2025_2026学年北京市海淀区清华大学附属中学七年级下学期期中考试数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市海淀区清华大学附属中学七年级下学期期中考试数学检测试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在数，，，，，5中，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．在平面直角坐标系中，点位于第（ ）象限
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列调查中，最适合普查的是（ ）
A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
B．调查某款新能源车电池的使用寿命
C．了解全国中学生的视力情况
D．对2024年春节联欢晚会满意度的调查
5．若点在第四象限内，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．D．或
6．如图，边长为4cm的正方形先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，那么有辆车空；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车．则可列方程组（ ）
A．B．C．D．
8．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制成如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列结论中不正确的是（ ）
A．共有名学生参加模拟测试
B．第个月增长的“优秀”人数最多
C．从第个月到第个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D．第个月测试成绩“优秀”的学生人数达到人
10．已知关于，的方程组，其中，下列命题正确的个数为（ ）
①当时，、的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．能说明“若，则”是假命题的一个反例可以是__________．
12．在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是_________．
13．若是有理数，则满足条件的最大正整数的值是_________．
14．是关于，的二元一次方程，则_____．
15．已知关于x，y的二元一次方程组，的解满足方程，则k的值为__________．
16．有人问一位教师所教班级有多少人，教师说：“一半学生在学数学，四分之一学生在学音乐，七分之一学生在读外语，还剩下不足六位学生在操场踢足球”，则这个班有_______名学生．
三、解答题
17．计算：．
18．解下列方程组：
（1）；
（2）．
19．解不等式组：
20．如图，数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，设点所表示的数为．
（1）_____．
（2）发现沿数轴向右运动来抓自己，它立刻沿数轴往老鼠洞的方向逃跑，点所表示的数为5，则______，若的速度是1个单位长度/秒，的速度为个单位长度/秒，则从到达时，运动的路程是_______，______（填“能”或“不能”）逃脱的魔爪．
21．如图，已知的三个顶点的坐标分别是，，，现将先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到（点对应点，点对应点，点对应点）．
（1）在图中画出；
（2）若为内一点，则点在内的对应点的坐标是_______；
（3）过点作直线轴，在直线上存在点，使得，请直接写出点的坐标．
22．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔3个和种头盔4个共需345元，种头盔4个和种头盔3个共需390元．
（1）求，两种头盔的单价各是多少元（请列方程组求解）；
（2）若该商店计划正好用450元购进，两种头盔（，两种头盔均购买），销售1个种头盔可获利35元，销售1个种头盔可获利15元，假如这些头盔全部售出，则购买_______个种头盔和________个种头盔获得利润最大（请直接写出答案）．
23．当时，若关于的不等式组的解集为，则称为该不等式组的“解集长度”，如不等式组的解集为，则其“解集长度”为．
（1）不等式组的“解集长度”是_______；
（2）已知关于的不等式组的“解集长度”为0，求应该满足的条件，以及此时不等式组的解集；
（3）已知关于的不等式组的解集长度小于9，求的取值范围．
24．为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，表示“踢足球”运动的圆心角是 ；
（4）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．
25．如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立．
（1）方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”；
①；②；③；
（2）已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围；
（3）已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围．
四、单选题
26．已知平面直角坐标系中有和两点，且点位于第三象限，且直线轴，则（ ）
A．3B．C．D．或3
27．已知关于，的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解是（ ）
A．B．C．D．
五、填空题
28．如图，数轴上依次有、、三点，点为线段的中点，若点、分别表示实数和，则点表示的实数是______．
29．若，且，，设，则t的取值范围为______．
六、解答题
30．在平面直角坐标系中，仿照实数的运算，定义点的运算如下，对于点，，实数、，规定，特别的如果，就将简记为．设点，．
（1）_____；如果实数满足在第一象限，则的取值范围是_______；
（2）如果点满足存在实数，，使得，就称点是偏大的；如果存在实数，，使得，就称点是偏小的；如果点既不是偏大的又不是偏小的，就称点是适当的．
①下列点中，偏大的点是________；
，，，
②如果是适当的，直接写出的取值范围：___________．
答案
1．【正确答案】B
【分析】根据无理数的定义，即可求解．
【详解】解：，
所以无理数有：，，共2个．
故选B
2．【正确答案】A
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
根据各象限内点的坐标特征“第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．”解答即可．
【详解】解：点位于第一象限，
故选A．
3．【正确答案】C
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意；
B、若，则，故本选项不符合题意；
C、若，则，故本选项符合题意；
D、若，则，故本选项不符合题意；
故选C
4．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了的普查和抽样调查，解题的关键是掌握普查适用于：事关重大、人命关天的；样本较小，方便调查的；对结果精确度要求高的；抽样调查适用于：数量巨大，不便于全面调查的；调查具有破坏性的．根据普查使用的情况，逐个进行判断即可．
