2026东北三省三校高三下学期第二次模拟考试数学含解析

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注意事项：
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡指定位置.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知复数z是方程的根,则（ ）
A. B. C. 2D. 3
4. 在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（ ）
A B. C. D.
5. 人工智能（AI）领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型.神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出.是最常用的激活函数,下面关于表述错误的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若函数的极大值为1，则函数的极小值为
A. B. C. D.
7. 在中，若内角A,B为锐角，满足,则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,,M为椭圆上一点,若,,则C的离心率的取值范围是（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 记为等差数列的前n项和，若，,则（ ）
A. B. 公差
C. D. 若,则，
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 随机事件A,B相互独立的充要条件是
B. 设X为随机变量,则
C. 则,
D. 若,记函数,,则的图象关于点对称
11. 曲线C：（）是优美的封闭曲线,其围成的面积记为,M是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则（ ）
A. B.
C. 当时,的最大值是D. 当时,
三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 过引直线l,与圆C：相切于Q,则__________.
13. 函数有两个不同的零点,则实数a的取值范围是__________.
14. 已知向量,满足,,则最大值为__________.
四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. 已知函数（）,最小正周期的范围为.
（1）求的取值范围；
（2）若,函数的图象关于直线对称,求的值.
16. 四棱柱的底面ABCD是菱形,且,,侧面是矩形,且M是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若平面与平面ABCD所成二面角的平面角为,,求直线与平面MAB所成角的正弦值.
17. 在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵.
已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为.
（1）已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为.
①写出该模型的一步转移概率矩阵；
②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率.
（2）在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）.
18 已知（）
（1）设函数,讨论函数的单调性；
（2）当,时,证明：.
（3）当时,,求实数a的取值范围.
19. 已知双曲线：（,）的左、右焦点分别为，，实轴长为，双曲线的一条渐近线为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）为坐标原点，点、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于轴对称，的外接圆经过点.
①求证：直线与圆相切；
②直线与渐近线交于，两点,求的取值范围.