卫星参量及宇宙速度问题 ——高中物理人教版二轮复习专题 学案

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1．卫星运动模型
无论自然天体（如地球、月球）还是人造卫星在粗略计算中，可近似看成质点，围绕中心天体做匀速圆周运动。
2．卫星运行参数（将卫星轨道视为圆）
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢。
3．人造卫星
（1）人造卫星的轨道
如图所示，卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和倾斜轨道，同步卫星中的静止轨道是赤道轨道。
（2）极地轨道卫星
极地轨道卫星运行时每圈都经过南北两极的上空，由于地球自转，极地轨道卫星可以实现全球覆盖，如气象卫星。
（3）地球同步卫星
位于地面上方36000 km处，周期与地球自转周期相同。其中一种的轨道平面与赤道共面，运动方向与地球自转方向相同，因其相对地面静止，也叫静止卫星。
同步静止卫星的6个“一定”
（4）近地卫星
轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R（地球半径），运行速度等于第一宇宙速度，运行周期约为85 min。
4．轨道卫星与赤道上物体的运行问题
如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。
5．对宇宙速度的理解
（1）宇宙速度
①第一宇宙速度vⅠ：vⅠ＝7.9 km/s，地球卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度。
②第二宇宙速度vⅡ：vⅡ＝11.2 km/s，物体挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度。
③第三宇宙速度vⅢ：vⅢ＝16.7 km/s，物体挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度。
（2）第一宇宙速度的推导
（3）对第一宇宙速度的理解
①“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。
②“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径最小，由可得v＝，轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，第一宇宙速度是所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星的最大环绕速度。
二．典例精讲
1．对宇宙速度的理解
例题1 （2025·湖北省·联考题）2024年6月25日，中国嫦娥六号月球探测器完成人类首次从月背采样并返回地球。整个返回过程包括月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移以及再入回收等阶段。关于以上阶段，下列说法正确的是（ ）
A．月面上升阶段，上升器的起飞速度至少需要达到7.9 km/s
B．上升器与轨返组合体交会对接后，运动周期将会增大
C．轨返组合体进入月地转移时，速度不会超过11.2 km/s
D．返回器采用半弹道跳跃式再入大气层方式返回，这一过程机械能守恒
【答案】C
【解析】A、第一宇宙速度7.9 km/s是卫星在地球发射的最小速度，也是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度。月面上升阶段，上升器要脱离月球，其起飞速度至少要达到月球上的第一宇宙速度，并不是地球上的第一宇宙速度7.9 km/s，选项A错误；
B、上升器与轨返组合体交会对接后，组合体的轨道半径不变，故运动周期不变，选项B错误；
C、第二宇宙速度11.2 km/s是卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度，轨返组合体进入月地转移时，是从月球轨道向地球运动，其速度不能超过11.2 km/s，否则会脱离地球引力范围，无法回到地球，选项C正确；
D、返回器采用半弹道跳跃式再入大气层方式返回，在大气层中会受到空气阻力，空气阻力会对返回器做功，机械能不守恒，选项D错误。
2．卫星的运动规律
例题2 （2025·湖北省·联考题）2024年9月19日，我国在西昌卫星发射中心计划发射第五十九颗、第六十颗北斗导航卫星，至此北斗系统中已有多颗各种轨道的卫星。若卫星①为放在地球赤道上相对于地面静止的还未发射的卫星，卫星②为墨子号量子通信卫星（近似为圆轨道，高度约为500千米），卫星③为地球同步圆轨卫星，卫星④为四川省西昌市卫星发射中心卫星发射架上的卫星。若卫星①②③④相对于地心的线速度分别为v1，v2，v3，v4，运动的周期分别为T1，T2，T3，T4，角速度分别为ω1，ω2，ω3，ω4，动能为E1，E2，E3，E4；则（ ）
A．ω4＞ω1＞ω2＞ω3 B．T4＝T1＝T3＜T2
C．v2＞v3＞v1＞v4 D．E2＞E3＞E1＞E4
【答案】C
