2025_2026学年天津市第二中学九年级下学期第一次月考数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年天津市第二中学九年级下学期第一次月考数学检测试卷 [含解析]，共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．计算得（ ）
A．12B．C．36D．
2．如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．估计的值在（ ）
A．到之间B．到之间C．到之间D．到之间
4．下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．截至2025年2月19日，国产电影《哪吒之魔童闹海》票房达到人民币元，成为春节档票房口碑最好的电影；将这个数用科学记数法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
6．的值等于（ ）
A．1B．C．3D．
7．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
8．若图象上有三个点，，，则，，大小关系是（ ）
A．B．C．D．
9．已知分别是方程的两个根，则代数式的值为（ ）
A．4B．5C．2D．6
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．在AB上找一点P，使得AP＝AG，若∠APG＝65°，则∠ABG的度数为（ ）
A．40°B．20°C．18°D．无法确定
11．如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）

A．B．C．D．
12．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论：
（1）柱子OA的高度为m；
（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；
（3）喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；
（4）水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外.
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．在一个不透明的袋子里有1个黄球，2个白球，3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球是白球的概率是_______．
14．计算：____．
15．计算的结果是__________．
16．在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位长度后与轴交于，则的值为___________．
17．如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为________．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，，及点均在格点上
（1）的大小为________（度）；
（2）为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到．请用无刻度的直尺，在如图所示的格中，画出线段，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）__________．
三、解答题
19．解不等式组，请按下列步骤完成解答：
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 ．
20．在某中学开展的读书活动中，为了解七年级400名学生暑期读书情况，随机调查了七年级部分学生暑期读书的册数．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为________，图①中m的值为________；这组数据的众数和中位数分别为________和________；
（2）求统计的这组数据的平均数；
（3）根据统计的样本数据，估计暑期该校七年级学生读书不少于3册的人数．
21．已知为的直径，为上一点，过点作的切线交的延长线于点为上一点，连接．

（1）如图（1），若，求的大小；
（2）如图（2），连接，若，求的半径
22．如图，旗杆上有一面宽为的旗子．在同一水平线上，小明在距旗杆m的点处测得点的仰角为，随后小明沿坡角（）为的斜坡走了m到达点处，测得点的仰角为．
（1）求斜坡的高度的长；
（2）求旗面宽的长度（参考数据：，结果精确到）．
23．已知小明的家、书店、快递站依次在同一条直线上，书店距小明的家，小明从家出发用先到达了书店，在书店停留了一会购买学习资料，再匀速前往距家的快递站，到达快递站用取到快递后匀速回家．下面图中x表示时间(单位：)，y表示小明离家的距离(单位：)．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
②填空：小明从书店到快递站的速度为_______；
③当时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）当小明取到快递准备回家时，爸爸从家出发沿同一路线匀速去找他，已知爸爸的速度为，那么小明和爸爸相遇时，小明离开家的时间是多少？(直接写出结果即可)
24．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，是对角线的中点，且交于点．

