2024年四川省资阳市中考数学试题（含答案）

这是一份2024年四川省资阳市中考数学试题（含答案）
注意事项：
1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．
2．第Ⅰ卷每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．
3．第Ⅱ卷各题须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上对应题号答题位置作答．在试卷上作答，答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 3的相反数为（ ）
A. ﹣3B. ﹣C. D. 3
2. 下列计算正确是（ ）
A. B. C. D.
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）

A. 长方体B. 棱锥C. 圆锥D. 球体
4. 6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A. 5，4B. 6，5C. 6，7D. 7，7
5. 在平面直角坐标系中，将点沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 一个正多边形每个外角度数都等于，则这个多边形的边数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
8. 若，则整数m的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
9. 第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：
①；
②；
③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；
④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11 若，则________．
12. 年政府工作报告提出，我国今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长左右，城镇新增就业万人以上……将数“万”用科学记数法表示为________．
13. 一个不透明的袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则________．
14. 小王前往距家2000米公司参会，先以（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有________分钟．

15. 如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为________．
16. 在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是________．
三、解答题（本大题共8个小题、共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 先化简，再求值：，其中．
18. 我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．
19. 2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．
（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；
（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？
20. 如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（）的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点在一次函数的图象上，直线与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线在图中的一个特征．
21. 如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为6，点为线段的中点，，求的长．
22. 如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．

（1）求B，C两处的距离；
（2）该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D同一水平面内；参考数据：，）
23. （1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长．
24. 已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
（3）如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
资阳市2024年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试
数学
全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分150分．考试时间共120分钟．
注意事项：
1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．
2．第Ⅰ卷每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．
3．第Ⅱ卷各题须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上对应题号答题位置作答．在试卷上作答，答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 3的相反数为（ ）
A. ﹣3B. ﹣C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可．
【详解】解：3的相反数是﹣3．
故选：A．
【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则解答即可．
【详解】解：AB、和不是同类项，不能合并，故AB错误，不符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意．
故选：D．
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）

A. 长方体B. 棱锥C. 圆锥D. 球体
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查由三视图来判断几何体的形状．
【详解】解：由三视图可知，该几何体长方体，
故选：A．
4. 6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A. 5，4B. 6，5C. 6，7D. 7，7
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】中位数：，
众数：7
故选：C．
5. 在平面直角坐标系中，将点沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【详解】点沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为
故选：B．
6. 如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据题意可得，，即，再根据平行线的同旁内角互补，即可求出的度数．
【详解】∵过点作于点，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
将代入上式，
可得，
故选．
7. 一个正多边形的每个外角度数都等于，则这个多边形的边数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形的外角和等于，根据正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，外角和等于，即可得出答案．
【详解】解：∵多边形的外角和等于，且这个每个外角都等于，
∴它的边数为.
故选：C．
8. 若，则整数m的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了无理数的估算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法．首先确定和的范围，然后求出整数m的值的值即可．
【详解】解：∵，即，，即，
又∵，
∴整数m的值为：3，
故选：B．
9. 第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值．
【详解】解：根据题意，设，则，
∵，四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10. 已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：
①；
②；
③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；
④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，可判断①正确；过点作交轴于点，过点作交轴于点，证明，可得，可判断②正确；当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，求出的长度，得到，可判断③正确；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，小值为，即可判断④．
【详解】解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点，
，两个函数的对称轴均为直线，
即，
解得：，故①正确；
②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点，
，
由函数的对称性可知，
在和中，
，
，
，故正确②；
③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，
由①可知两个函数的解析式分别为，，
，，
，
点，
，
，
由，
此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确；
④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为，
点的横坐标为，
，点的横坐标为，
，，
，，
周长的最小值为，故正确④；
故选：D．
【点睛】本题是二次函数综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11. 若，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0．根据绝对值和平方的非负性，得出，求出a和b的值，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：2．
12. 年政府工作报告提出，我国今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长左右，城镇新增就业万人以上……将数“万”用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：“，其中，是正整数”是解题的关键．
【详解】解：万，
故答案为：．
13. 一个不透明的袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据概率公式即可求解．
【详解】解：从袋中随机取出一个球是白球的概率为，
，
解得：，
故答案为：．
14. 小王前往距家2000米的公司参会，先以（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有________分钟．

