安徽省蚌埠市2025_2026学年高一数学上学期期末学业水平监测试题含解析

这是一份安徽省蚌埠市2025_2026学年高一数学上学期期末学业水平监测试题含解析，共71页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. RD.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B
2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.
【详解】对于A，令，函数的定义域为，关于原点对称，且，即该函数是奇函数，
易得函数在上是增函数，但不能说在其定义域内是增函数，故A不合题意；
对于B，函数的定义域为，不关于原点对称，即该函数没有奇偶性，故B不合题意；
对于C，函数的定义域为，关于原点对称，且是奇函数，在上是增函数，故C符合题意；
对于D，函数的定义域为，令，则，任取，有，
因，故该函数没有奇偶性，故D不合题意.
故选：C.
3. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将分式不等式转化整式不等式，进而求解即可.
【详解】因为，所以，
解得.
故选：A
4. 设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数，对数函数的单调性逐一比较即可.
【详解】因为是上的减函数，则，
是上的增函数，则，
又是上的增函数，则，
故得，即.
故选：D.
5. 已知函数，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用换元法求解函数解析式即可.
【详解】令，可得，由题意得，则，
因为，所以，
则，故D正确.
故选：D
6. 若一组样本数据的平均数为5，方差为3，则的方差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差和平均数的定义进行求解即可.
【详解】因为一组样本数据的平均数为5，方差为3，
所以，
，
的平均数为
的方差为.
故选：A
7. 已知幂函数是偶函数，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数和偶函数的定义进行求解即可.
【详解】因为该函数是幂函数，
所以，解得，或，
当时，，
因，
所以函数不是偶函数，不符合题意；
当时，，此时定义域为全体非零实数，
因为，
所以函数是偶函数，符合题意，
所以.
故选：C
8. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简函数解析式为，设，根据对数型复合函数的单调性分析判断推得在区间上单调递减且恒为正数，列出不等式组，求解即得.
【详解】因，
设，因在定义域上单调递增，
依题意，需使在区间上单调递减且恒为正数，
则需使，解得.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“”的否定是“”
B. 函数且恒过定点
C. 已知函数的定义域为，则的定义域为
D. 函数的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】运用含有一个量词的命题的否定来判断A；运用对数函数恒过定点的求法判断B；利用抽象函数定义域求法判断C；利用复合函数单调性求函数值域判断D即可.
【详解】对于A：命题：“”的否定是“”，故A正确；
对于B：函数（且），
令， 解得，，则恒过定点为，故B错误；
对于C：已知函数的定义域为，
即，即，所以的定义域为,
令，解得，即的定义域为，故C正确，
对于D：令 ，，而二次函数开口向下，
在上单调递增，在上单调递减，又因为在定义域上为减函数，
故在上单调递减，在上单调递增，
则在处取最小值，，
故的值域为，故D错误.
故选：AC
10. 2025年，教育部将“中小学生心理健康促进行动”列为年度重点工作，强调合理安排学习时长是保障学生心理健康的关键．某市随机抽取120名高一学生，调查其日均课后学习时间（含作业、复习等），所得数据绘制成频率分布直方图如下（时间单位：小时，组距0.5小时），则正确的选项是（ ）
A. 该市高一年级学生日均课后学习时间超过3小时的概率估计为0.35
B. 该样本的日均课后学习时间的中位数估计为2.625小时
C. 估计该市高一年级学生日均课后学习时间在2小时至2.5小时之间的人数最多
D. 估计该市高一年级有一半以上的学生日均课后学习时间在2小时至3小时之间
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据用频数估计概率、中位数的定义，结合频率直方图逐一判断即可.
【详解】A：该市高一年级学生日均课后学习时间超过3小时的频率为
，用频率估计概率，所以本选项说法正确；
B：因为，
所以样本的日均课后学习时间的中位数在这一组中，设为，
所以，因此本选项说法正确；
C：由频率直方图可知高一年级学生日均课后学习时间在2小时至2.5小时之间的人数最多，所以本选项说法正确；
D：因为，
所以估计该市高一年级没有一半以上的学生日均课后学习时间在2小时至3小时之间，
因此本选项说法不正确.
故选：ABC
11. 已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】将零点问题化为交点问题，作出函数图象求解参数范围判断A，分别解出，利用指数的运算法则判断B，利用对数的运算法则判断C，结合题意将目标式表示为指数函数，再结合指数函数的性质求解取值范围判断D即可.
【详解】令，解得，
令，解得，此时，
令，解得，此时，
令，解得，此时，
令，解得，此时，
则，
如图，作出符合题意的图象，
因为方程有四个不等的实数解，
所以与有四个不同的交点，则，故A错误，
对于B，令，解得，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
则
，故B正确，
对于C，由已知得，，
则
，
而
，可得，故C正确，
对于D，由题意得
，
而，
因为，所以，
则，
令，由指数函数性质得在上单调递增，
当时，，当时，，
可得，即，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 计算：______．
【答案】5
【解析】
【分析】运用换底公式、对数的运算性质，结合对数式与指数式的互化公式进行求解即可.
【详解】.
