面积公式计算后可判断 AB 的正误，求出轴截面的顶角值后可判
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断 CD 的正误.
【详解】对于 A，圆锥的体积为 ，故 A 错误；
对于 B，圆锥的母线长为 ，
故圆锥的表面积为 ，故 B 错误；
对于 C，设圆锥轴截面顶角为 ，则 ，
而 为锐角，故 ，故 ，故两条母线的夹角的最大值为 ，故 C 错误；
对于 D，设两条母线的夹角为 ，则过顶点的截面面积为
而 ，故当 ， ，故 D 正确.
6. 已知点 ， ，点 P 是抛物线 上的动点（异于 A，B 两点），记直线 AP 的斜率为
，直线 BP 的斜率为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 为定值
【答案】C
【解析】
【分析】设 （ ），利用两点斜率公式求 ，再分别求 即
可判断.
【详解】因为点 是抛物线 上异于 的动点，
故设 （ ），
则 ， ，
对于选项 A， ，不是定值，A 错误；
对于选项 B， ，不是定值，B 错误；
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对于选项 C， ，为定值，C 正确；
对于选项 D， ，不是定值，D 错误.
7. 设复数 ， 是关于 x 的方程 的两个根， ， 在复平面内所对应的点分别为
， ，O 为坐标原点，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 为纯虚数
【答案】B
【解析】
【详解】由题知，方程 无实数根，则两个复数根 ， 必为共轭复数， ，
故 C 错误；
又 ，故 为实数，故 A,D 错误，
又 ，则方程的根为 ，
即 ，
，
由 得 ， ，
故 ，故 B 正确.
8. 已知数列 共有 5 项，各项均为正整数，且对 ，满足 ，若 为
数列 中的项，记满足题意的数列 的个数为 ，则 （ ）
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】 时，分数列 仅有一个 1、仅有两个 1、仅有三个 1 讨论求出 ；同理求出 即可．
【详解】解： 时，把数列 的 5 项依次排列，
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数列 只有一个 1 时， 时， 共 3 种，同理 也有 3 种；
时， 共 2 种，同理 也有 2 种；
时， 共 1 种；
数列 仅有两个 1 时， 共 4 种；
数列 仅有三个 1 时， 共 1 种，
综上， ；
时，
数列 只有一个 2 时， 时， 共 3 种，同理 也有 3 种；
时， 共 4 种，同理 也有 4 种；
时， 一种；
数列 仅有两个 2 时， 时， 共 2 种，
同理 时也有 2 种；
时， 共 8 种；
时， 共 1 种；
数列 仅有三个 2 时， 共 4 种，
综上 ，
．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，则（ ）
A. 的最小正周期为 B.
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C. 的值域为 D. 是 图象的一个对称中心
【答案】BC
【解析】
【分析】由最小正周期的公式计算判断选项 A；计算函数值判断选项 B；计算正弦型函数的值域判断选项 C；
代入检验函数的对称中心判断选项 D.
【详解】函数 ，最小正周期为 ，A 选项错误；
， ，B 选项正确；
， ，所以 的值域为 ，C 选项正确；
时， ，又 ，
则 是 图象的一个对称中心，D 选项错误.
10. 设 ， 为常数，则（
）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由 ，利用两个二项式乘积及其展开式通项求对应项系数判断 A、
B，应用赋值法求奇偶数项的和判断 C、D.
【详解】由 ，
对于 ，展开式通项为 ， ，
对于 ，展开式通项为 ， ，
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所以 ，A 对，
，B 对，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 ，则 ，C 错，
，D 对.
11. 已知正四面体 的棱长为 4，顶点 在平面 的同侧，点 ，顶点 到平面 的
距离分别为 1，2，直线 与平面 交于点 ，则（ ）
A. 直线 与平面 所成角为 B. 平面 与平面 所成角为
C. D. 点 到平面 的距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，根据线面角的定义可求其正弦值，故可判断其正误，对于 B，求出 的面积，
进而求出面面角的余弦值判断其正误，对于 C，利用空间垂直关系的转化可判断其正误，对于 D，利用向量
法可求点 到平面 的距离，从而可判断其正误.
【详解】
设 在平面 内的射影为 ， 在平面 内的射影为 ，连接 ，
则 ，
对于 A，因为 ，所以 为直线 与平面 所成的角，
而 ，而 为锐角，故 ，故 A 正确；
对于 B，因为 ，故 ，故四边形 为梯形，
而 ， ，故 ，故四边形 为直角梯形，
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同理
而 ，故 .
在 中， ，
故 ，
而 ，设平面 与平面 所成角为 ，
则 ，故平面 与平面 所成角不为 ，故 B 错误；
对于 C，由题设 平面 ，而 ，故 平面 平面 ，
故 三点共线，而 ，故 为 的中点，
故 ，故 ，
连接 ，则 ，而 ， ，故 ，
而 平面 ，故 平面 ，而 平面 ，
故 ，故 C 正确；
对于 D，由 C 的分析可得 ，故 .
由 可得 为 的中点，故 ，
连接 ，则 ，故 .
过 作平面 的垂线 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，故 ，
设 ，则 ，
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故 ，消元可得 ，故 ，
故 D 正确.
非选择题部分（共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知平面向量 ， ， ，若 ，则 的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量平行坐标表示可得 之间的关系，将问题转化为二次函数最小值的求解即可.
【详解】 ， ，即 ，
，
， 当 时， 取得最小值 .
13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 P 在双曲线 C 上，O 为坐标
原点， ， ，则双曲线 C 的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据双曲线的定义求出 ，然后利用余弦定理分别表示出 及 ，再根据两
个角的关系列出方程求出 ，即可求出双曲线的离心率.
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【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
因为 ， ，所以
在 中，由余弦定理可得 ，
在 中，由余弦定理可得 .
