2026年湖南郴州市中考一模数学试题（含解析）

这是一份2026年湖南郴州市中考一模数学试题（含解析），文件包含八下数学第一章三角形的证明及其应用·提升卷试题版A4docx、八下数学第一章三角形的证明及其应用·提升卷试题版A3docx、八下数学第一章三角形的证明及其应用·提升卷解析版docx、八下数学第一章三角形的证明及其应用·提升卷答案版docx等4份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
1．本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有三道大题，共24道小题满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目．
3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．
4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 某摄像机逆时针旋转记为，则顺时针旋转记为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先确定已知旋转方向的表示规则，再推导相反方向的表示即可．
【详解】∵题目规定逆时针旋转记为，即逆时针旋转用正数表示，顺时针旋转与逆时针旋转是一对具有相反意义的量，
∴顺时针旋转应记为．
2. 在下列利用人工智能生成的LOGO图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，逐一分析各个图形即可．
【详解】A项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，所以不是轴对称图形，故A错误；
B项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，所以不是轴对称图形，故B错误；
C项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，所以是轴对称图形，故C正确；
D项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半图形重合，所以不是轴对称图形，故D错误．
3. 年十四届全国人大一次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为人左右．数据用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴用科学记数法表示为，
故选：C．
4. 计算的结果是（ ）
A. 1B. mC. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项法则即可计算出结果，合并同类项法则为：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变．
【详解】∵与是同类项，
根据合并同类项法则运算可得：，
∴计算结果为．
5. 下列调查中，可以采用普查的是（ ）
A. 了解某校九年级（三）班50名学生的视力健康情况
B. 了解某批次国产新能源汽车的续航能力
C. 了解东江湖的水质情况
D. 了解全国观众对2026年贺岁片的满意度
【答案】A
【解析】
【分析】根据普查的定义，当考察对象范围小，数量少，调查无破坏性，易于完成时，适合采用普查．
【详解】A项：调查对象为一个班的50名学生，范围小，数量少，可完成对所有对象的调查，适合普查；
B项：调查汽车续航能力具有破坏性，不适合普查；
C项：东江湖水质调查范围过大，不适合普查；
D项：调查对象数量多范围广，不适合普查．
6. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】对于一元二次方程，若，方程有两个不相等的实数根，若，方程有两个相等的实数根，若，方程无实数根，计算判别式即可判断根的情况．
【详解】对于一元二次方程，可得，，，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
7. 如图，点A，B，C，D在上，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同弧所对圆周角相等得到，结合已知条件即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴．
8. 为防止水土流失，某村计划在荒坡上种1200棵树．由于志愿者支援，每天种植的棵树是原计划的2倍，结果提前10天完成任务．设原计划每天种植x棵树，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据总棵数和每天种植棵数分别求出原计划完成天数与实际完成天数，再利用“实际比原计划提前10天完成”的等量关系列方程即可．
【详解】∵原计划每天种植x棵树，总种植棵数为1200棵，
∴原计划完成任务的天数为，
∵实际每天种植的棵数是原计划的2倍，
∴实际每天种植棵，实际完成任务的天数为，
∵实际比原计划提前10天完成任务，即原计划天数比实际天数多10，
∴列方程得，
因此正确选项为B．
9. 如图，在中，分别以的端点A，B为圆心，以大于长为半径在两边画弧，使两弧相交于点M，N；作直线交于点P，连接．已知点P是的中点，，则的长是（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图，得到直线是线段的垂直平分线，得到，结合点P是的中点，，得到，求解即可．
【详解】解：根据作图，得到直线是线段的垂直平分线，
，
由点P是的中点，，
．
10. 定义：已知二次多项式（a，b，c为常数，且），把关于x的方程的解称为该二次多项式的“溯源值”．若二次多项式的“溯源值”的取值范围是，则m的最小值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据“溯源值”的定义，将二次多项式代入方程，求出方程的解（用含m的式子表示），再结合“溯源值”的取值范围，通过不等式的性质求出m的取值范围，进而得到m的最小值．
【详解】解：∵是二次多项式，
∴，，，
将，，代入方程，
得：，即，
解得，
∵二次多项式的“溯源值”的取值范围是，
∴，
解得，
由可知，m的最小值是．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 比较大小：______3．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数比较大小，利用估算法比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：．