（1）如图①，求点，点的坐标；
（2）将沿轴向右平移得，点、、的对应点分别为，，，设．
（ⅰ）如图②，与重叠部分的面积为．当与重叠部分为三角形时，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
（ⅱ）若与四边形重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
25．已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点．
（1）当时，求该抛物线顶点的坐标；
（2）当时，求的值；
（3）若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值．
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．先算乘方，再算乘法，最后算减法，计算即可．
【详解】解：，
故选D．
2．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边数起，第一、二、三列下面一层都有一个小正方形，第三列上面一层有一个小正方形，即看到的图形如下：
故选D．
3．【正确答案】B
【分析】本题考查了无理数的估算，由夹逼法先确定的范围，进而即可确定的范围，掌握夹逼法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
故选B．
4．【正确答案】A
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形定义：中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．据此依次对各选项逐一分析即可作出判断．
【详解】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选A．
5．【正确答案】C
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选C．
6．【正确答案】C
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【详解】解：．
故选C．
7．【正确答案】B
【分析】本题考查分式的加减法；熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解是解题的关键．
原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值．
【详解】解：原式，
故选B．
8．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了比较反比例函数函数值的大小，解题的关键在于熟知对于反比例函数，当时，反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当时，反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大．
先证明，进而得到反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大，据此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵，，都在反比例函数图象上，且，
∴，
故选C．
9．【正确答案】A
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入法求值即可．
【详解】解：∵分别是方程的两个根，
∴，
∴；
故选A．
10．【正确答案】B
【分析】根据作图可得是的平分线，根据等边对等角以及三角形的内角和求得，进而根据直角三角形的两个锐角互余求得，结合角平分线的意义即可求得∠ABG的度数
【详解】解：∵AP＝AG，
∴∠APG＝∠AGP＝65°，
∴∠A＝180°﹣2×65°＝50°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠ABC＝20°，
故选B．
11．【正确答案】A
【分析】根据旋转的性质即可解答．
【详解】根据题意，由旋转的性质，
可得，，，
无法证明，，故B选项和D选项不符合题意，
，故C选项不符合题意，
，故A选项符合题意，
故选A．
12．【正确答案】C
【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．
【详解】解：当x=0时，y=，故柱子OA的高度为m；（1）正确；
∵y=﹣x2+2x+=﹣（x﹣1）2+2.25，
∴顶点是（1，2.25），
故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是2.25米；故（2）正确，（3）错误；
解方程﹣x2+2x+=0，
得x1=﹣，x2=，
故水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确．
故选C．
13．【正确答案】
【分析】用白球的数量除以球的总数量即可求得摸到白球的概率．
【详解】解：∵不透明的袋子里装有1个黄球，2个白球，3个红球，
∴从袋子中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是
14．【正确答案】
【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可得．
【详解】解：
.
15．【正确答案】/
【分析】利用积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算解答．
【详解】解：
.
16．【正确答案】1
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可．
【详解】解：将直线沿轴向下平移2个单位长度后得到，即，
∵平移后的直线与轴交于，
，
解得.
17．【正确答案】
【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH和MG的长，再求出MH的长，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解:如图,作OK⊥BC，垂足为点K，
∵正方形边长为4，
∴OK=2，KC=2，
∴KC=CE，
∴CH是△OKE的中位线
∴，
作GM⊥CD，垂足为点M，
∵G点为EF中点，
∴GM是△FCE的中位线，
∴，，
∴，
在Rt△MHG中，.
18．【正确答案】；见详解
【分析】（1）利用勾股定理求出、、，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，问题得解；
（2）取网格点S、T、M（中点）、H，根据（1）可知，即为圆的直径，连接，交于点O，即O点为圆心，连接并延长交圆O点E，连接，交圆O点F，连接，并延长至G点，连接，交于点N，连接，问题得解．
【详解】（1）根据勾股定理可得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴.
（2）如图，取网格点S、T、M（中点）、H，连接，交于点O，即O点为圆心，连接并延长交圆O点E，连接，交圆O点F，连接，并延长至G点，连接，交于点N，连接，即为所求．
证明：根据（1）可知，即为圆的直径，
∵，，，
∴，
∴，
∵为圆的直径，
∴O点为圆心，
∴为圆的直径，
∴，
∴点绕点顺时针旋转得到的点在直线上，
∵M点为中点，，
又∵，
∴点绕点顺时针旋转得到的点为，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
由（1）可知在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵点绕点顺时针旋转得到的点在直线上，
∴点绕点顺时针旋转得到的点为，
∴即为所求.
19．【正确答案】（1）
（2）
（3）见详解
（4）．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）移项，合并同类项，再系数化1；
（2）移项，合并同类项，再系数化1；
（3）将每一个不等式的解集分别在数轴表示，注意空心、实心的表示；
（4）根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找不到”的原则即可写出不等式组的解集．
【详解】（1）解：
，
解得：，
故；
（2）解：
，
解得：，
故；
（3）解：不等式①和②的解集在数轴上表示如图：
；
（4）解：解不等式①得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
故．
20．【正确答案】（1）40，25，3，3
（2）3
（3）280
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求中位数，众数和平均数，利用样本估计总体，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键；
（1）利用条形图计算总人数，利用1减去其他百分数求出的值，根据众数，中位数的计算方法，；
（2）根据平均数的计算方法，进行求解即可．
（3）利用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：；
，
∴；
3册的人数最多，故众数为3，
将数据排序后，排在第20和第21位的数据均为3，故中位数为3，
（2）平均数为：；
（3）（人）．
答：暑期该校七年级学生读书不少于3册的人数为280人．
21．【正确答案】（1）
（2）5
【分析】（1）连接由切线的性质可得出，根据等腰三角形的性质求出，再根据圆内接四边形的性质（内对角互补）可得出结论；
（2）根据垂径定理得，根据勾股定理求出，设的半径为r，得，在中根据勾股定理列出方程求出r的值即可
【详解】（1）连接如图①，
是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）如图②，连接交于点，

