保定市2025-2026学年高三一诊考试数学试卷（含答案解析）

这是一份保定市2025-2026学年高三一诊考试数学试卷（含答案解析），共2页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知抛物线，下列判断错误的是，复数满足 ,则的值是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，若，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
2．已知集合，集合，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（ ）.
A．B．C．D．
4．已知抛物线：，直线与分别相交于点，与的准线相交于点，若，则（ ）
A．3B．C．D．
5．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．3B．C．D．
6．下列判断错误的是( )
A．若随机变量服从正态分布，则
B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的充分不必要条件
C．若随机变量服从二项分布： ， 则
D．是的充分不必要条件
7．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
A．B．C．D．
8．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）
A．且B．且C．且D．且
9．如图，在直三棱柱中，，，点分别是线段的中点，，分别记二面角，，的平面角为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．复数满足 (为虚数单位),则的值是( )
A．B．C．D．
11．设、，数列满足，，，则（ ）
A．对于任意，都存在实数，使得恒成立
B．对于任意，都存在实数，使得恒成立
C．对于任意，都存在实数，使得恒成立
D．对于任意，都存在实数，使得恒成立
12．公比为2的等比数列中存在两项，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知是等比数列,若，,且∥,则______.
14．根据如图所示的伪代码，若输出的的值为，则输入的的值为_______.
15．（5分）某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到抗癌的效果）对人体的作用，现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验，则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________．
16．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量、、满足，则实数的值为_______．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和为，且满足（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）设（），数列的前项和.若对恒成立，求实数，的值.
18．（12分）已知函数.
（1）讨论函数f(x)的极值点的个数；
（2）若f(x)有两个极值点证明.
19．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.
（1）求的直角坐标方程和的直角坐标；
（2）设与交于，两点，线段的中点为，求.
20．（12分）如图，椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，且，为等边三角形，过点的直线与椭圆在轴右侧的部分交于、两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的取值范围．
21．（12分）数列满足，是与的等差中项.
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
22．（10分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，分别为，的中点．
（1）求证：．
（2）若，求二面角的余弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
由复数模的定义可得：，求解关于实数的方程可得：.
本题选择D选项.
2．A
【解析】
根据或，验证交集后求得的值.
【详解】
因为，所以或.当时，，不符合题意，当时，.故选A.
本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.
3．C
【解析】
易得，，又，平方计算即可得到答案.
【详解】
设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形，
所以，又，
故，，，
所以，即，
故离心率为.
故选：C.
本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题.
4．C
【解析】
根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案.
【详解】
显然直线过抛物线的焦点
如图，过A,M作准线的垂直，垂足分别为C，D，过M作AC的垂线，垂足为E
根据抛物线的定义可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M为AN的中点，所以MD为三角形NAC的中位线，故MD=CE=EA=AC
设MF=t，则MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=
所以
故选：C
本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题.
5．B
【解析】
由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：
直三棱柱的体积为，消去的三棱锥的体积为，
∴几何体的体积，故选B.
点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积.
6．D
【解析】
根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解.
【详解】
对于选项，若随机变量服从正态分布，根据正态分布曲线的对称性，有，故选项正确，不符合题意；
对于选项，已知直线平面，直线平面，则当时一定有，充分性成立，而当时，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项正确，不符合题意；
对于选项，若随机变量服从二项分布： ， 则，故选项正确，不符合题意；
对于选项，，仅当时有，当时，不成立，故充分性不成立；若，仅当时有，当时，不成立，故必要性不成立.
因而是的既不充分也不必要条件,故选项不正确，符合题意.
故选：D
本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.
7．A
【解析】
详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，
且俯视图应为对称图形
故俯视图为
故选A.
点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。
8．B
【解析】
由且可得，故选B.
9．D
【解析】
过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．
【详解】
解：因为，，所以，即
过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，，，，0，，，1，，
，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
同理可求平面的法向量，
平面的法向量，平面的法向量．
，，．
．
故选：D．
本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
10．C
【解析】
直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．
【详解】
由得：
本题正确选项：
本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．
11．D
【解析】
取，可排除AB；由蛛网图可得数列的单调情况，进而得到要使，只需，由此可得到答案.
【详解】
取，，数列恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；
由蛛网图可知，存在两个不动点，且，，
因为当时，数列单调递增，则；
当时，数列单调递减，则；
所以要使，只需要，故，化简得且.
故选：D．
本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．
12．D
【解析】
根据已知条件和等比数列的通项公式，求出关系，即可求解.