【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是理解题意，读懂图象中每条线段蕴含的信息，灵活运用所学知识解决问题．
根据图象求出，进而得出小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达需要时间，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：（米/分），
小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达需要时间为：（分），
由图可知，会议开始时间为出发后（分），
∴若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有（分），
故答案为：5．
15. 如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．
设弓形，连接，，由题意知，即为等边三角形，，即可得出阴影部分面积为，代入数值即可求出结果．
【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于点，，，
∴，
∴以为直径作半圆时，圆心为点，
设弓形，连接，，即，如图：

∴为等边三角形，
∴，
故阴影部分面积为，
代入数值可得，
故答案为．
16. 在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线．作的高，，根据题意可得，，在中，根据三角函数可得，即，再根据，即可求解．
【详解】解：如图，作高，，
是锐角三角形，
，在的内部，
，，
在中，，，
，
，
又，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题、共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；1
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
，
把代入得：原式．
18. 我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．
【答案】（1）400，见解析
（2）800名 （3）见解析，
【解析】
【分析】（1）利用C等级的人数除以其所占的百分比求得样本总数，再利用样本总人数减去其他等级的人数求得D等级的人数，再补全条形统计图即可；
（2）利用B等级的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘除全校人数即可求解；
（3）画树状图可得共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
小问1详解】
解：由图可得，（名），
∴D等级的人数为：（名），
补全条形统计图如下所示：
故答案为：400；
【小问2详解】
解：（名），
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，
∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体、用树状图或列表法求概率、概率公式，根据统计图中的信息求得样本总数是解题的关键．
19. 2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．
（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；
（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？
【答案】（1）A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元
（2）至少应购买B款纪念品30个
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，（1）设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范围，即可求解．
【小问1详解】
解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元．
【小问2详解】
解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，
由题意得，，
解得，，
答：至少应购买B款纪念品30个．
20. 如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（）的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点在一次函数的图象上，直线与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线在图中的一个特征．
【答案】（1）
（2），直线上y随x的增大而增大
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
（1）先求出点A和点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式；
（2）先求出直线的函数解析式为，进而得出，结合图象可得直线的特征．
【小问1详解】
解：把代入得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
∴，
把，代入 ：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：设直线的函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为，
联立得：，
解得：（舍去），，
∴，
由图可知：直线上y随x的增大而增大．
21. 如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为6，点为线段的中点，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等可推出，，结合和三角形内角和，从而推出，得证；
（2）由（1）可知，可证，推出，再由勾股定理可得，利用点为线段的中点，可得，从而得到，从而得到，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：连接，如图，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
是的切线；
【小问2详解】
解：如（1）图，，
又，，
，
，
的半径为6，，
，
，即，
又点为线段的中点，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
22. 如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．

（1）求B，C两处的距离；
（2）该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，）
【答案】（1）B，C两处的距离为16海里
（2）渔政船的航行时间为小时
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形．
（1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答；
（2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答．
【小问1详解】
解：过点A作于点E，
∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵海里，
∴（海里），
∴（海里），
∴B，C两处的距离为16海里．
【小问2详解】
解：过点D作于点F，
设海里，
∵，
∴，
由（1）可知，海里，
∴海里，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴海里，海里，
根据勾股定理可得：（海里），
∴渔政船的航行时间为（小时），
答：渔政船的航行时间为小时．

23. （1）【观察发现】如图1，中，点D在边上．若，则，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）证明，得出，即可证明结论；
（2）过点C作于点F，过点D作于点G，解直角三角形得出，，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，得出，证明，得出，求出；
（3）连接，证明，得出，求出，证明为直角三角形，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出结果即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）过点C作于点F，过点D作于点G，如图所示：
则，
∴，
∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
（3）连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，，
∴，
∴在中根据勾股定理得：
，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
24. 已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
（3）如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）先求点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出的解析式，设，则：，将转化为二次函数求最值即可；
（3）易得垂直平分，设，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分别作点关于轴和直线的对称点，直线，与抛物线的交点即为所求，进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把，，代入函数解析式得：
∴，解得：；
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
设，则：，
∴，，，
∴，
∴
，
∴当时，的最大值为；
【小问3详解】
存在：
令，
解得：，
∴，
∵，点为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：（舍去）或，
∴；
②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点，
则：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作轴，则：，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：（舍去）或，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．