∵，，
∴，
∴，
在中，，
设的半径为r，
∴，
在中，，
∴，
∴
22．【正确答案】（1）斜坡的高度EF的长为m；
（2）旗面宽AB的长约为m．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）利用含的直角三角形的性质可得米；
（2）过点作，垂足为，得四边形为矩形，从而得，，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1）在中，，
，由勾股定理．
斜坡的高度的长为；
（2）过点作，垂足为，
由题意得：，即四边形为矩形，
则，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
（m），
旗面宽的长约为m．
23．【正确答案】（1）①，，；②；③；
（2）小明和爸爸相遇时，小明离开家的时间为．
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，掌握速度、时间、 路程之间的关系及待定系数法求函数关系式是解题的关键．
（1）①由“速度路程时间”和“路程速度时间”计算出时小明离家的距离；根据图象，直接写出当和时对应的值即可；
②根据“速度路程时间”计算即可；
③ 利用待定系数法求解即可；
（2）小明准备回家时到与爸爸相遇经历了，依题意得：，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：小明从家到书店的速度为：
，
时小明离家的距离为：
，
∴时小明离家的距离为，
由图象可知，当时，，
∴时小明离家的距离为，
当时，，
∴时小明离家的距离为.
小明从书店到快递站的速度为：
.
当时，，
当时，设y关于时间x的函数解析式为（为常数，且），
将坐标代入得：
，
解得：，
∴，
∴当时，小明离家的距离关于时间的函数解析式为：
（2）解：小明回家的速度为：
，
设小明准备回家时到与爸爸相遇经历了，依题意得：
，
解得：，
∴小明和爸爸相遇时，小明离开家的时间为：
．
24．【正确答案】（1），；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）．
【分析】（1）过点D作轴于点G，根据矩形的性质，求得，得到，进而得到，，，再利用特殊角的三角函数值，求出，，即可得到点D、点E坐标；
（2）（ⅰ）由平移的性质可知，，，得到，利用特殊角的三角函数值，求出，再根据三角形面积公式用含有的式子表示，即可得到答案；
（ⅱ）分四种情况讨论：①当时，；②当时， ；③当时，；④当时，，利用二次函数的性质分别求解，即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：过点D作轴于点G，
四边形是矩形，，，，
，，，
在中，，
，
，
是对角线的中点，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
；
（2）解：（ⅰ）由平移的性质可知，，，
，
，
，
，
当与重叠部分为三角形时，，
当点F与点重合时，此时；当点O与点A重合时，此时，
的取值范围为，

（ⅱ）由平移的性质可知，，，，，
由（1）可知，，
，
①当时，设与交于点F，此时，
，，
，
在中，，，
，，
，
，
当时，，
当时，，
；
②当时，与交于点H，此时，
，
，
，
，
，
，
由①可知，，
，
当，时，，
当时，，
当时，，
；
③当时，与交于点G，此时，
符合（ⅰ）函数关系式，，
，
当时，，
当时，，
；
④当时，此时，
符合（ⅰ）函数关系式，
当时，，
当时，，
，
综上可知，若与四边形重叠部分的面积为，当时，求的取值范围为．
25．【正确答案】（1）该抛物线顶点的坐标为
（2）10
（3）1
【分析】（1）先求得的值，再配成顶点式，即可求解；
（2）过点作轴，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得该抛物线顶点的坐标为，再利用待定系数法求解即可；
（3）过点作轴，过点作轴，证明，求得点的坐标为，在中，利用勾股定理结合题意求得，在的外部，作，且，证明，得到，当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：，得．又，
该抛物线的解析式为．
，
该抛物线顶点的坐标为；
（2）解：过点作轴，垂足为，
则．
在中，由，
．
解得（舍）．
点的坐标为．
，即．
抛物线的对称轴为．
对称轴与轴相交于点，则．
在中，由，
．
解得（正值舍去）．
由，得该抛物线顶点的坐标为．
该抛物线的解析式为．
点在该抛物线上，有．
；
（3）解：过点作轴，垂足为，
则．
．
在中，．
过点作轴，垂足为，则．
，又，
．
∴，，
∴点的坐标为．
在中，，
，即．
根据题意，，得．
在的外部，作，且，连接，
得．
．
∴．
．
当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，即．
在中，，
．得．
．解得（舍）．
点的坐标为，点的坐标为．
点都在抛物线上，
得．
．小明离开家的时间/
2
4
8
10
小明离家的距离/
200