2026年濮阳市高三考前热身数学试卷（含答案解析）

这是一份2026年濮阳市高三考前热身数学试卷（含答案解析），共2页。试卷主要包含了已知等差数列的前n项和为，，则，若集合，，则等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点，间的距离为2，动点与，的距离之比为，当，，不共线时，的面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：

则下列结论正确的是（ ）.
A．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加
B．与2016年相比，2019年一本达线人数减少
C．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍
D．2016年与2019年艺体达线人数相同
3．在等差数列中，若为前项和，，则的值是（ ）
A．156B．124C．136D．180
4．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )
A．7B．15C．31D．63
5．已知等差数列的前n项和为，，则
A．3B．4C．5D．6
6．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，，若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．若集合，，则
A．B．C．D．
9．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．若单位向量，夹角为，，且，则实数（ ）
A．－1B．2C．0或－1D．2或－1
11．设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则为( )
A．B．40C．16D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围是_________.
14．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从地移动到地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从移动到最近的走法共有____种．
15．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为__________.
16．函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，过点且平行与x轴的直线交椭圆于A、B两点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点M且斜率为正的直线交椭圆于段C、D，直线AC、BD分别交直线于点E、F，求证：是定值.
18．（12分）已知矩阵，且二阶矩阵M满足AMB，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.
19．（12分）已知函数f(x)=ex-x2 -kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）证明：f(x)的极大值不小于1．
20．（12分）随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等．其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：
（1）现有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除．请问李某月应缴纳的个税金额为多少？
（2）为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市500名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有50人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭）．若他们的月收入均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额的分布列与期望．
21．（12分）设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.
(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;
(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.
22．（10分）已知椭圆（）经过点，离心率为，、、为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点．
（1）若直线、的斜率都存在，求证：为定值；
（2）求的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
根据平面内两定点，间的距离为2，动点与，的距离之比为，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结合求解.
【详解】
如图所示：
设，，，则，
化简得，
当点到（轴）距离最大时，的面积最大，
∴面积的最大值是.
故选：A.
本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
2．A
【解析】
设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.
【详解】
设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，2016年高考不上线人数为，
2019年不上线人数为，故A正确；
2016年高考一本人数，2019年高考一本人数，故B错误；
2019年二本达线人数，2016年二本达线人数，增加了
倍，故C错误；
2016年艺体达线人数，2019年艺体达线人数，故D错误.
故选：A.
本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.
3．A
【解析】
因为，可得，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【详解】
，
，
.
故选：A.
本题主要考查了求等差数列前项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
4．B
【解析】
试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，；
⑤，. 第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.
考点：程序框图.
5．C
【解析】
方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C．
方法二：因为，所以，则.故选C．
6．D
【解析】
三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可解决.
【详解】
由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有
种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种情况；若为第二
种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种，故甲、乙两人在同一个单位的概率
为，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为.
故选：D.
本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.
7．B
【解析】
由题意可将方程转化为，令，，进而将方程转化为，即或，再利用的单调性与最值即可得到结论.
【详解】
由题意知方程在上恰有三个不相等的实根，
即，①.
因为，①式两边同除以，得.
所以方程有三个不等的正实根.
记，，则上述方程转化为.
即，所以或.
因为，当时，，所以在，上单调递增，且时，.
当时，，在上单调递减，且时，.
所以当时，取最大值，当，有一根.
所以恰有两个不相等的实根，所以.
故选：B.
本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.
8．C
【解析】
解一元次二次不等式得或，利用集合的交集运算求得.
【详解】
因为或，，所以，故选C.
本题考查集合的交运算，属于容易题.
9．C
【解析】
画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果．
【详解】
画出图形，如下图．
选取为基底，则，
∴．
故选C．
应用平面向量基本定理应注意的问题
（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．
（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．
10．D
【解析】
利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数的值.
【详解】
由于，所以，即，，即，解得或.
故选：D
本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.
11．B
【解析】
画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.
【详解】
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：，，故，且.
故.
故选：.
本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.
12．D
【解析】
如图所示，过分别作于，于，利用和，联立方程组计算得到答案.
【详解】
如图所示：过分别作于，于.
，则，
根据得到：，即，
根据得到：，即，
解得，，故.
故选：.
本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由题意首先研究函数的性质，然后结合函数的性质数形结合得到关于a的不等式，求解不等式即可确定实数a的取值范围.
【详解】
当时，函数在区间上单调递增，
很明显，且存在唯一的实数满足，
当时，由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
结合复合函数的单调性可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且当时，，
考查函数在区间上的性质，
由二次函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
函数有6个零点，即方程有6个根，
也就是有6个根，即与有6个不同交点，
注意到函数关于直线对称，则函数关于直线对称，
绘制函数的图像如图所示，
观察可得：，即.
综上可得，实数的取值范围是.
故答案为．
本题主要考查分段函数的应用，复合函数的单调性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．
【解析】
分三步来考查，先从到，再从到，最后从到，分别计算出三个步骤中对应的走法种数，然后利用分步乘法计数原理可得出结果.
【详解】
分三步来考查：①从到，则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位，一步是向上移动一个单位，此时有种走法；
②从到，则亮亮要移动六步，其中三步是向右移动一个单位，三步是向上移动一个单位，此时有种走法；
③从到，由①可知有种走法.
