浙江省台州市2026届高三下学期二模考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知 为等比数列, ,则
A. 8 B. 12 C. 16 D. 17
【答案】A
【解析】 ,所以 .
2. 已知 为第二象限角,且 ,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 为第二象限角 .
3.设一个随机事件的样本空间为 ,事件 ,则下列结论中不一定成立的是
A. B.
C. 若 ,则 D. 若 ,则
【答案】D
【解析】A 项: 任何 都有 ,成立;
B 项: 对立事件概率和为 1 , 成立;
C 项: 即事件与概率单调性, 成立;
D 项: 不成立,反例: ,如图所示 .
4.已知实数 ,若 ,则
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
5.已知一个圆锥的底面半径为 ，高为 1，则下列对该圆锥的表述正确的是
A. 体积为 B. 表面积为
C. 两条母线的夹角的最大值为 D. 过顶点的截面面积的最大值为 2
【答案】D
【解析】 , ,当且仅当 时取等.
6.已知点 ， ，点 是抛物线 上的动点(异于 ， 两点)，记直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ,则下列结论正确的是
A. 为定值 B. 为定值
C. 为定值 D. 为定值
【答案】C
【解析】设 ,
定值, .
7.设复数 是关于的方程 的两个根， 在复平面内所对应的点分别为 ， 为坐标原点,若 ,则下列结论正确的是
A. B. C. D. 为纯虚数
【答案】B
【解析】一元二次方程的两个复数根为共轭复数,设两根为 ,在复平面内对应点为 ,故 ,又 ,可得 .
对于 错误;
对于 正确;
对于 错误;
对于 错误.
8.已知数列 共有 5 项,各项均为正整数,且对 ,满足 ,若 为数列 中的项,记满足题意的数列 的个数为 ,则
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
【答案】C
【解析】 表示的是数列中包含 1 的数列的个数， 表示的是数列中包含 2 的数列的个数，
故 可以理解为数列中包含 2 但不包含 1 的所有可能数列的个数,
则当 可能得数列有 ,共 6 种;
当 可能得数列有 ,共 3 种;
当 时,避免重复 ,故可能得数列有 ,共 2 种.
当 时,避免重复 ,可能得数列有 ,其 2 种.
当 时,避免重复 ,可能得数列有 ,共 3 种.
则共有 种.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数 ,则
A. 的最小正周期为 B.
C. 的值域为 D. 是 图象的一个对称中心
【答案】BC
【解析】A 项: 对于 ,最小正周期 ,这里 ,因此 ,故 A 错误;
B 项: ,两者相等,故 B 正确;
C 项: ,故 的值域为 , 故 C 正确;
D 项: 图象的对称中心纵坐标为 1,不是 0,所以 不是 图象的一个对称中心,故 错误.
10.设 为常数,则
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】A 项: 令 ,故 A 正确;
B 项: ,故 的系数为 , 故 B 正确;
C 项: 令 ,
令 ,两式相加, ,即 ,故 ,故 C 错误;
D 项: 两式相减, ,即 ,故 D 正确.
11.已知正四面体 的棱长为 4,顶点 在平面 的同侧,点 ,顶点 到平面 的距离分别为 1,2,直线 与平面 交于点 ,则
A. 直线 与平面 所成角为 B. 平面 与平面 所成角为
C. D. 点 到平面 的距离为
【答案】ACD
【解析】
选项 A: 作 于 ,连接 ,则 为直线 与平面 所成的角,所以 ,故 A 正确;
选项 C: 作 于 ,连接 必过点 ,由 知 分别为 的中点,又 是边长为 4 的正三角形,故 ,所以 ,故 C 正确;
选项 B:由三垂线定理知 ，故 为平面 与平面 所成的角，故 B 错误(该选项也可通过面积的射影法得到);
选项 D:记 的重心为 ，连接 交 于 ，作 于 ，则由 知 ，故 ,作 于 ,连接 ,易知 四点共面，作 于 ,则 为点 到平面 的距离,在直角梯形 中,由 知 , 易求 ，故 D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知平面向量 ， ， ， ，若 ，则 的最小值为________.
【答案】
【解析】因为 ,所以 ,即 ,
所以 ,所以 .
13.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 在双曲线 上, 为坐标原点， ， ，则双曲线 的离心率为_______.
【答案】
【解析】根据平行四边形的性质, 得 ,即 ,
解得 ,因为 ,所以 ,即 , 所以双曲线 的离心率 .