12. 我国古代“宫、商、角、徵、羽”五声音阶蕴含着丰富的数学智慧．在东江湖的“非遗渔歌”表演中，歌手需从这五个音阶中随机抽取一个进行开场定调，且每个音阶被抽取的可能性相同，则歌手恰好抽中“徵”音阶的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查等可能事件的概率计算，解题思路是先确定所有等可能的结果总数，再确定所求事件包含的结果数，代入概率公式计算即可．
【详解】解：∵所有等可能的结果共5种，抽中“徵”音阶的结果共1种．
∴恰好抽中“徵”音阶的概率为．
13. 不等式组的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，解得，
解不等式②得：，解得，
∴不等式组的解集为．
14. 已知远视眼镜片的度数y（度）与镜片焦距x（米）满足如图所示的反比例关系．某远视眼镜片的度数是200度，则镜片焦距为________米．
【答案】0.5##
【解析】
【分析】先设反比例函数的解析式为，根据图象代入对应点求得k的值，从而得出反比例函数的解析式，再将代入反比例函数解析式即可求得结果．
【详解】设反比例函数的解析式为，
将代入反比例函数中，
得，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，
解得，
∴镜片焦距为0.5米．
15. 如图，将一块正方体货柜静止放在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若摩擦力与重力G的夹角，则斜面的坡角________度．
【答案】26
【解析】
【分析】根据题意，由平行线的性质得到，根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵摩擦力的方向与斜面平行．摩擦力与重力方向的夹角，
∴，
∵重力的方向竖直向下，
∴，
∴，
16. 如图，在中，，平分交于点D，点E是延长线上一点，，则________度，且下列结论正确的是________（填序号）．
①若，则；
②若，则；
③若，，则．
【答案】 ①. 45 ②. ①③##③①
【解析】
【分析】先根据角平分线的定义求出和的度数，再利用三角形内角和定理结合已知条件求出的度数；根据全等三角形的判定定理判断和是否全等，通过证明和相似，利用相似三角形的性质得到对应边的比例关系，最后根据勾股定理求出的长度，再利用三角形面积公式求出的长度．
【详解】解：∵平分，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
验证①：在和中，
，
∴，故①正确；
验证②：∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，故②错误；
验证③：在中，，
∵平分，
∴点D到和的距离相等，设为h，
∴，即，
解得，
又∵，
在中，，即，
解得，故③正确，
综上，正确的结论有①③．
三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，第18、19题每小题8分，第20、21题每小题9分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】利用绝对值、特殊角三角函数值和零指数幂，分别计算出每一项的值，再进行加减运算即可得到结果．
【详解】解：原式
．
18. 下列是化简分式的两种方法的部分过程：
（1）请选择其中一种方法完成化简过程；
（2）当时，求分式的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：方法一：
，
方法二：
；
【小问2详解】
解：当时，原式．
19. 中考体育技能测试项目分为五类：A．篮球—运球绕杆；B．足球—运球绕杆；C．排球—正面双手垫球；D．乒乓球—左推右攻；E．羽毛球—击高远球．某校为了解学生对中考体育技能测试项目的选择情况，随机选取m名九年级学生开展“你选择的中考体育技能测试项目是________（每人必选且限选一项）”问卷调查．根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据题中信息，回答下列问题：
（1）______；
（2）设选择“D．乒乓球一左推右攻”测试项目的人数为n，则______，并补全条形统计图；
（3）在本次调查五类测试项目选择人数的数据中，即在数据：108，130，182，n，50中，众数是______，中位数是______；
（4）若该校九年级学生有1000人，估计选择“C．排球一正面双手垫球”测试项目的学生人数．
【答案】（1）520 （2）50
（3）50，108 （4）350
【解析】
【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量解答即可．
（2）利用频数之和等于样本容量×所占百分数，计算补图即可．
（3）根据中位数，众数的定义求解即可．
（4）利用样本估计总体计算即可．
本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，样本估计总体，熟练掌握统计图的意义，样本估计总体，正确计算样本容量是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据题意，得B项目有130人，占比为，
故，
故．
【小问2详解】
解：根据题意，得D项目的频数为：（人），补图如下：
．
【小问3详解】
解：108，130，182，50，50中，众数是50，中位数是108．
【小问4详解】
解：根据题意，得（人），
答：选择“C．排球一正面双手垫球”测试项目的学生有350人．
20. 马年春晚一系列机器人表演，展示了中国的科技实力．已知购买1台入门级人形机器人和2台商用级人形机器人共需18万元，购买3台入门级人形机器人和4台商用级人形机器人共需38万元．
（1）求入门级人形机器人和商用级人形机器人的单价分别是多少万元；
（2）某公司计划购买入门级人形机器人和商用级人形机器人共30台，总费用不超过120万元，问最多可以购买商用级人形机器人多少台？
【答案】（1）入门级人形机器人单价为2万元，商用级人形机器人单价为8万元
（2）最多可以购买商用级人形机器人10台
【解析】
【分析】（1）设入门级人形机器人单价为万元，商用级人形机器人单价万元，根据购买1台入门级人形机器人和2台商用级人形机器人共需18万元，购买3台入门级人形机器人和4台商用级人形机器人共需38万元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）该公司可购买商用级人形机器人台，则购买入门级人形机器人台，根据总费用不超过120万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设入门级人形机器人单价为万元，商用级人形机器人单价万元，
