2025-2026学年河北省衡水市高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年河北省衡水市高二（上）期末数学试卷（含答案），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果函数y=f(x)在x=1处的导数为1，则Δx→0limf(1+2Δx)−f(1)Δx=( )
A. 1B. 12C. 2D. 23
2.若直线l1：(a−2)x+ay+4=0与l2：(2a−4)x+6y+3a−1=0平行，则实数a的值为( )
A. 0B. 2C. 3D. 2或3
3.设x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−2,2)，且a⊥c，b//c，则|a+b|=( )
A. 2 2B. 3C. 5D. 4
4.已知数列{an}为等比数列，其中a6，a10为方程x2+4x+3=0的两根，则a8=( )
A. 12B. − 3C. 3D. 32
5.抛物线y2=8x上一点P和焦点F的距离等于6，则点P的横坐标x0=( )
A. 2B. 4C. 5D. 6
6.若圆x2+y2−2x−6y+1=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2，则k的值为( )
A. 12或2B. 34或43C. 2D. 43
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12>S10>S11，则使得Sn0,b>0)的左焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为 73的直线与E的右支交于点M，MN=3NF，MF⊥ON，则E的离心率为( )
A. 3B. 2C. 3D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如果曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线过点(0,2)，则下列结论不正确的是( )
A. f(1)=3B. f′(1)=1C. f(0)=2D. f′(1)=0
10.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，且an+1−2an=2n+1(n∈N∗)，则下列结论正确的是( )
A. {nan}是等比数列B. {ann}是等比数列
C. an=n⋅2nD. Sn=(n−1)⋅2n+2
11.已知F1，F2分别是双曲线C：x24−y24=1的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，PF1⋅PF2=0，则( )
A. P的纵坐标为 2B. |PF1|=2 3+2
C. △PF1F2的周长为4 3+4D. △PF1F2的面积为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若曲线y=ax+ex在点(0,1)处的切线方程为y=2x+b，则a+b=______．
13.已知直线l的方向向量为a=(2,−1,1)，平面α的一个法向量为b=(−1,2,1)，则直线l与平面α所成的角是 ．
14.已知直线y=k(x+4)与曲线y= 4−x2有两个不同的交点，则k的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求下列函数的导函数．
(1)y=x x；
(2)y=5x3；
(3)y=lg2x2−lg2x；
(4)y=−2sinx2(1−2cs2x4).
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ACC1A1，BCC1B1均垂直于底面ABC，CA=2，CB=4，AB=2 5,BB1= 13，M为AB的中点．
(Ⅰ)证明：AC1//平面B1CM；
(Ⅱ)求二面角C1−CM−B1的正弦值．
17.(本小题15分)
在数列{an}中，a1=1，且anan−1=nn−1(n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=|an−9|，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题17分)
已知椭圆：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0, 3)，离心率为 22．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点M( 2,1)的直线l与椭圆交于A，B两点；
(i)若点M为线段AB的中点，求直线l的方程；
(ii)若原点O总在以AB为直径的圆外，求直线l斜率的取值范围．
19.(本小题17分)
已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an−1．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=an−1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn；
(3)若cn=lg2(an−1)，从数列{cn}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，按原来顺序组成新数列{dn}，求使得不等式d1+d2+⋯+dn>2025成立的最小正整数n的值．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.B
5.B
6.D
7.B
8.B
9.CD
10.BC
11.ABD
12.2
13.π6
14.[0, 33)
15.(1)∵y=x x=x32，∴y′=32x12=32 x；
(2)∵y=5x3=x35，∴y′=35x−25=355x2；
(3)∵y=lg2x2−lg2x=2lg2x−lg2x=lg2x，∴y′=1xln2；
(4)∵y=−2sinx2(1−2cs2x4)=2sinx2(2cs2x4−1)=2sinx2csx2=sinx，
∴y′=csx．
16.(Ⅰ)证明：如图，连接BC1与B1C交于点N，连接MN，
因为四边形BCC1B1为平行四边形，
所以N为BC1的中点，又M为AB的中点，
则在△ABC1中，有MN//AC1，
又MN⊂平面B1CM，AC1⊄平面B1CM，
所以AC1//平面B1CM；
(Ⅱ)解：由勾股定理的逆定理知BC⊥AC，
又由侧面ACC1A1，BCC1B1均垂直于底面ABC，
可得CC1⊥平面ABC，所以CA，CB，CC1两两垂直，
以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
由已知得C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,4,0)，
C1(0,0, 13)，B1(0,4, 13)，M(1,2,0)，
则CM=(1,2,0)，CC1=(0,0, 13)，
设平面CMC1的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅CM=x+2y=0m⋅CC1= 13z=0，可取m=(2,−1,0)，
又CB1=(0,4, 13)，设平面CMB1的法向量为n=(a,b,c)，
则n⋅CM=a+2b=0n⋅CB1=4b+ 13c=0，可取n=(2 13,− 13,4)，
所以cs〈m,n〉=m⋅n|m|⋅|n|=5 13 5× 5×13+16= 659，
所以二面角C1−CM−B1的正弦值为 1−( 659)2=49．
17.(1)由数列{an}中，a1=1，且anan−1=nn−1(n≥2)，
可得ann=an−1n−1(n≥2)，
即anan−1=nn−1，
则an=a1⋅a2a1⋅a3a2...⋅anan−1=1×2×32×...⋅nn−1=n(符合首项)，
所以an=n；
(2)其中bn=|an−9|=|n−9|，
设cn=an−9=n−9，{cn}的前n项和为Sn，其中c1=−8，
故Sn=n(−8+n−9)2=n2−17n2，
当n≤9时，bn=9−n，故Tn=−Sn=−n2+17n2；
当n>9时，bn=n−9，
故Tn=(Sn−S9)−S9=Sn−2S9=n2−17n2−2×92−17×92=n2−17n+1442，
综上，Tn=−n2+17n2,n≤9n2−17n+1442,n>9．
18.解：(1)因为椭圆E过点(0, 3)，离心率为 22，
所以3b2=1ca= 22a2=b2+c2，
解得a2=6，b2=3，
则椭圆E的方程为x26+y23=1；
(2)(i)易知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y−1=k(x− 2)，
联立y=k(x− 2)+1x26+y23=1，消去y并整理得(2k2+1)x2+4k(1− 2k)x+(2 2−1)2−6=0，
由韦达定理得xA+xB=4k( 2k−1)2k2+1，xAxB=(2 2−1)2−62k2+1，
若点M为线段AB的中点，
此时4k( 2k−1)2k2+1=2 2，
解得k=− 22，
则直线l的方程为y=− 22(x− 2)+1，
即x+ 2y−2 2=0；
(ii)易知yAyB=[k(xA− 2)−1][k(xB− 2)−1]=−4k2−2 2k+12k2+1，
因为原点O总在以AB为直径的圆外，
所以OA⋅OB=x1x2+y1y2=2( 2k−1)2−62k2+1+( 2k−1)2−6k22k2+1=3( 2k−1)2−6k2−62k2+1>0，
即3( 2k−1)2−6k2−6>0，
解得k0，
所以数列{Dn}单调递增，
令2n+1−2−n>2025，
当n=10时，210+1−12=2048−12=2036>2025，
当n=9时，29+1−11=1024−11=10132025成立的最小正整数n的值为10．