由分步乘法计数原理可知，共有种不同的走法.
故答案为：.
本题考查格点问题的处理，考查分步乘法计数原理和组合计数原理的应用，属于中等题.
15．
【解析】
设，，，根据勾股定理得出，而由椭圆的定义得出的周长为，有，便可求出和的关系，即可求得椭圆的离心率.
【详解】
解：由已知，的三边长，，成等差数列，
设，，，
而，根据勾股定理有：，
解得：，
由椭圆定义知：的周长为，有，，
在直角中，由勾股定理，，即：，
∴离心率.
故答案为：.
本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用，考查计算能力.
16．
【解析】
先求得与关于轴对称的函数，将问题转化为与的图象有交点，即方程有解.对分成三种情况进行分类讨论，由此求得实数的取值范围.
【详解】
因为关于轴对称的函数为，因为函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，方程有解.
时符合题意.
时转化为有解，即，的图象有交点，是过定点的直线，其斜率为，若，则函数与的图象必有交点，满足题意；若，设，相切时，切点的坐标为，则，解得，切线斜率为，由图可知，当，即时，，的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点，综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：
本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由题意求得的坐标，代入椭圆方程求得，由此求得椭圆的标准方程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，可得关于的一元二次方程，设出的坐标，分别求出直线与直线的方程，从而求得两点的纵坐标，利用根与系数关系可化简证得为定值.
【详解】
（1）由已知可得：，
代入椭圆方程得：
椭圆方程为；
（2）设直线CD的方程为，代入，得：
设，，则有，
则AC的方程为，令，得
BD的方程为，令，得
，证毕.
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是难题．
18．特征值为1，特征向量为．
【解析】
设出矩阵M结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵M，然后利用可求特征值的另一个特征向量.
【详解】
设矩阵M＝，则AM＝，
所以，解得，所以M＝，
则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1，
设特征值的特征向量为，则，
即，解得x＝0，所以属于特征值的的一个特征向量为．
本题主要考查矩阵的运算及特征量的求解，矩阵运算的关键是明确其运算规则，侧重考查数学运算的核心素养.
19．（1）；（2）见解析
【解析】
（1）求出，记，问题转化为方程有两个不同解，求导，研究极值即可得结果 ；
（2）由（1）知，在区间上存在极大值点，且，则可求出极大值，记，求导，求单调性，求出极值即可.
【详解】
（1），由，
记，，
由，且时，，单调递减，，
时，，单调递增，，
由题意，方程有两个不同解，所以；
（2）解法一：由（1）知，在区间上存在极大值点，且，
所以的极大值为，
记，则，
因为，所以，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，即函数的极大值不小于1.
解法二：由（1）知，在区间上存在极大值点，且，
所以的极大值为，
因为，，所以.
即函数的极大值不小于1.
本题考查导数研究函数的单调性，极值，考查学生综合分析能力与转化能力，是一道中档题.
20．（1）李某月应缴纳的个税金额为元，（2）分布列详见解析，期望为1150元
【解析】
（1）分段计算个人所得税额；
（2）随机变量X的所有可能的取值为990，1190，1390，1590，分别求出各值对应的概率，列出分布列，求期望即可．
【详解】
解：（1）李某月应纳税所得额（含税）为：29600−5000−1000−2000＝21600元
不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元
超过3000元至12000元的部分税额为9000×10%＝900元，
超过12000元至25000元的部分税额为9600×20%＝1920元
所以李某月应缴纳的个税金额为90＋900＋1920＝2910元，
（2）有一个孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000−2000＝12000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＝990元
有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000＝14000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＋400＝1390元；
没有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−2000＝13000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＋200＝1190元；
没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000＝15000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＋600＝1590元；
．
所以随机变量X的分布列为：
．
本题考查了分段函数的应用与函数值计算，考查了随机变量的概率分布列与数学期望，属于中档题．
21． (Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析
【解析】
(Ⅰ)计算得到故，，，，计算得到面积.
(Ⅱ) 设为，联立方程得到，计算，同理，根据得到，得到证明.
(Ⅲ) 设中点为，根据点差法得到，同理，故，得到结论.
【详解】
(Ⅰ)，，故，，，.
故四边形的面积为.
(Ⅱ)设为，则，故，
设，，故，
，
同理可得，
，故，
即，，故.
(Ⅲ)设中点为，则，，
相减得到，即，
同理可得：的中点，满足，
故，故四边形不能为矩形.
本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
22．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）首先根据题中条件求出椭圆方程，设、、点坐标，根据利用坐标表示出即可得证；
（2）设直线方程，再与椭圆方程联立利用韦达定理表示出，即可求出范围.
【详解】
（1）依题有，所以椭圆方程为．
设，，，
由为的重心，；
又因为，，
，，
（2）当的斜率不存在时：，，，
代入椭圆得，，，
当的斜率存在时：设直线为，这里，
由，，
根据韦达定理有，，，
故，代入椭圆方程有，
又因为，
综上，的范围是.
本题主要考查了椭圆方程的求解，三角形重心的坐标关系，直线与椭圆所交弦长，属于一般题.
级数
一级
二级
三级
四级
每月应纳税所得额（含税）
不超过3000元的部分
超过3000元至12000元的部分
超过12000元至25000元的部分
超过25000元至35000元的部分
税率
3
10
20
25
990
1190
1390
1590