由题意得：，
解得：，
答：入门级人形机器人单价为2万元，商用级人形机器人单价为8万元；
【小问2详解】
解：该公司可购买商用级人形机器人台，则购买入门级人形机器人台，
由题意得：，
解得：，
为非负整数，
的最大值为10，
答：该公司最多可以购买商用级人形机器人10台．
21. 如图，是的内接三角形，是的直径，过点A作直线交的延长线于点D，使得________，请从“①；②”中任选一个条件填在横线上（填序号“①”或“②”），并解决下列问题：
（1）题干横线上所填序号为：_______
（2）求证：为的切线；
（3）若，，求的长度（结果保留）．
【答案】（1）①（或②）
（2）证明见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）任选其中一个条件即可；
（2）选择条件①：利用直径所对的圆周角是直角这一性质，结合等腰三角形的性质进行角度转换，从而证明半径与直径垂直，从而得证结论；选择条件②：根据圆周角定理可得，从而得到，从而得证结论；
（3）利用解直角三角形求出圆的半径，进而计算出弧长．
【小问1详解】
①（或②）
【小问2详解】
证明：选择条件①：
如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
选择条件②：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
【小问3详解】
解：在中，，，
∴，即，
∴，
∵是的直径，
∴，
在中，，且，
∴，即是等边三角形，
∴，
∴．
22. 某数学学习小组测量某块巨型显示屏，设计如下测量方案：
请根据表格中提供的信息，解决下列问题：
（1）求显示屏的高度；
（2）求显示屏的长度（结果精确到）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）作于点H，利用平行线的性质，等腰直角三角形的性质得出，从而通过线段和差关系即可求得结果；
（2）利用解直角三角形求得的长度，从而通过矩形的性质结合线段和差关系即可求得结果．
【小问1详解】
解：如图，作于点H，
则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：,
，，
∴，
∴，
∴．
23. 已知抛物线（a，h为常数且）．
（1）抛物线的对称轴为，且经过点．
①求抛物线的表达式；
②如图1，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上一动点，且在直线的下方，过点P作于点Q．请问线段的长度是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由；
（2）如图2，在二次函数（h为常数）中，当时，函数y有最大值为，求h的值．
【答案】（1）①，②
（2）或
【解析】
【分析】（1）①根据抛物线对称轴得，再将点A代入抛物线解析式，即可求得抛物线得表达式；
②过点P作轴交于点M，过点A作轴交y轴于点N，先证得是等腰直角三角形，进而证得是等腰直角三角形，推出，利用待定系数法求得直线的解析式，设Pa,a2−2a+1，，表示出的长度表达式，此时该表达式为开口向下的二次函数，有最大值，通过最后代入即可求得结果；
（2）先得出二次函数的对称轴和顶点坐标，再分情况进行讨论h的变化，从而求得结果．
【小问1详解】
解：①∵抛物线的对称轴为，
∴，
又∵抛物线经过点，
∴将点A代入抛物线解析式，得：4=a×3−12，
解得，
∴抛物线表达式为；
②如图，过点P作轴交于点M，过点A作轴交y轴于点N，
令，则y=0−12=1，
∴，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设直线的解析式为，
将点A，B代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
设Pa,a2−2a+1，则，其中，
∴PM=yM−yP=a+1−a2+2a−1=−a2+3a=−a−322+94，
当时，，
∴PQmax=22PM=22×94=928．
【小问2详解】
解：∵二次函数的对称轴为，顶点坐标为，
此时分情况讨论：
①如图，
若，则当时，y随x的增大而减小，
∴当时函数取得最大值，即−1−ℎ2=−4，
解得，（舍去）；
②如图，
若，则函数y的最大值为0，
∴与函数y的最大值为矛盾，
∴此情况不符合题意；
③如图，
若，则当时，y随x的增大而增大，
∴当时，函数取得最大值，即−4−ℎ2=−4，
解得或（舍去），
综上所述，或．
24. 【问题背景】
如图1，在菱形纸片中，，沿对角线将纸片剪开，得到和，如图2所示．
将按图3摆放，使得点与的中点重合．现将绕点顺时针旋转，旋转到线段与射线无交点时停止．边与相交于点M，边与射线相交于点N．
（1）如图3，当点M与A重合时，则______；
（2）如图4，当N为边与的延长线的交点时，求证：；
（3）如图5，当N为边与线段的交点时，且．设菱形纸片的边长为a，探究线段，之间的数量关系（用含a的式子表示）．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）．
【解析】
【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）证明，即可得到；
（3）作于点，求得，证明，得到，设，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵菱形纸片中，，沿对角线将纸片剪开，得到和，
∴，，
当点M与A重合时，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：作于点，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，且，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∴，，
∴．方法一：
方法二：
活动主题
测算巨型显示屏的高度与长度
测量工具
皮尺、测角仪、无人机、计算器等
活动过程
模型抽象
矩形显示屏的边与地面垂直，其示意图如下：

测绘过程
①测得支柱米，找到垂直于地面的垂足点P；
②在显示屏外取一点E，使得点E，P，M在同一条直线上，测米；
③无人机在点E处，以2米/秒的速度竖直向上飞行14秒至点F停止；
④在点F处测得显示屏顶点C的俯角，测得显示屏顶点D的俯角．
参考数据
，，．