故答案为：
13. 自进入12月以来，我市气温较历史同期明显偏高，气温波动起伏较大，据气象台的记录，我市12月1日至12月14日的日最高气温（单位：）为14，13，8，9，12，16，18，14，17，16，15，9，6，9，则我市12月1日至12月14日的日最高气温的分位数为__________．
【答案】15
【解析】
【分析】根据百分位数的定义进行求解即可.
【详解】最高气温由小到大排列为：
6，8，9，9，9，12，13，14，14，15，16，16，17，18，
因为，
所以我市12月1日至12月14日的日最高气温的分位数为15.
故答案为：15
14. 已知x，y均为正实数，且满足，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由条件等式求得，将所求式变形用的代数式表示，借助于换元，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由，x，y均为正实数，可得，解得，
因，
则，设，则，且，
则，
因，当且仅当时等号成立，
故，即当时，的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，集合．
（1）求；
（2）已知集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数和指数函数的单调性解不等式求解集合A和B，结合并集的定义进行求解即可；
（2）根据必要不充分条件的性质可得集合间的关系，然后利用集合的关系列不等式组进行求解即可.
【小问1详解】
由，
所以，
由，解得，所以，
所以．
【小问2详解】
由是的必要不充分条件，得是的真子集，
所以或
由 ，
由，
解得．
所以实数的取值范围为.
16. 已知函数，函数．
（1）求不等式的解集；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先因式分解再利用一元二次不等式的解法求得，根据指数函数的单调性即可求出解集；
（2）先求出函数的定义域，再由对数的运算性质与换底公式将其化成关于的不等式，通过换元，求解一元二次函数的值域即可
【小问1详解】
由，
可得，即得，
则，故，
所以不等式解集为．
【小问2详解】
函数的定义域为，
且，
令，则，记，
则，故函数的值域为．
17. 第八届长三角国际创新挑战赛安徽赛区比赛日前在马鞍山市举办，大赛聚焦新能源汽车、生物医药等前沿领域，共征集到107项技术需求，吸引了省内外众多高校与科研团队参与揭榜攻关．其中，安徽本省的一支优秀科研团队——“徽创未来”团队，已成功进入现场赛的最终答辩环节．该团队共有6名核心成员，按研究方向分为三个小组：硬件组2人、算法组2人、数据组2人．现从6人中随机抽取3人组成现场答辩代表小组，每名成员被抽中的概率相等．
（1）求事件“硬件组的和算法组的同时被抽中”的概率；
（2）求事件“硬件组恰有1人被抽中”的概率；
（3）已知答辩代表小组的3人中至少有2人答辩通过，该团队答辩通过．现被选中组成答辩代表小组，三人各自答辩通过的概率分别为，三人答辩通过相互独立，求该团队答辩通过的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合列举法进行求解即可；
（2）根据古典概型运算公式，结合列举法进行求解即可；
（3）根据独立事件概率公式进行求解即可.
【小问1详解】
从6人中随机抽取3人的所有可能组合为：，
，
，
，共20种．
记“硬件组的和算法组的同时被抽中”为事件，则事件包含：，
，共4种，所以．
【小问2详解】
记“硬件组恰有1人被抽中”为事件，则事件包含：，
，
，共12种，所以．
【小问3详解】
记答辩通过分别为事件H，A，D，则，
记“该团队答辩通过”事件，则，
18. 已知函数，函数为奇函数．
（1）求实数的值及的解析式；
（2）判断在区间上的单调性，并用定义法证明你的结论；
（3）求使的实数的取值范围．
【答案】（1），，定义域为．
（2）在单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求解参数，进而求出的解析式即可.
（2）利用定义法求解函数的单调性即可.
（3）对给定的不等式合理变形，进而求解的取值范围即可.
【小问1详解】
记，
由条件知对任意成立，
可得，解得，
则，
故，定义域为．
【小问2详解】
在单调递增，证明如下：
任取，且，
则
，
因为，所以，
所以，即，故在区间上单调递增．
【小问3详解】
由，解得，
可得，
而，
则等价于，
故实数的取值范围是．
19. 已知函数．
（1）若，当时，求函数的值域；
（2）若时，对，使成立，求实数取值范围；
（3）若时，关于的方程有四个不等的实根，且满足，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）11
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的最值性质，结合指数函数的单调性进行求解即可；
（2）利用换元法，结合指数函数的单调性、二次函数的性质分类讨论进行求解即可；
（3）根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、基本不等式进行求解即可.
【小问1详解】
由条件，，对称轴为，
所以在单调递增，，
，即的值域为．
【小问2详解】
令，则，
，对称轴为在区间[2，8]上单调递增，
的最小值为．
因为，所以，问题转化为恒成立，
对称轴为，图象开口向上．
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，得矛盾．
综上，实数的取值范围是．
【小问3详解】
，
令，则方程化为，
设其两根为，则，
由条件，对于每个，方程有两个不等实根，
故，即，
设方程的两根为，则，
设方程的两根为，则，
，
，解得．
方程有2个大于-2的不等实根，
所以解得．
故，
当且仅当时等号成立．
所以的最小值为11．