【详解】
，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
最小值为.
故选:D.
本题考查等比数列通项公式，注意为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
若，,且∥,则，由是等比数列,可知公比为.
.
故答案为.
14．
【解析】
算法的功能是求的值，根据输出的值，分别求出当时和当时的值即可得解．
【详解】
解：由程序语句知：算法的功能是求的值，
当时，，可得：，或（舍去）；
当时，，可得：（舍去）．
综上的值为：．
故答案为：．
本题考查了选择结构的程序语句，根据语句判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．
15．
【解析】
记只雌蛙分别为，只雄蛙分别为，从中任选只牛蛙进行抽样试验，其基本事件为，共15个，选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为，共9个，故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是．
16．
【解析】
根据图示分析出、、的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出的取值.
【详解】
由图可知：，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算，难度较易.已知，若，则有.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2），.
【解析】
（1）根据数列的通项与前n项和的关系式，即求解数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用等比数列的前n项和公式和裂项法，求得，结合题意，即可求解.
【详解】
（1）由题意，当时，由，解得；
当时，可得，
即，
显然当时上式也适合，所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
所以
.
因为对恒成立，
所以，.
本题主要考查了数列的通项公式的求解，等差数列的前n项和公式，以及裂项法求和的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
18．（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）求得函数的定义域和导函数，对分成三种情况进行分类讨论，判断出的极值点个数.
（2）由（1）知，结合韦达定理求得的关系式，由此化简的表达式为，通过构造函数法，结合导数证得，由此证得成立.
【详解】
（1）函数的定义域为
得，
（i）当时；，
因为时，时，，
所以是函数的一个极小值点；
（ii）若时，
若，即时，，
在是减函数，无极值点.
若，即时，
有两根，
不妨设
当和时，，
当时，，
是函数的两个极值点，
综上所述时，仅有一个极值点；
时，无极值点；时，有两个极值点．
（2）由（1）知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，且是方程的两根，
，则
所以

设，则，又，即，
所以
所以是上的单调减函数，
有两个极值点，则
本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
19．（1），（2）
【解析】
（1）利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程，把点P的极坐标化成直角坐标；
（2）把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数t的几何意义可得．
【详解】
（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y2＝1，
设点P的直角坐标为（x，y），因为P的极坐标为（，），
所以x＝ρcsθcs1，y＝ρsinθsin1，
所以点P的直角坐标为（1，1）．
（2）将代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，
因为△＝1102﹣4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t1，t2，
则t1，t2为A，B对应的参数，且t1+t2，
依题意，点M对应的参数为，
所以|PM|＝||．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据坐标和为等边三角形可得，进而得到椭圆方程；
（2）①当直线斜率不存在时，易求坐标，从而得到所求面积；②当直线的斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定的取值范围；利用，代入韦达定理的结论可求得关于的表达式，采用换元法将问题转化为，的值域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.
【详解】
（1），，
为等边三角形，，椭圆的标准方程为．
（2）设四边形的面积为．
①当直线的斜率不存在时，可得，，
．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，，
联立得：，
，，．
，，，，
面积．
令，则，，
令，则，，
在定义域内单调递减，．
综上所述：四边形面积的取值范围是．
本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的四边形面积的取值范围的求解问题；关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，将问题转化为函数值域的求解问题.
21．（1）见解析，（2）
【解析】
（1）根据等差中项的定义得，然后构造新等比数列，写出的通项即可求
（2）根据（1）的结果，分组求和即可
【详解】
解：（1）由已知可得，即，可化为，故数列是以为首项，2为公比的等比数列.
即有，所以.
（2）由（1）知，数列的通项为：，
故.
考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.
22．（1）见解析（2）
【解析】
（1）由已知可证明平面，从而得证面面垂直，再由，得线面垂直，从而得，由直角三角形得结论；
（2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法示二面角．
【详解】
（1）证明：连接，，．
，，平面．
平面，平面平面．
，为的中点，．
平面平面，平面．
平面，．
为斜边的中点，，
（2），由（1）可知，为等腰直角三角形，
则．以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，记平面的法向量为
由得到，
取，可得，则．
易知平面的法向量为．
记二面角的平面角为，且由图可知为锐角，
则，所以二面角的余弦值为．
本题考查用面面垂直的性质定理证明线面垂直，从而得线线垂直，考查用空间向量法求二面角．在立体几何中求异面直线成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角时，可以建立空间直角坐标系，用空间向量法求解空间角，可避免空间角的作证过程，通过计算求解．