吉林省长春市赫行教育集团2024-2025学年八年级上学期教学质量监测数学试题

这是一份吉林省长春市赫行教育集团2024-2025学年八年级上学期教学质量监测数学试题，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a23=a6B．a2⋅a3=a6C．a2÷a2=a4D．2a2−a2=1
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．同角的补角相等
B．相等的两个角是对顶角
C．如果a2=b2，那么a=b
D．三角形的外角等于两个内角的和
3．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．18x2y=2x⋅3x⋅3yB．2x−8=2x−4
C．3−x3+x=9−x2D．x2−2x+3=xx−2+3
4．木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．等边对等角B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性D．等腰三角形“三线合一”
5．如图，在△ABC中∠B=75°，DE⊥AC于点E，交AB于点M，AE=CE，以点C为圆心CA长为半径作弧，交DE于点F，连结CF交AB于点G．若CG=FG=2，则AB长为（ ）
A．2B．4C．23D．43
6．如图，可验证的乘法公式是（ ）
A．m−n2=m2−2mn+n2B．m+n2=m2+2mn+n2
C．m+nm−n=m2−n2D．m+n2=m−n2+4mn
7．如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA．连接BC并延长到E，使CE=CB．连接DE，那么DE的长就是A、B的距离．解决这个问题依据的数学道理是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
D．三边分别相等的两个三角形全等
8．如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，交EF于点O，连结AO，则线段AO为三角形的（ ）
A．高线B．中线C．角平分线D．都有可能
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．分解因式∶x2−4= ．
10．已知等腰三角形的两边长分别为4 cm、8 cm，则该等腰三角形的周长是 cm．
11．如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为 ．
12．如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.5，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点M在边AB上运动（点M与点A、B均不重合），若CM的长为整数，则CM= ．（写出一个即可）
14．如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连结DE．①∠BFE=60°；②AB=BC；③点F到△ABC三边的距离相等；④BE+CD=BC．上述结论中，所有正确结论的序号是： ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．计算：
（1）2a2a+b；
（2）4x2−6x÷−2x；
16．因式分解：
（1）m2−m；
（2）2x2−4x+2．
17．先化简，再求值：x+y2+x−yx+y−2x2，其中x=2，y=−1．
18．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．按要求完成下列问题，要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图．
（1）在图①中画出一个格点△ABC，使△ABC是等腰三角形，且面积为3．
（2）在图②中画出一个格点△ABC，使△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形．
（3）在图③中画出一个格点△ABC，使△ABC是等腰直角三角形，且面积为2.5．
19．如图，某校有一块四边形空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3 m，AD=4 m，BC=12 m，CD=13 m，求这块空地的面积．
20．如图，在△ABC中AB=AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠B=60°，BC=5，BD=3，则CF的长为________．
21．综合与实践：
根据以下素材，解决问题．
【问题解决】
小聪认为：“如果设计的方案中CB=CD，那么最高点B到地面的距离就是线段DG长”，以下是小聪的证明过程：
证明：过点B作BH⊥DC于点H，
∴∠BHC=90∘．
∵四边形EFGD是长方形，
∴∠DGC=90∘，
∴∠BHC=∠DGC，
∴最高点B到地面的距离是线段DG长．
请补全以上证明过程．
22．如图①，将边长分别为a和2ba>b的长方形分割成四个全等的直角三角形，再用这四个三角形拼成如图②所示的正方形，中间形成一个小正方形的空洞．若长方形的面积为24，大正方形的边长为5．试通过你获取的信息，解答下面问题．
（1）a2+b2=________．
（2）求中间形成小正方形的面积．
23．数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用．如图长方形纸片ABCD，AD=4，DC=3，点P为长方形纸片ABCD边AD上一动点，连结CP，将△CDP沿CP折叠，点D落在点D'处．
（1）AC的长为________．
（2）如图①，当点D'在线段AC上时，求PD的长．
（3）如图②，在（1）的条件下，当点P与点A重合时，沿CA将△CAD折叠得△CAD'，AD'与BC交于E点，则△ACE的面积是________．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=5，AC=4，以AC为边作正方形ACDE（点D和点B在AC的异侧）．动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线CD−DE向终点E运动，设点P的运动时间为t秒t>0．
（1）用含t的代数式表示DP的长．
（2）连结AP，当t=1时，AP的长为________．当t=5时，AP的长为________．
