2025_2026学年河北省廊坊市广阳区第六中学八年级下学期3月月考数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年河北省廊坊市广阳区第六中学八年级下学期3月月考数学检测试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．一个直角三角形的两条直角边长分别为1，a，斜边长为，则a的值为（ ）
A．4B．2C．D．
3．若最简二次根式与可以合并，则的值为（ ）
A．2B．3C．6D．10
4．如图是一块长为80米，宽为60米的长方形菜地，王大伯要从A处到C处去，则沿比沿少走（ ）
A．20米B．30米C．40米D．50米
5．下列计算：①；②；③．正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．如图，是边长为8的等边三角形，是高线，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在长方形中不重叠无缝隙地放入面积分别为12和18的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）

A．6B．C．D．
9．已知，，则可表示为（ ）
A．B．C．2mnD．mn
10．直角三角形的两条边长分别为和，则第三条边的长为（ ）
A．B．C．或D．2或
11．有一道计算题：，在“”中填入适当的运算符号，使计算结果是有理数，则“”中可以填的符号是（ ）
A．或B．或C．或D．或
12．如图，一个长方体的上、下底面是边长为的正方形，其高为，从点A处开始，将装饰彩条绕其侧面一周，彩条另一端落在点B处，则需要装饰彩条的长度至少为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．将化为最简二次根式：__________．
14．若则a的值为________．
15．如图，李丽参加一期小出探宝节目，她先从点P处登陆小岛，往西走9千米，又往北走6千米，她接着向西走3千米，往南一拐，仅走1千米到达点Q处就找到了宝藏，则登陆点P与藏宝点Q之间的距离是__________千米．
16．已知x为正整数，是整数，可根据，得到x的最小值为10．设y为正整数，若是比1大的整数，则y的最大值与最小值的差为__________．
三、解答题
17．计算下列各小题．
（1）；
（2）．
18．在直角三角形中，a，b为直角边，c为斜边．
（1）若，，求直角三角形斜边上的高h；
（2）若，a比c小，求b的值．
19．已知．
（1）求x，y的值；
（2）已知算式，试判断算式A的结果是有理数吗？若是，请计算出该算式的结果；若不是，请你写出一个二次根式，使它与算式A的和是有理数．
20．如图，某景区的划船观景处位于离水面A处高为4米的岸上（C处），在B处有艘游船，工作人员用绳子在C处（于点A）拉船靠岸，开始时绳子的长度是的3倍．
（1）求B处的游船到岸边的距离（即的长）；（结果保留根号）
（2）为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处，求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号）
21．已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②；
（1）求甲方案中裁出的长方形纸板①的长；
（2）求乙方案中得到的长方形纸板②的面积；
（3）小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？
22．勾股定理是人类重大科学发现之一．请你运用学到的知识，方法和思想探究以下问题．
【数学经验】分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图1），三个正方形的面积，，之间满足的等量关系是__________；
【迁移应用】（1）如图2，若为直角三角形，，，则正方形和正方形的面积差为__________；
（2）如图3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大的正方形的边长为，求图3中所有正方形的面积的和；
【动手操作】在图4中再画出一个正方形，使所画正方形的面积等于已知的两个正方形的面积之和．
23．阅读下列材料，并回答问题
；
；
；
…
（1）填空：__________；
（2）观察上述算式，请写出算式（n是正整数）的结果；
（3）试比较与的大小；
（4）计算：（提示：）．
24．已知是等腰直角三角形，，．动点在射线上，以为直角边作等腰直角三角形，，，连接．
（1）如图1，点P在线段上时，爱动脑筋的小明，小亮立刻想到上学期学的知识．小明：易得；小亮：易得的度数．请解答下列各小题．
①若，，则线段的长为__________；的度数为__________；线段的长为__________；
②经过猜想，请直接写出，及之间的数量关系；
（2）如图2，若点P在线段的延长线上，（1）中②的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）动点P在射线上运动过程中，当时，，请直接写出k的值．
答案
1．【正确答案】A
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，列出不等式，解之即可得出答案．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故选A．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理（直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方），并据此列出关于直角边的方程求解．
