浙江省杭州市拱墅区名校2025年中考模拟测（一）数学试卷（解析版）

这是一份浙江省杭州市拱墅区名校2025年中考模拟测（一）数学试卷（解析版），共5页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1.比数轴上的点表示的数大2的数是（ ）
A.2B.C.1D.0
【答案】C
【解析】∵表示，
∴比数轴上的点表示的数大2的数是，
故选：C
2.如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】从上面看下面一层是1个正方形，上面一层是3个正方形．即：
故选：A．
3.由遂昌籍科学家毛承元为总设计师设计的长征十二号运载火箭起飞质量约为430000千克，其中数430000用科学记数法表示为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】将430000用科学记数法表示为：．
故选：B．
4.下列计算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】A．不能合并，原计算错误，故不符合题意；
B．，计算正确，故符合题意；
C．，原计算错误，故不符合题意；
D．，原计算错误，故不符合题意．
故选：B．
5.某校九年级有13个班进行大合唱比赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小林已经知道了自己班的成绩，她想知道自己班能否进入决赛，还需要知道这13个班合唱成绩的（ ）
A.中位数B.众数C.平均数D.方差
【答案】A
【解析】共有13个班进行大合唱比赛，取前6名，
所以小林已经知道了自己班的成绩，她想知道自己班能否进入决赛，是否进入前六、我们把所有班级按大小顺序排列，第7个班级的成绩是这组数据的中位数，
所以小林知道这组数据的中位数，才能知道自己班是否进入决赛．
故选：A．
6.如图．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】∵点，，
∴，，
∵与位似，位似中心为点O，
∴，
∴，
∴的面积与积之比．
故选：C．
7.不等式组，的解集在数轴上表示为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】解不等式得：，
解不等式得：，
在数轴上表示如图：
，
故选：B．
8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（ ）
A.9.5B.9C.7.5D.7
【答案】D
【解析】设全等的直角三角形的两条直角边为、且，
由题意可知：
，，，
因，即
，
，
所以，
的值是7，
故选：D.
9.已知，，三点反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A.当时，B.当时，
C.当时，D.当时，
【答案】B
【解析】反比例函数，
∴图象经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大，
当时，即时，，故A选项错误，不符合题意；
当，即时，，故B选项正确，符合题意；
当，即时，，故C选项错误，不符合题意；
当时，即时，，故D选项错误，不符合题意．
故选：B．
10.如图，在中，，相交于点，，，记的长为，的长为，则下列各式正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】过点D作交的延长线于点F，
∵的垂线交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴
∴，，
∴，
∴，
解得：，
同理：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11.因式分解：_____________．
【答案】3a（a-3）
【解析】3a2-9a=3a（a-3）．
故答案：3a（a-3）．
12.方程组的解是________．
【答案】
【解析】，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为：；
故答案为：
13.如图，中，，以为直径作，交于，交于．若，则______．
【答案】
【解析】∵为的直径，
∴，
即，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
14.某商场抽奖盒中放置了8张“满100减20”优惠券和5张“免单券”，顾客随机抽取一张，则抽中“免单券”的概率为________．
【答案】
【解析】某商场抽奖盒中放置了8张“满100减20”优惠券和5张“免单券”，顾客随机抽取一张，则抽中“免单券”的概率为；
故答案为：
15.如图，在中，，点是中点，点在上．连接，且平分的周长．若，则的长为________．
【答案】
【解析】如图所示，过点D作于点F，
∵，
∴，
∴，
∵D为中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵平分的周长且，
∴，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴．
故答案为：．
16.如图，在菱形ABCD中∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，且DP＝1，则菱形的边长是_______．
【答案】
【解析】方法一：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB=CD=DA，∠BCD=∠BAD=60°，∠ACD=∠BAC=∠BAD=30°，OA=OC，AC⊥BD，
设CD=x，则DO=，
∴
∴，
由旋转的性质得：AE=AB=x，∠EAG=∠BAD=60°，
∴CE=AC-AE=，
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF∥AG，
∴∠CEP=∠EAG=60°，