（3）当点P在CD边上时，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求t的值．
（4）当点P与正方形ACDE的顶点不重合时，若点P到四边形ABDE的一组邻边距离相等，直接写出t的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a23=a6，故选项正确，符合题意；
B、a2⋅a3=a5，故选项错误，不符合题意；
C、a2÷a2=1，故选项错误，不符合题意；
D、2a2−a2=a2，故选项错误，不符合题意；
故选：A
【分析】根据幂的乘方，合并同类项法则，同底数幂的乘除法逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A. 同角的补角相等，该命题是真命题，本选项符合题意；
B. 相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题，本选项不符合题意；
C. 如果a2=b2，那么a=b或a=−b，原命题是假命题，本选项不符合题意；
D. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题是假命题，本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据补角的定义、对顶角的定义和性质、平方根的性质、三角形外角的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆的相关概念
6．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
9．【答案】x+2x−2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2−4=x2−22=x+2x−2．
故答案为：x+2x−2．
【分析】用平方差公式分解因式．
10．【答案】20
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
11．【答案】10
【知识点】勾股定理
12．【答案】1.5
【知识点】等边三角形的判定与性质
13．【答案】5，6，7（写出一个即可）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理
14．【答案】①③④
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD，∠ACE=∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE=12×120°=60°，
∴∠BFE=60°，故①正确；
∵AB=BC只有在△ABC是等边三角形时才成立，现有条件无法证明△ABC是等边三角形，故②错误；
∵∠ABC，∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D，E，CE、BD相交于点F，
∴F为三角形的内心，
∴点F到△ABC三边的距离相等正确，故③正确；
如图，在BC上截取BH=BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵BF=BF
∴△EBF≌△HBF，
∴∠EFB=∠HFB=60°．
∵∠BFE=60°，
∴∠CFB=120°，
∴∠CFH=60°，
∴∠CFH=∠CFD=60°，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵CF=CF
∴△CDF≌△CHF．
∴CD=CH，
∵CH+BH=BC，
∴BE+CD=BC，故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】①利用三角形的内角和，角平分线的性质可得∠CFD=120°，所以∠BFE=60°，②当△ABC是等边三角形时才成立；③根据角平分线上的点到角两边的距离相等可作判断；④作辅助线，证明两对三角形全等：△EBF≌△HBF，△CDF≌△CHF，可得结论．
15．【答案】（1）4a3+4a2b
（2）−2x+3
【知识点】单项式乘多项式；多项式除以单项式；积的乘方运算
16．【答案】（1）mm−1
（2）2x−12
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
17．【答案】解：x+y2+x−yx+y−2x2
=x2+2xy+y2+x2−y2−2x2
=1+1−2x2+1−1y2+2xy
=2xy，
当x=2，y=−1时，
原式=2xy=2×2×−1=−4．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据题意先运用完全平方公式以及平方差公式展开，进而合并后化简，再代入数值即可求解。
18．【答案】（1）解：如下图，△ABC即为所求；
（2）如下图，△ABC即为所求；
（3）如下图，△ABC即为所求．
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；尺规作图-作三角形；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】（1）取格点C，连接AC、BC，结合AB=BC=32+12=10，可知该三角形为等腰三角形，且S△ABC=12×2×3=3，即可获得答案；
（2）取格点C，连接AC、BC，结合AB=BC=10，AB2+BC2=20=AC2，可知该三角形为等腰直角三角形，即可获得答案；
（3）取格点C，连接AC、BC，结合AB=BC=22+12=5，AC2+BC2=10=AB2，可知该三角形为等腰直角三角形，且S△ABC=12×5×5=2.5，即可获得答案．
（1）解：如下图，△ABC即为所求；
（2）如下图，△ABC即为所求；
（3）如下图，△ABC即为所求．
19．【答案】这块空地的面积为36m2
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
20．【答案】（1）见解析
（2）7
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的性质
21．【答案】见解析
22．【答案】（1）25
（2）1
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理
23．【答案】（1）5
（2）1.5
（3）7516
【知识点】勾股定理；矩形的性质
24．【答案】（1）当0