已知直角三角形的两条直角边分别为1和斜边为，根据勾股定理可列出等式，求解得出a的值，注意边长为正数需舍去负根．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为1，斜边长为
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，
∴，
即
移项得
∵a为直角边的长度，即
∴．．
故选D．
3．【正确答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式的概念及可合并二次根式的条件，解题的关键是明确可合并的二次根式需满足被开方数相同，且均为最简二次根式，需先将非最简二次根式化为最简形式再分析．
先将化为最简二次根式，得到其被开方数；因是最简二次根式且能与合并，故两者被开方数相同，由此确定m的值．
【详解】解：∵即化简后为最简二次根式，其被开方数为3．
又∵最简二次根式与可以合并，而可合并的二次根式需满足被开方数相同，
的被开方数与的被开方数相同，即．
故选B．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查了长方形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用长方形的直角性质构造直角三角形，通过勾股定理求出对角线长度，进而计算两条路径的距离差．
先明确沿→的路径长度为因长方形中，为直角三角形，利用勾股定理求出对角线的长度；最后计算两条路径的长度差，即得沿比沿→少走的距离．
【详解】解：连接，
∵四边形是长方形，
∴（长方形的四个角都是直角）．
沿→的路径长度为已知米，米，
∴米．
在中，由勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）得：
代入数值可得：
∴米（边长为正数）．
则沿比沿→少走的距离为米．
故选C．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据二次根式的加减乘除运算逐一判断即可．
【详解】解：①，原式计算错误；
②，原式计算错误；
③，原式计算正确；
正确的有：③，
故选B．
6．【正确答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质及勾股定理，解题的关键是利用等边三角形“三线合一”的性质（高、中线、角平分线重合）得到直角三角形的一条直角边，再结合勾股定理计算高线的长度．
由等边三角形边长为8，是高线，根据“三线合一”可知且；在中，已知，，利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：∵是等边三角形，边长为8，是高线，
∴根据等边三角形“三线合一”的性质，，且
在中，，，，
由勾股定理得：．
故选D．
7．【正确答案】B
【分析】本题考查了平面内两点间的距离公式，熟记公式是解题的关键．根据两点间距离公式代入求解即可．
【详解】解：∵点，，
∴线段，
故选B．
8．【正确答案】D
【分析】本题考查了正方形的面积与边长的关系、二次根式的运算及长方形面积的计算，解题的关键是根据正方形面积求出边长，结合摆放方式确定长方形的长和宽，进而通过面积差求出空白部分面积．
先由正方形面积求出边长（分别为和）；根据“尽量撑满长方形”可知长方形的长为两正方形边长之和，宽为较大正方形的边长；计算长方形面积与两正方形面积和的差，得到空白部分面积．
【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为12和18，
∴它们的边长分别为和．
∵要将两张正方形不重叠无缝隙地放入长方形且尽量撑满，
∴长方形的长为两个正方形边长之和，即，宽为较大正方形的边长．
∴长方形的面积为
．
∵两张正方形纸片的面积和为，
∴空白部分的面积为．
故选D．
9．【正确答案】A
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的乘法法则是关键．根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解：，，
，
故选A．
10．【正确答案】C
【分析】本题考查勾股定理，根据题意，可分第三边为直角边或斜边两种情况，根据勾股定理分别求第三边即可．
【详解】解：当第三边是斜边时，边长为：；
当第三边是直角边时，边长为：；
即第三条边的长为或，
故选C．
11．【正确答案】C
【分析】本题考查了二次根式的加减法的运算，平方差公式，理解相关知识是解答关键．
根据题意分别填入四种运算符号进行计算，再利用有理数和无理数的定义来判断求解．
【详解】解：，结果是有理数，
，结果不是有理数，
，结果是有理数，
，结果不是有理数，
综上可知，要使计算结果是有理数，则“”中可以填的符号和．
故选C．
12．【正确答案】D
【分析】本题考查了立体图形侧面展开图的应用及勾股定理，解题的关键是将长方体侧面展开为平面长方形，把立体图形中绕侧面一周的最短路径问题转化为平面上两点间的最短距离（即长方形对角线）问题，再利用勾股定理求解．
将长方体侧面展开，得到一个长方形，其一边长为长方体底面正方形的周长（因彩条绕侧面一周），另一边长为长方体的高；展开后点A和点B分别位于该长方形的两个对角顶点，彩条最短长度即为这个长方形的对角线长，通过勾股定理可求出该长度．
【详解】解：∵长方体上、下底面是边长为 的正方形，
底面正方形的周长为．
将长方体侧面展开，得到一个长方形，该长方形的一边长为底面周长另一边长为长方体的高．
∵从点A绕侧面一周到点B的最短彩条长度，即为展开后长方形的对角线长度，
∴由勾股定理得，彩条长度为．
故选D．
13．【正确答案】/
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．根据二次根式性质，进行化简即可．
【详解】解：．
14．【正确答案】12
【分析】本题考查了算术平方根的意义，根据算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】解：，
.