∴∠CEP+∠ACD=90°，
∴∠CPE=90°，
∴，PC=，
∵DP=1
∴
∴
解得，
∴菱形的边长是，
故答案为：．
方法二：连接AF
∵将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，∠BAD＝60°，
∴，，
∴
∵
∴A、D、F三点共线
∴,，
∵
∴（AAS）
∴
∵，
∴
∴
∴
∴菱形的边长是，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分，各小题都必须写出解答过程）
17.计算：
解：
；
18.小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：．
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
解：（1）依题意，
方程两边同时乘以得
解得
经检验，是原分式方程的解；
（2）设？为，
方程两边同时乘以得
∵是原分式方程的增根，
∴把代入上面的等式得
∴，原分式方程中“？”代表的数是．
19.如图，在中，，平分，于点，．．
（1）求的长．
（2）求的值．
解：（1）∵于点，．．
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵， ．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20.某校为了解学生的数学素养，随机抽取100名学生进行模拟测试（每位学员答5道数学题，其中答对4道及以上为优秀），经过两周训练，对这些学生进行第二次模拟测试，将这两次模拟成绩进行整理、分析，并制作成如下统计表．
（1）在扇形统计图中，“答对4道”所在扇形的圆心角为________度．
（2）若该校有1200名学生，估计第一次模拟测试达到“优秀”的学生人数．
（3）你认为学生两周训练是否有效？请用相关统计量说明理由．
解：（1）在扇形统计图中，“答对4道”所在扇形的圆心角为：
；
（2）该校有1200名学生，第一次模拟测试达到“优秀”的学生人数有：
（人）；
（3）学生的两周训练有效，理由如下：
∵第一次训练答对3道及以上占，
第二次训练答对3道及以上占．
21.如图，已知在中，
（1）请用圆规和直尺作出，使圆心在边上，且与，两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）若，，切于点，求劣弧的长．
解：（1）作的角平分线交于点P，以点P为圆心，为半径作圆即可．
（2）如图，∵P与，两边都相切，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴劣弧的长．
22.小聪家购买了一辆新能源汽车，该汽车的基本配置为：电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为．图①为汽车仪表盘的一部分，有关充电小常识如表②所示．
表②
已知该新能源汽车在满电量状态下行驶过程中仪表盘行驶里程y(千米)与显示电量的部分数据如下表：(不考虑续航缩水问题)
（1）在直角坐标系中，通过描点判断y与x之间函数关系，并求出该函数表达式．
（2）请问该汽车在满电状态行驶多少公里时，电量灯开始变成黄色？
（3）已知小聪爸爸驾驶该新能源汽车在满电量的状态下出发，前往600千米处的目的地，行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时长后继续行驶，到达目的地时仪表盘显示电量为，求该汽车在服务区充电的时长．
解：（1）在坐标系中描点作图如下：判断该函数为一次函数，设函数解析式为，
将点，代入解析式得：
，解得，
一次函数解析式为：．
（2）当时，，
答：该汽车在满电状态行驶400公里时，电量灯开始变成黄色．
（3）由题意可得在满电状态下行驶，
行驶里程表显示：，解得，
行驶耗电量为，
剩余路程，
在满电状态下里程表显示：，解得，
据此行驶耗电量为，
设增加的电量为，
，解得．
根据题意，电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为，即小时充电，
的电量需要充电时间为：分钟，即充电时间为分钟．
答：到达目的地时仪表盘显示电量为，该汽车在服务区充电分钟．
23.已知二次函数（为常数），
（1）当二次函数的图象经过点时，求二次函数的表达式；
（2）当时，的最小值为，求的值；
（3）当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线过点，且，请求出的取值范围．
解：（1）将点的坐标代入函数表达式得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
当时，则时，，则；
当时，则时，，则（舍去），，
综上可得：或；
（3）当时，抛物线的表达式为：，
∵抛物线向下平移个单位，
∴，
∵新抛物线过点，且，
当抛物线和轴有一个交点时，即时，此时，符合题意；
当即时，，此时；
当即时，，此时；
x．
24.如图1，在中，与是点异侧的两条弦，，且，连结，与交于点．
（1）求证：．
（2）如图2，连接并延长，与的延长线交于点，连接．求证：．
（3）在（2）的条件下，若，求的值．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
（2）如图，连接，记与交点为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）由（2）得：， ，
∴，
，
，
则设， ，
∴，
设，
故 解得，
故．新能源汽车小常识：
1.新能源汽车充电有个简单的公式：
充电量() =充电功率() ×充电时间
2.电动汽车电池剩余20%电量时，提示充电状态，此时电量灯显示为黄色
已知该新能源汽车在满电量状态下行驶过程中仪表盘行驶里程y(千米)与显示电量的部分数据如下表：(不考虑续航缩水问题)
汽车行驶过程
已行驶里程y(千米)
0
200
300
350
显示电量
100
60
40
30