【解析】轨道半径r4＜r1＜r2＜r3，且卫星①③④的角速度与地球自转角速度相同，则有ω3＝ω1＝ω4，T4＝T1＝T3，v3＞v1＞v4，卫星②③均为地球卫星，轨道半径越大，角速度和线速度越小，周期越长，则有ω2＞ω3，T3＞T2，v2＞v3，由于卫星质量未知，故A、B、D错误，C正确。故选C。
例题3 （多选）（2025·河南省·模拟题）“天问一号”火星探测器被设计成环绕器和着巡组合体两部分。假设环绕器绕火星做半径为R、周期为T的匀速圆周运动。着巡组合体在火星表面软着陆后，在距火星表面h高度处由静止释放一个小球，小球到达火星表面时的速度大小为v， 已知引力常量为G， 忽略火星自转和表面稀薄气体的影响，下列说法正确的是（ ）
A．环绕器运动的线速度大小为B．火星表面的重力加速度为
C．火星的质量为D．火星的半径为
【答案】AD
【解析】A．由题意，环绕器运动的线速度v′＝，故A正确；
B．由速度位移关系2g′h＝v2可知，火星表面的重力加速度g′＝，故B错误；
C．根据万有引力提供向心力可得，火星的质量M＝，故C错误；
D．在火星表面附近，万有引力近似等于重力，＝mg′，可得R火＝，故D正确。
故选AD。
3．近地卫星、同步卫星和赤道上物体的运行比较
例题4 （2025·广东深圳·模拟题）如图所示，a为静止在赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。以地心为参考系，关于它们的向心加速度、线速度，下列描述正确的是（ ）
A．aa＝ab＞ac B．ac＞ab＞aa
C．vc＞vb＞va D．vb＞vc＞va
【答案】D
【解析】根据万有引力提供向心力可知：＝ma，
解得：v＝，a＝，
由题意知：rc＞rb，可得：vc＜vb，ac＜ab，
由题意知：rc＞ra，
因为a为静止在赤道上的物体，c为地球同步卫星，所以a、c相比较，角速度相等，
由v＝ωr可知，va＜vc，由a＝ω2r可知，aa＜ac，
由此可知：vb＞vc＞va，ab＞ac＞aa，故D正确，ABC错误；
故选：D。
4．三体问题（拉格朗日点）
例题5 （多选）（2024·江苏苏州·模拟题）由20个国家持续25年、投入数万名科学家倾力合作的詹姆斯·韦伯太空望远镜被成功发射，被送入日—地拉格朗日L2点，如图所示的L1、L2、L3、L4、L5为法籍意大利数学家拉格朗日指出的太阳和地球所在同一平面上的5个拉格朗日点。韦伯太空望远镜位于L2点上，在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．韦伯太空望远镜绕太阳运动线速度比地球绕太阳运动的线速度小
B．韦伯太空望远镜绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度
C．韦伯太空望远镜在L2点处于平衡状态
D．同一飞行器稳定在L2处所受太阳和地球引力的合力比稳定在L1处大
【答案】BD
【解析】韦伯太空望远镜位于拉格朗日L2点，其运行半径比地球运行半径大，由于韦伯太空望远镜在拉格朗日L2点与地球同步绕太阳做圆周运动，即两者角速度相等，根据v＝ωr，a＝ω2r，可知韦伯太空望远镜绕太阳运动线速度比地球绕太阳运动的线速度大，韦伯太空望远镜绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度，A错误，B正确；由于韦伯太空望远镜保持与地球同步绕太阳做圆周运动，合力不为零，则韦伯太空望远镜在L2点处于非平衡状态，C错误；由于飞行器在拉格朗日点保持与地球同步绕太阳做圆周运动，即角速度与地球绕太阳公转的角速度相等，根据F＝mω2r，由于同一飞行器稳定在L2处的半径比稳定在L1处大，可知同一飞行器稳定在L2处所受太阳和地球引力的合力比稳定在L1处大，D正确。
三．跟踪训练
1．（多选）下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是（ ）
A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造小行星的最小发射速度
D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
【答案】CD
【解析】根据v＝可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v1＝7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，D正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，A错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，B错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球束缚而成为太阳的一颗人造小行星的最小发射速度，C正确。