因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 .
所以 .
14. 已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的 2 个白球和 4 个黑球，现操作如下：从袋子中随
机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑
球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作 2 次，记袋中
的白球个数为 ，则 的数学期望为_______.
【答案】 ##
【解析】
【详解】由题设 可取 ，
又 ， ，
，
故 .
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足 .
（1）求角 A 的大小；
（2）若 ， ，求 的周长.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【小问 1 详解】
已知 ，
由正弦边角关系得 ，化简得 ，
应用辅助角公式可得 ，而 ，所以 .
【小问 2 详解】
由余弦定理 ，得 ，解得 ，
所以 ，故 的周长为 .
16. 如图，在四棱台 中，上、下底面均为正方形， 底面 ， ，
， ，点 为棱 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
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（2） .
【解析】
【分析】（1）利用三角形中位线性质以及线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系求出相应的向量坐标，再求出两个面的法向量，用平面夹角的向量公式即可求出
余弦值，进而求得正弦值.
【小问 1 详解】
证明：连接 交 于 点，如图所示：
由 是正方形得 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 为 的中位线，
于是 ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
由已知， 平面 ， ，
所以以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
因为 ，
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所以 ，
因为点 为棱 的中点，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
又 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
又 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
记平面 与平面 的夹角的大小为 ，则：
，
由图可知平面 与平面 的夹角为锐角，
故 .
17. 2016-2024 年我国的国内生产总值（GDP）的数据（摘自《中国统计年鉴-2025》）如下：
年份（x） 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
GDP/万亿元
74.64 83.20 91.93 98.65 101.36 114.92 120.47 129.43 134.91 （y）
由以上数据，得到 x 与 y 的 9 对样本数据为 ， ，…， ，有关计算结果如下：
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， ， .
（1）证明： ；
（2）请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出 2025 年的 GDP 预测值与实际值的误差.（注：
从《中国统计年鉴-2025》中查得 2025 年的 GDP 为 140.19 万亿元.）
附：一元线性回归方程 ，其中 .
【答案】（1）证明见解析
（2） ；3.07（万亿元）
【解析】
【分析】（1）先将原式左侧展开，再根据平均数的计算公式变形即可得证；
（2）由条件求出 ，即可得一元线性回归方程，将 代入回归方程求出预测值 ，预测值与实际
值差的绝对值即为误差.
【小问 1 详解】
左边
=右边，故等式成立；
【小问 2 详解】
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设一元线性回归方程为 ，
则 ，
将 代入回归方程可得 ，解得 ，
所以一元线性回归方程为 .
当 时，求得 ，即 2025 年的 GDP 预测值为 143.26 万亿元，
而 2025 年 GDP 的实际值为 140.19 万亿元，
故误差为 （万亿元）.
18. 已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，点 ，点 T 是椭圆 C
上位于第四象限内的任意一点.
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过点 P 作椭圆 C 的两条切线 ， ，过点 T 作椭圆 C 的切线 l，l 与 ， 的交点分别为 M，N，
（ⅰ）求切线 ， 的方程：
（ⅱ）问 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
【答案】（1）
（2）（ⅰ） ， ；（ⅱ） 为定值，定值为 90°.
【解析】
【分析】（1）根据离心率、焦点坐标确定椭圆的参数，即可得；
（2）（i）设过点 P 的直线方程为 ，联立椭圆并结合相切关系得 求直线的斜率，即可
得；（ii）利用相切关系求得 ，结合（2）所得 ， 求交点坐标，再应用向量数量积的坐标
运算求得 ，即可得.
【小问 1 详解】
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由题意得 ， ，解得 ， ，所以椭圆 C 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
（ⅰ）由题意，设过点 P 的直线方程为 ，联立 ，
消去 y 并整理得 ，
由 ，即 ，解得 ， .
所以切线方程分别为 ， .
（ⅱ）设 且 ，则 且 ，联立 ，
所以 ，则 ，
由相切关系知 ，则 ，
所以 ，则 ，
由 ，则 ，
所以 ，则 ，得 ，
所以 ，即 ，
由 ，联立直线 得 ，则 ，
由 ，联立直线 得 ， ，则 ，
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因为 ， ， ，
所以 ，即 ，
故 为定值，且定值为 90°.
19. 已知 ，函数 .
（1）当 时，求函数 的极小值；
（2）证明：当 时，对任意 ， ，都有 ；
（3）若存在 ， ， ，使得 成立，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用导数研究函数的极小值，即可得；
（2）首先应用导数确定 为增函数，再得到 为增函数，利用单调性即可证明；
（3）设 ， ，从而得到 能成立，利用导数及分析法求右侧的最小值，
即可得.
【小问 1 详解】
由 ，得 .
令 ，解得 ， ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， .
所以 在 、 上单调递增，在 上单调递减，
因此， 的极小值为 ；
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【小问 2 详解】
当 时， ，其中 时取等号，
所以 为增函数，
对任意的 ， ，不妨设 ，则 ，
又 ，
所以 为增函数，得 ，即 ，
故 ；
【小问 3 详解】
由题意，不妨设 ， ，
因为 ，所以 ，
整理得 ， ，
令 ， ， .
①当 时， ，
此时 .
②当 时，令 ，解得 ，
因此， 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，
法一：因为 ，
又因为 ，得 ，即
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所以 ，
记 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
因此，当 时， ，
又 ，
综上， ，
法二：求 最小值的第二种解法.
令 ，因为 ， ，所以 ，
下证： ，
因为
，
只需证： ，
只需证： ，
令 ，则 ，
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因为 ，
所以 ，即 恒成立，
因此， ，
令 ，则 ，对于 ， ，
所以 ，当且仅当 时， .
所以 a 的取值范围是 .
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