2025-2026学年河北省保定市高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年河北省保定市高一（上）期末数学试卷（含解析），共28页。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知某单位按照职工年龄分为老、中、青三组，其人数之比为．现用分层抽样的方法从全体职工中抽取20人进行问卷调研，则抽取的职工中属于青年组的人数为（ ）
A．4人B．6人C．8人D．10人
3．设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面．下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，．则或
4．已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．在△中，，，，若△仅一个解时，则（ ）
A．B．
C．或D．无法确定的范围
7．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（ ）
A．B．6C．D．
8．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点，出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，，．则下列叙述错误的是
A．
B．当，时，点到轴的距离的最大值为6
C．当，时，函数单调递减
D．当时，
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）关于复数的命题正确的有（ ）
A．B．若，则为实数
C．若，则D．若，则的最小值为1
（多选）10．（6分）某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长．现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分成绩绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（ ）
A．频率分布直方图中
B．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为79.5
C．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的第60百分位数近似值为82.5
D．若落在，的平均成绩，方差，落在，的平均成绩，方差，则落在，的平均成绩为87，落在，的成绩的方差为23
（多选）11．（6分）在棱长为2的正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．若，则点的轨迹长度为
B．若，则点的轨迹长度为
C．若点在线段（不含点上，则过点，，的截面周长的取值范围是
D．若点在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设正方形的边长为4，动点在以为直径的圆上，则的最大值为 ．
13．如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的余弦值为 ．
14．已知函数，，为的零点，为图象的对称轴，且在，单调，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下：
（1）根据上表中数据，求出，及，，的值；
（2）函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数图象的对称轴及对称中心．
16．（15分）甲、乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着投掷．规定第1次由甲投掷．
（1）求第2次由甲投掷的概率；
（2）求前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率．
17．（15分）△中，内角，，的对边分别为，，，△的面积为，．
（1）证明：；
（2）若，求的最大值．
18．（17分）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，，，点是圆上不同于，的任意一点，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
【注意：本题用空间向量方法作答不给分】
19．（17分）在△中，内角，，的对边分别为，，．若．
（1）求证：△是等腰三角形；
（2）若△的面积为18，点满足，求线段的最小值；
（3）定义：对于△，若存在△，使得，，，则称△为△ 的伴随三角形．已知△存在伴随三角形，点在线段上，且满足，，若将△沿折起，使得平面平面，求此时直线与平面所成的角．
参考答案
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
解：，
．
故选：．
2．已知某单位按照职工年龄分为老、中、青三组，其人数之比为．现用分层抽样的方法从全体职工中抽取20人进行问卷调研，则抽取的职工中属于青年组的人数为（ ）
A．4人B．6人C．8人D．10人
解：现用分层抽样的方法从全体职工中抽取20人进行问卷调研，
则抽取的职工中属于青年组的人数为：．
故选：．
3．设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面．下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，．则或
解：对选项，若，，则或，错误；
对选项，若，，，则或，异面，错误；
对选项，若，，则，正确；
对选项，若，，则与的位置关系不确定，错误．
故选：．
4．已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
解：设，则，则，
则，
故选：．
5．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
解：由已知得，在方向上的投影向量为．
故选：．
6．在△中，，，，若△仅一个解时，则（ ）
A．B．
C．或D．无法确定的范围
解：△中，，，，
由正弦定理得，即，可得，
根据，且△仅一个解时，或，
即或，结合，解得或，项符合题意．
故选：．
7．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（ ）
A．B．6C．D．
解：为圆台母线的中点，，分别为上下底面的圆心，把圆台扩成圆锥，如图，
则，，，
由，有，，，
圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长，
侧面展开图的扇形的圆心角为，即，如图，
质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则运动的最短路径为展开图弦，
，，有．
故选：．
8．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点，出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，，．则下列叙述错误的是
A．
B．当，时，点到轴的距离的最大值为6
C．当，时，函数单调递减
D．当时，
解：由题意，，，，
点，代入可得，，．故正确；
，当，时，，，点到轴的距离的最大值为6，正确；
当，时，，，函数单调递减，不正确；
当时，，的纵坐标为6，，正确，
故选：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）关于复数的命题正确的有（ ）
A．B．若，则为实数
C．若，则D．若，则的最小值为1
解：对于，令，，，则，于是，正确；
对于，是虚数，，错误；
对于，令，，显然，而，，，错误；
对于，若，则所对应的点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，所以的最小值为，正确．
故选：．
（多选）10．（6分）某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长．现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分成绩绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（ ）
