安徽省蚌埠市2023_2024学年高一数学上学期期末学业水平监测试题含解析

这是一份安徽省蚌埠市2023_2024学年高一数学上学期期末学业水平监测试题含解析，共17页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则下列选项中正确的是（）
A. ⫋B. ⫌C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出，即可得出两集合之间的关系.
【详解】由题意，在中，，，
∴，∴⫌，
故选：B.
2. 已知实数、满足，则下列不等式正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质可得出、、的大小关系.
【详解】因为，由不等式的基本性质可得，，故.
故选：C.
3. 若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，则 “”是“函数在开区间内至少有一个零点”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，
由零点存在定理，时，函数在开区间内至少有一个零点，
充分性成立；
而函数在开区间内至少有一个零点时，不一定成立，
如函数，在开区间内有零点，但，
必要性不成立.
则“”是“函数在开区间内至少有一个零点”的充分不必要条件.
故选：A
4. 为了解高一新生的体质健康状况，某校将组织高一学生进行体质健康抽测．已知该校高一年级共有800名学生，将他们依次编号，拟利用随机数表随机抽取80名同学参加体质健康测试，随机数表的一部分如下：
在随机数表中从第2行第4列开始，横向依次读取三个数字，则被抽中的第5个编号是（）
A. 036B. 341C. 328D. 693
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机数表的用法，依次列出有关数据即可.
【详解】由题意，从第2行，第4列开始，横向依次读取的三个数字是：492，434，935（无效，舍去），820（无效，舍去），036，234，869（无效，舍去），693，所以抽中的第5个编号是：693.
故选：D
5. 已知函数满足：，则的解析式为（）
A. B.
CD.
【答案】A
【解析】
【分析】通过化简即可得出函数的解析式.
【详解】因为，∴，
故选：A.
6. 如果，是互斥事件，下列选项正确的是（）
A. 事件与不互斥B.
C. 与互斥D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据互斥事件的有关概念逐一判断即可.
【详解】对A：若，对立，则与也对立，所以与可以互斥，故A错误；
对B：因为，互斥，所以为不可能事件，故为必然事件，所以；
又，所以，故B正确；
对C：根据互斥事件的概念，，互斥，与一定不互斥，故C错误；
对D：只有，对立时，才有，故D错误.
故选：B
7. 函数的定义域为，则函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的定义域，得即函数的定义域，再整体代入求函数的定义域.
【详解】函数的定义域为，由，有，
即函数的定义域为，
令，解得，函数的定义域为.
故选：C
8. 若函数存在零点，则实数的值为（）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】化简函数，将零点问题转化为两个函数值相等问题，分别求出函数和的取值范围，即可得出实数的值.
【详解】由题意，在中，，
当时，，
即，
在中，，
，
当且仅当即时等号成立，
在中，函数开口向下，，
当时等号成立，
∴时，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，基本不等式求函数的取值范围，考查二次函数的范围，具有较强的综合性.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 函数，则下列选项正确的是（）
A. 是偶函数B. 是奇函数
C. 是偶函数D. 是奇函数
【答案】BC
【解析】
【分析】利用奇函数和偶函数的定义，判断各选项中的结论.
【详解】函数，函数定义域都是R，
，，
设，，
即，不是偶函数，A选项错误；
设，，
是奇函数，B选项正确；
设，，
是偶函数，C选项正确；
设，，
是偶函数，D选项错误.
故选：BC
10. 在某次调查中，利用分层抽样随机选取了25名学生的测试得分，其中15名男生得分的平均数为75，方差为6，其余10名女生的得分分别为，则下列选项正确的是（）
A. 女生得分的平均数小于75B. 女生得分的方差大于6
C. 女生得分的分位数是71.5D. 25名学生得分的方差为11.2
【答案】ACD
【解析】
【分析】A，B项，求出女生平均数和方差即可得出结论；C项，将女生得分从小到大排列，即可得出女生得分的分位数；D项，求出25名学生的平均数，即可得出25名学生得分的方差.
【详解】由题意，
分层抽样随机选取了25名学生，15名男生，10名女生，
男生平均数为75，方差为6，
10名女生的得分分别为，
A项，女生平均数：
，故A正确；
B项，女生方差：
，
故B错误；
C项，将女生得分从小到大排列：，
女生得分分位数是：，C正确；
D项，25名学生的平均数：，
25名学生得分的方差为：，D正确；
故选：ACD.
11. 下列不等关系正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】运用指数式和对数式的运算法则，结合指数函数和对数函数的单调性，比较大小.
【详解】函数在R上单调递减，则，
函数在上单调递增，则，
所以，A选项正确；
，，，所以，B选项正确；
函数在上单调递减，，
函数在R上单调递减，，所以，C选项错误；
，，
，D选项正确.
故选：ABD
12. 对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（）
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，那么
D. 如果，那么
【答案】AC
【解析】
【分析】分别将各选项中式子或者集合变形，判断是否能变形成与集合M中元素一样的特征.
【详解】对于A，，则恒有，
即，则，故A选项正确；
对于B，，若，则存在使得，
即，又和同奇或同偶，
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；
若和都是偶数，则能被4整除，而不一定能被4整除，
所以不能得到，故B选项错误；
如果，可设，
对于C，，
可得，故C选项正确；
对于D，，
不一定成立，不能得到，故D选项错误.
故选：AC
【点睛】方法点睛：
按照题目中关于集合中元素的定义，对选项中的算式进行变形整理，表示成中元素的形式，判断是否能够成立.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 命题“，有”的否定为______．
【答案】，；
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题可得.
【详解】根据全称命题的否定为特称命题，
命题“，有”的否定为“，”.