15．【正确答案】13
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．先求出（千米），（千米），再根据勾股定理求出千米即可．
【详解】解：根据题意可知：（千米），
（千米），
，
∴根据勾股定理得：（千米），
即登陆点P与藏宝点Q之间的距离是13千米．
16．【正确答案】72
【分析】本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．根据y为正整数， 是大于1的整数，先求出y的值可以为3、12、75，再求出结果即可．
【详解】解：∵，是大于1的整数，
∴．
∵y为正整数
∴y的值可以为3、12、75，
y的最小值是3，最大值是75，
∴y的最大值与最小值的差为．
17．【正确答案】（1）；
（2）．
【分析】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，二次根式的性质，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（）根据二次根式的除法，分母有理化，然后合并即可；
（）先通过平方差公式，二次根式的性质化简，最后合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．
（1）先求出斜边c，然后根据三角形面积求出斜边上的高即可；
（2）先求出，然后根据勾股定理求出b的值即可．
【详解】（1）解：∵，，c为斜边，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，a比c小，
∴，
∴．
19．【正确答案】（1）；
（2）算式A的结果不是有理数；写出的二次根式为（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式运算，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
（1）根据二次根式有意义的条件，先求出，然后再求出y即可；
（2）代入x、y的值求出A的值，然后进行判断，再根据二次根式与A的和为有理数，写出这个二次根式即可．
【详解】（1）解：∵有意义，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴不是有理数，
∵，
∴这个二次根式为（答案不唯一）．
20．【正确答案】（1）米
（2）米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．
（1）根据勾股定理直接求出的长即可；
（2）先根据勾股定理求出，然后求出的长度即可．
【详解】（1）解：∵米，（米），，
∴（米）；
（2）解：根据题意可知：（米），
∴（米），
∴米，
即游船向岸边移动的距离为米．
21．【正确答案】（1）厘米
（2）18平方厘米
（3）小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次根式运算法则．
（1）根据长方形面积公式列式解答即可；
（2）先求正方形的边长，然后求出乙方案中长方形的长和宽，然后求出结果即可；
（3）分别画图，求出纸板①，②中可以剪出的纸条条数，然后进行判断即可．
【详解】（1）解：甲方案中裁出的长方形纸板①的长为：
（厘米）；
（2）解：∵正方形纸板的面积为108平方厘米，
∴正方形的边长为厘米，
∵将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②，
∴乙方案中得到的长方形纸板②的长为：
（厘米），
宽为：（厘米），
∴乙方案中得到的长方形纸板②的面积为：
（平方厘米）；
（3）解：长方形纸板①的长为厘米，宽为厘米，
长方形纸板②的长为厘米，宽为厘米，
∵，，，，
∴长方形纸板①和长方形纸板②可以剪出长2厘米，宽厘米的纸条条数，如图所示：
∴长方形纸板①可以剪出6个长2厘米，宽厘米的纸条，长方形纸板②可以剪出4个长2厘米，宽厘米的纸条，
∴小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多．
22．【正确答案】数学经验：；迁移应用：（1）25；（2）；动手操作：见详解
【分析】数学经验：根据勾股定理求出结果即可；
迁移应用：（1）根据勾股定理得出：，即可得出答案；
（2）根据勾股定理得出答案即可；
动手操作：延长到点H，使，连接，，过点F作，交于点K，连接，则正方形即为所求．
【详解】解：数学经验：根据勾股定理得：；
迁移应用：（1）∵为直角三角形，，
∴，
∵，，
∴正方形和正方形的面积差为；
（2）根据图形可知：，
，
，
∴，
∵最大的正方形的边长为，
∴，
∴所有正方形的面积的和为：
；
动手操作：延长到点H，使，连接，，过点F作，交于点K，连接，如图所示：
∵正方形中，，，在正方形中，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形即为所求作正方形．
23．【正确答案】（1）
（2）
（3）
（4）44
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键．
（1）根据材料计算方法进行分母有理化即可解答；
（2）仿照材料方法计算即可；
（3）先根据材料计算方法进行化简，再进比较即可；
（4）先仿照材料方法进行变形，然后进行计算即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
（3）解：根据材料可知，，，
∵，
，即．
（4）解：
．
24．【正确答案】（1）①；；；②
（2）成立；见详解
（3）或
【分析】（1）①根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，求出；证明，得出，，求出，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形性质得出；
②根据勾股定理得出答案即可；
（2）证明，得出，，根据勾股定理得出，，即可得出答案；
（3）分两种情况：当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴；
②根据解析①可得：，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：成立；理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：当点P在线段上时，如图所示：
∵，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点P在线段延长线上时，如图所示：
∵，
∴，
根据解析（2）可知：，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上分析可知：k的值为或．