A．频率分布直方图中
B．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为79.5
C．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的第60百分位数近似值为82.5
D．若落在，的平均成绩，方差，落在，的平均成绩，方差，则落在，的平均成绩为87，落在，的成绩的方差为23
解：根据题意可得，解得，所以选项错误；
因为2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为：
，所以选项正确；
因为各组的频率依次为0.15，0.35，0.4，0.1，
所以第60百分位数在内，且为，所以选项正确；
因为，与，的频率之比为，
所以若落在，的平均成绩，方差；
落在，的平均成绩，方差，
则落在，的平均成绩为，
所以落在，的成绩的方差为：
，所以选项正确．
故选：．
（多选）11．（6分）在棱长为2的正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．若，则点的轨迹长度为
B．若，则点的轨迹长度为
C．若点在线段（不含点上，则过点，，的截面周长的取值范围是
D．若点在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是
解：，平面，
点的轨迹为线段，点的轨迹长度为，故选项正确；
点在侧面内，平面．
平面，平面，，
在△中，由，可得，
点的运动轨迹是以为圆心，1为半径，圆心角为，
点的轨迹长度为，故选项正确；
当在时，过点，，的截面周长最大，此时截面为等腰梯形，上底长为，下底长为，腰长为，所以周长为；
又当在时，过点，，的截面为正方形，此时截面周长最小，周长为8，故错误；
利用，即过上任意一点作弧构造正弦等角弧，设，易知当点为的中点时，最大．
取的中点，则，，
所以；
当点与点或点重合时，最小，此时，所以，
因为，，在球面上，所以△的外接圆直径．
所以三棱锥的外接球的直径为，
所以三棱锥的外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积为，故选项正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设正方形的边长为4，动点在以为直径的圆上，则的最大值为 32 ．
解：设是中点，是中点，即为已知圆圆心，圆半径，
则
，
因为，点在圆上运动，
所以，
所以的最大值为．
故答案为：32．
13．如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的余弦值为 ．
解：连接，交于点，则是的中点，
取的中点，连接，则，
所以或其补角即为直线与直线所成角，
由题意知，△是边长为2的等边三角形，
所以，
由勾股定理知，，
所以，，
在△中，由余弦定理知，，
即直线与直线所成角的余弦值为．
故答案为：．
14．已知函数，，为的零点，为图象的对称轴，且在，单调，则的最大值为 9 ．
解：函数，，为的零点，为图象的对称轴，
，，且，，
相减可得，，即，即为奇数．
在，单调，
（1）若在，单调递增，
则，且，，
即①，且，②，
把①②可得，，故有奇数的最大值为11．
当时，，，，．
此时在，上不单调，不满足题意．
当时，，，，，
此时在，上单调递减，不满足题意；
故此时无解．
（2）若在，单调递减，
则，且，，
即③，且，④，
把③④可得，，故有奇数的最大值为11．
当时，，，，．
此时在，上不单调，不满足题意．
当时，，，，，
此时在，上单调递减，满足题意；
故的最大值为9．
故答案为：9．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下：
（1）根据上表中数据，求出，及，，的值；
（2）函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数图象的对称轴及对称中心．
解：（1）由题意，可得
可得，
由，得，
由，得，
由，得；
（2）由（1）得，
将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，可得，
由，，得，，
所以图象的对称中心为，，
由，，得，，
所以图象的对称轴为直线，．
16．（15分）甲、乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着投掷．规定第1次由甲投掷．
（1）求第2次由甲投掷的概率；
（2）求前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率．
解：（1）掷出的骰子的点数的样本空间为种，
记事件 “掷出的点数之和为3的倍数”，
则，，，，，，，，，，，，共有12个样本点，
所以，
故第2次由甲投掷的概率为．
（2）由（1）可得掷出的两颗骰子点数之和为3的倍数的概率为，所以两颗骰子点数之和不为3的倍数的概率为，
游戏的前4次中乙投掷的次数为2，可能乙投据的次数为第二次第三次，则概率为，
或第二次第四次，则概率为，
或第三次第四次，则概率为，
以上三个事件互斥，所以其概率为，
记事件 “前4次投掷中，乙恰好投掷2次”，
则（B）．
17．（15分）△中，内角，，的对边分别为，，，△的面积为，．
（1）证明：；
（2）若，求的最大值．
解：（1）证明：由正弦定理，得，
则，
又因为，所以；
（2）将代入，
可得，
即，所以，
即，解得，
又因为，所以，
因为，所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以，
即的最大值为．
18．（17分）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，，，点是圆上不同于，的任意一点，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
【注意：本题用空间向量方法作答不给分】
解：（1）证明：因为平面，且平面，所以，
因为点在以为直径的圆上，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面；
（2）在△中，过点作，垂足为，取中点，连接，
△中，，分别为，中点，故，即平面，
因为平面，所以，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，，所以，
因为平面，
则为直线与平面所成的角，即，
所以，
因为为中点，所以，
所以△为等边三角形．
因为中点为，所以，且，
又因为，，，平面，故平面，
因为平面，所以，
又因为，所以为二面角的平面角，
在△中，，，故由等面积法知，
在△中，，所以，
所以二面角的余弦值为．
19．（17分）在△中，内角，，的对边分别为，，．若．
（1）求证：△是等腰三角形；
（2）若△的面积为18，点满足，求线段的最小值；
（3）定义：对于△，若存在△，使得，，，则称△为△ 的伴随三角形．已知△存在伴随三角形，点在线段上，且满足，，若将△沿折起，使得平面平面，求此时直线与平面所成的角．
【解答】（1）证明：因为，
所以，
由正弦定理得，
所以，
整理得，所以，
所以△是等腰三角形；
（2）解：因为点满足，
所以，
所以，
在△中，过点作，垂足为，因为，
所以，
所以，
因为所以，
在△中，由，得，
所以
，当且仅当，
即时取“”，
所以线段的最小值为；
（3）解：由（1）可知在△中，，
若△为锐角三角形，则，，，
因为
所以，
此时，
与矛盾，即△不存在伴随三角形；
若△为直角三角形，则，由
知△不存在伴随三角形；
若△为钝角三角形，则，
因为，
且，，，所以，
所以，
又，，
解得，所以
综上可知，若△存在伴随三角形，则
所以，
如图，过点作，交于点，
过点作，垂足为，连接．
因为，
所以，，故，，
即，
由题可知，故，得，
所以在△中，，
在翻折后的图形中，
因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，
所以即为直线与平面所成角，
所以在△中，，
直线与平面所成角为．
0
0
1
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0
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1
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