14.已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的 2 个白球和 4 个黑球, 现操作如下: 从袋子中随机取出一个球, 若取出的是白球, 则放进一个黑球, 白球不放回; 若取出的是黑球, 则放进一个白球, 黑球不放回 (其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异). 依此规则操作 2 次, 记袋中的白球个数为 ，则 的数学期望为________.
【答案】
【解析】由题意,经过两次操作后,白球个数 可能为0,2,4,
当 时,两次取出的都是白球,故 ;
当 时,两次取出一次是黑球,一次是白球,但先后顺序可能变动,故 ;
当 时, 两次取出的都是黑球,故 ,
综上, .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在 中，角 所对的边分别为 ，满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的周长 .
【解析】(1) 已知 ,
由正弦定理得, ,化简得 , 4 分
即 ,因为 ,所以 . 7 分
(2)由余弦定理 ，得 ， 11 分
解得 ,所以 ,
故 的周长为 . 13 分
16.如图，在四棱台 中，上、下底面均为正方形， 底面 ， ,点 为棱 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的正弦值.
【解析】( 1 )证明:连接 交 于 点，由 是正方形得 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 为 的中位线，于是 ， 4 分
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 6 分
(2)由已知， 平面 ， ，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则 ,
设平面 的法向量为 ,则
即 取 ,
设平面 的法向量为 ,则
即 12 分
记平面 与平面 的夹角的大小为 ,则 ,
故 . 15 分
17.2016-2024 年我国的国内生产总值 (GDP) 的数据 (摘自《中国统计年鉴一2025》) 如下: 由以上数据,得到 与 的 9 对样本数据为 ,有关计算结果如下:
(1)证明: ;
(2)请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出 2025 年的 GDP 预测值与实际值的误差. (注: 从《中国统计年鉴一2025》中查得 2025 年的 GDP 为 140.19 万亿元.)
附:一元线性回归方程 ，其中 .
【解析】
(1) 证明: 因为
2 分
又因为 ,
所以 .
故 . 5 分
(2)设一元线性回归方程为 ，则 ，
将 代入回归方程得 105.5 = 7.552×2020 + â，解得 ，
所以一元线性回归方程为 , 12 分
当 时,求得 ,即 2025 年的 GDP 预测值为 143.26 万亿元,
而实际 2025 年的 GDP 为 140.19 万亿元，故误差值为 143.26-140.19=3.07(万亿元)15 分
18.已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，点 ，点 是椭圆 上位于第四象限内的任意一点.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作椭圆 的两条切线 ，过点 作椭圆 的切线 ， 与 的交点分别为 ，
(i) 求切线 的方程;
(ii) 问 是否为定值？若是定值,求出该定值; 若不是定值,说明理由.
【解析】(1)由题意得 ，解得 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 . 3 分
(2)(i)由题意，设过点 的直线方程为 ，联立方程组
消去 并整理得 ,
由 ,即 ,解得 .
所以切线方程分别为 . 8 分
(ii) 设 ,则 ,
由 (2) 知 , 得 , 12 分
因为 分
所以 ,
即 , 故 为定值,且定值为 . 17 分
19.已知 ，函数 .
(1)当 时,求函数 的极小值;
(2)证明:当 时，对任意 ，都有 ；
(3)若存在 ， ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【解析】(1) 由 ,得 .
令 ,解得 , 当 时, ; 当 时, ; 当 时, , 因此, 的极小值为 . 4 分
(2)证明:当 时， ， 所以 为增函数,
即对任意的 ,不妨设 ,则 ,
又因为 ,
所以 为增函数, 得 ,
即 ,故 分
(3)解:由题意不妨设 ，
因为 ,所以有 ,
整理得 ,
令 .
① 当 时， ，
此时 .
② 当 时，令 ，解得 ，
因此, 在 上单调递减,在 上单调递增,故 ,
因为 ,
又因为 ,得 ,即 ,
所以 ,
记 ,
则 ,
因为 ,所以 ,
即 ,
因此,当 时, ,
又 ,
综上, ,即 的取值范围是 . 17 分注: 求 最小值的第二种解法.
令 ，因为 ， ，所以 ，
下证: ,
因为
,
只需证: ,
只需证: ,
令 ,则 ,
因为 ,
所以 ,即 恒成立,
因此, ,
令 ,则 ,对于 ,
所以 ,当且仅当 时, .年份( x )
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
GDP/万亿元( )
74.64
83.20
91.93
98.65
101.36
114.92
120.47
129.43
134.91