故答案为：，.
14. 写出一个具有性质①②③的幂函数__________．
①是奇函数；②在上单调递增；③．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用幂函数的图象和性质，判断满足性质①②③的幂函数.
【详解】由幂函数的性质可知，同时满足性质①②③.
故答案为：（答案不唯一）
15. 计算__________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用对数的运算性质以及换底公式可求得所求代数式的值.
【详解】原式.
故答案为：.
16. 已知实数且，则的最大值为__________，最小值为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由已知，，由基本不等式和配方法求最大值，，由配方法求最小值.
【详解】已知实数且，
则，
，
当或时等号成立，即的最大值为1；
，当，或时等号成立，
即的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：已知条件下求的最值，要利用好，即可化为，由可利用基本不等式求积的最小值，二次三项式可以用配方法求最值.
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 已知集合．
（1）求和；
（2）定义且，求和．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）化简集合即可求出和；
（2）化简集合即可求出和.
【小问1详解】
由题意，
在中，
，
则，．
【小问2详解】
由题意及（1）得，，
∵且，
∴，．
18. 某商店开业促销，推出“掷骰子赢礼金券”活动，规则为：将两枚质地均匀的骰子同时投掷一次，根据点数情形赢得一等奖、二等奖、三等奖．记事件为“两枚骰子点数相同”，事件为“两枚骰子点数相连”，事件为“两枚骰子点数不同但都是奇数或都是偶数”．
（1）以事件、、发生的概率大小为依据（概率最小为一等奖，最大为三等奖），求二等奖所对应的事件；
（2）若除上述三个事件之外的点数情形均没有奖，每位参与活动的顾客有两次投掷机会，求该活动中每位顾客中奖的概率.
【答案】（1）二等奖为事件
（2）
【解析】
【分析】（1）设两枚骰子的点数分别为、，用表示投掷结果，列举出所有可能的结果，利用古典概型的概率公式计算出、、的值，比较这三个概率值的大小，即可得出结论；
（2）计算出投掷一次中奖的概率，再利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【小问1详解】
解：设两枚骰子的点数分别为、，用表示投掷结果，则所有可能的结果有种，
即、、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、、
、、，
，则，
，则，
，则
，
，所以二等奖为事件．
【小问2详解】
解：投掷一次中奖的概率为，
该活动每位顾客中奖的概率为．
19. 已知函数．
（1）设，判断并证明函数的奇偶性；
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）函数为奇函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过求出的表达式即可得出函数的奇偶性；
（2）求出的值进而化简不等式，即可求出不等式的解集.
【小问1详解】
由题意，函数为奇函数，
证明如下：
在中，
，
的定义域为，
，
∴为奇函数．
【小问2详解】
由题意及（1）得，
在中，
，
，
所以，又，所以，
由，解得：，
∴原不等式的解集为．
20. 自2022年动工至今，我市的“靓淮河”工程已初具规模．该工程以“一川清､两滩靓､三脉通､十景红”为总体布局，以生态修复与保护为核心理念，最终将促进城市防洪､交通､航运､生态､观光､商业等多种业态协同融合发展．为调查我市居民对“靓淮河”工程的满意程度，随机抽取了200位市民，现拟统计参与调查的市民年龄层次，将这200人按年龄（岁）分为5组，依次为，并得到频率分布直方图如下．
（1）求实数的值；
（2）估计这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（3）估计这200人年龄的中位数（精确到小数点后1位）．
【答案】（1）
（2）41.5岁（3）42.1岁
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1，可求的值；
（2）根据频率分布直方图，可直接估算平均数；
（3）直接求频率在的数据就可估计中位数.
【小问1详解】
由题意：，解得．
【小问2详解】
由题意：，
估计这200人年龄的样本平均数为41.5岁．
【小问3详解】
由图可知，年龄在的频率为0.25，在的频率为0.35，
，
估计这200人年龄的样本中位数为42.1岁．
21. 为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元，猪肉在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度（）值的2倍．（说明：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费）
（1）写出运输总费用元与汽车速度的函数关系，并求汽车的速度为每小时50千米，运输的总费用．
（2）为使运输总费用不超过1260元，求汽车行驶速度的范围．
（3）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？
【答案】（1）1244元；（2）汽车行驶速度不低于时，不高于；（3）汽车应以每小时60千米的速度行驶．
【解析】
【分析】（1）依题意可得，再将代入计算即可；
（2）依题意得到分式不等式，再根据去掉分母，转化为一元二次不等式，解得即可；
（3）利用基本不等式即可求出的最小值，求出符合条件的即可．
【详解】（1）依题意可得
当汽车的速度为每小时50千米时，运输的总费用为：（元）．
（2）设汽车行驶速度为，
由题意可得：，
化简得.
解得，
故为使运输的总费用不超过1260元，汽车行驶速度不低于时，不高于．
（3）因为，所以，当且仅当即时取“”，
即当速度为60千米小时时，运输总费用最小．
22. 已知函数，.
（1）若，求函数的值域；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，分析函数的单调性，即可求得函数的值域；
（2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，求出函数的最小值，根据题意可得出，综合可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为，所以，
所以，函数上单调递减，在上单调递增，
当时，，
当时，，
故当时，函数的值域为.
【小问2详解】
解：①当时，，则，对称轴为，
此时在上单调递增，，
当时，则有恒成立；
②当时，，则，对称轴为，
此时在上单调递减，，
当时，则恒成立；
③当时，，
此时在上单调递减，在上单调递增，，
由，解得或．
综上可知，实数的取值范围是．
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9243
4935
8200
3623
4869
6938
7481
2976
3413
2841
4241
2424
1985
9313
2322