2．（多选）（2025·云南·联考题）使物体成为卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度v1， 而使物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度v2， v2与v1的关系是v2＝。已知某星球半径是地球半径R的，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，地球的平均密度为ρ，不计其他星球的影响，则（ ）
A．该星球上的第一宇宙速度为
B．该星球上的第二宇宙速度为
C．该星球的平均密度为
D．该星球的质量为
【答案】BC
【解析】A．对于星球：，解得星球上的第一宇宙速度：v1＝，故A错误；
B．该星球上的第二宇宙速度v2＝＝，故B正确；
CD．在地球表面上万有引力提供重力，则＝mg，
解得：M＝，而M＝，同理星球的质量M′＝＝，
联立解得：ρ′＝，M′＝，故C正确，D错误。
故选BC。
3．（2024·黑龙江佳木斯·联考题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则（ ）
A．木卫一轨道半径为B．木卫二轨道半径为
C．周期T与T0之比为D．木星质量与地球质量之比为
【答案】D
【解析】AB．对木卫三，绕木星运行的轨道半径为：r3＝nr，
万有引力提供向心力：＝
可得：r3＝＝nr
木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4，
得木卫一轨道半径为：r1＝
木卫二轨道半径为：r2＝，故AB错误；
C．木卫三围绕的中心天体是木星，月球的围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T0之比，故C错误；
D．根据万有引力提供向心力，分别有＝，＝
联立可得＝，故D正确。
故选：D。
4．如图所示，a为静止在地球赤道上的物体，b为近地卫星，c为同步卫星，d为高空探测卫星。它们的向心加速度大小为a，它们到地心的距离为r，周期为T，它们在相同时间内转过的弧长和转过的圆心角分别为l、θ，地面重力加速度为g，则下列给出的a－r、T－r、θ－t、l－t图像中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设地球质量为M，卫星质量为m，对b、c、d三颗卫星，有＝＝mω2r＝＝ma，可得v＝，ω＝，T＝，a＝，因c为同步卫星，则Ta＝Tc，故B错误；aa＜ac＜g，故A错误；由v＝ωr可知va＜vc，l＝vt，故D错误；因θ＝ωt，而ωb＞ωc＝ωa＞ωd，故C正确。
5．（2024·四川成都·模拟题）嫦娥四号登月探测器的登陆地点位于月球背对地球一面的艾特肯盆地。由于月球被地球潮汐锁定，它只能永远以同一面朝向地球，因此嫦娥四号与地球上的测控中心之间的通信信号无法穿透月球，这就需要“鹊桥”中继卫星的帮助来实现数据传输，完成地面测控任务。如图所示，L1、L2为地月系统中的两个拉格朗日点，位于拉格朗日点上的卫星可以在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做匀速圆周运动，“鹊桥”中继卫星位于L2点上。结合以上信息，下列说法中正确的是（ ）
A．“鹊桥”中继卫星的发射速度v满足11.2 km/s≤v＜16.7 km/s
B．地球同步卫星轨道应位于月球与L2点之间
C．同一颗卫星位于L1点所在轨道时的动能大于位于L2点所在轨道时的动能
D．“鹊桥”中继卫星的向心加速度大于月球的向心加速度
【答案】D
【解析】地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，第二宇宙速度为11.2 km/s，“鹊桥”运行于地－月拉格朗日L2点，发射速度v满足7.9 km/s＜v＜11.2 km/s，故A错误；月球绕地球周期约为27天，同步卫星周期为1天，根据开普勒第三定律可知月球轨道半径大于同步卫星轨道半径，则同步卫星轨道应该在地球与月球之间，故B错误；由题意可知，当卫星位于L1、L2点所在轨道围绕地球运动时的角速度相等，则根据v＝ωr可知，当卫星位于L2点时的线速度要大于位于L1点时的线速度，也就是同一颗卫星位于L2点时的动能要大于位于L1点时的动能，故C错误；根据向心加速度表达式有a＝，可知“鹊桥”中继卫星的向心加速度大于月球的向心加速度，故D正确。
物理量
推导依据
表达式
最大值或最小值
线速度
＝
v＝
当r＝R时有最大值，v＝7.9 km/s
角速度
＝mω2r
ω＝
当r＝R时有最大值
周期
＝
T＝
当r＝R时有最小值，约85 min
向心加速度
＝man
an＝
当r＝R时有最大值，最大值为g
轨道平面
圆周运动的圆心与中心天体中心重合
比较项目
近地卫星（r1、ω1、v1、a1）
同步卫星（r2、ω2、v2、a2）
赤道上随地球自转的物体（r3、ω3、v3、a3）
向心力
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
r2＞r1＝r3
角速度
ω1＞ω2＝ω3
线速度
v1＞v2＞v3（v1等于第一宇宙速度）
向心加速度
a1＞a2＞a3
万有引力提供卫星运动的向心力
重力提供卫星运动的向心力
公式
mg＝
结果
v＝
v＝
普适性
既适用于地球，也适用于其他星体