【详解】解：A．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，对结果精确度要求高，适合用普查，符合题意；
B．调查某款新能源车电池的使用寿命，调查具有破坏性，适合用抽样调查，不符合题意；
C．了解全国中学生的视力情况，调查范围太大，适合用抽样调查，不符合题意；
D．对2024年春节联欢晚会满意度的调查，调查范围太大，适合用抽样调查，不符合题意；
故选A．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查了象限内点的坐标特征，解不等式组，掌握第四象限内点的坐标特征是解题关键．根据第四象限内的点横坐标大于0，纵坐标小于0，列不等式组求解即可．
【详解】解：∵点在第四象限内，
则，
解得：，
∴，
故选B．
6．【正确答案】B
【分析】根据平移的性质分别求出，，再得到，，即可得到答案．
【详解】解：如图，设与交于点E，
∵将边长为4cm的正方形先向上平移2cm，再向右平移1cm，
∴，，
∴，，
∴阴影部分的面积，
故选B．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意可得，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设共有人，辆车，
根据题意得：，
故选．
8．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再由不等式组无解，可得关于m的不等式，即可求解．
【详解】解：
解不等式②得，
∵不等式组无解，
∴，
故选C．
9．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了条形统计图，折线统计图，熟练掌握统计图的相关知识是解题的关键．用第个月的优秀人数除以对应的优秀率可求出参加模拟测试的学生人数，据此可判断A；分别求出第个月，第个月，第个月优秀率的增长情况即可判断B；根据折线统计图即可判断C；用乘以第个月的优秀率即可求出第个月测试成绩“优秀”的学生人数，据此可判断D．
【详解】解：名，
∴共有名学生参加模拟测试，故A结论正确，不符合题意；
∵，
∴第个月增长的“优秀”人数最多，故B结论正确，不符合题意；
由折线统计图可知从第个月到第个月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，故C结论正确，不符合题意；
人，
∴第个月测试成绩“优秀”的学生人数达到人，故D结论错误，符合题意；
故选D．
10．【正确答案】D
【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式组等知识点，能求出方程组的解是解此题的关键．
①先求出方程组的解，把代入求出、即可；②把代入，求出的值，再根据判断即可；③求出方程组的解，再代入方程，看看方程左右两边是否相等即可；④根据和求出，再求出的范围即可．
【详解】解：解方程组得：，
①当时，，，
所以、互为相反数，故①正确；
②把代入得：，
解得：，
，
此时符合，故②正确；
③当时，
，，
方程组的解是，
把，代入方程得：左边右边，
即当时，方程组的解也是方程的解，故③正确；
④∵，
，
即，
∵，
∴，
，
，
，故④正确；
故选D．
11．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了命题与定理：命题写成“如果．．．，那么．．．”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
选取的的值不满足“若，则”即可．
【详解】解：当时，满足，但不满足，
∴可以作为说明命题“若，则”是假命题的一个反例.
12．【正确答案】
【分析】本题考查了点的坐标的性质，注意x轴上点的坐标特点是解题的关键．直接利用x轴上坐标的特点，则纵坐标为0，进而得出m的值求出答案．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
解得：，
∴点的坐标是.
13．【正确答案】10
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，解一元一次不等式，算术平方根的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据算术平方根的非负性得到，即可求出的取值范围，再根据是有理数得到是完全平方数，即可求解．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
且是完全平方数，
∴正整数或9或6或1
则满足条件的最大正整数的值是10.
14．【正确答案】1
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值．
【详解】解：根据题意，得且，
解得.
15．【正确答案】
【分析】首先结合得，求出x，y的值，再将，的值代入得出答案即可．
本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得
解得，
将代入，
得，
解得．
16．【正确答案】28
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，又根据一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在读外语，可知该班学生一定是2、4、7的倍数，从而可以解答本题．
【详解】解：设这个班有x人，
由题意可得：，
解得，x＜56，
又∵一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在读外语，
∴该班学生一定是2、4、7的倍数，
∴x=28.
17．【正确答案】
【分析】本题考查了实数的运算，涉及求一个数的算术平方根，立方根，掌握运算法则是解题的关键．
分别化简绝对值，求一个数的算术平方根，立方根，再进行加减计算．
【详解】解：
18．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
把①代入②得：，解得，
把代入①得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
19．【正确答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
故不等式组的解集为：．
20．【正确答案】（1）
（2）；；能
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数比较大小，无理数的估算，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）用点A表示的数减去点A和点B之间的距离即可得到答案；
（2）用电C表示的数减去点B表示的数即可得到的长；求出运动的时间即可求出运动的路程；比较出运动的路程与的长的大小关系即可得到最后的答案．
【详解】（1）解：∵数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，
∴；
（2）解：由（1）可得，点B表示的数为，
∵点所表示的数为5，
∴；
∵的速度是1个单位长度/秒，
∴从到达时的运动时间为秒，
∴运动的路程是，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴能逃脱的魔爪
21．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）或
【分析】本题考查了平移变换，画平移图形，由平移方式确定点的坐标，三角形的面积等知识点，掌握平移变换的性质是解题的关键．
（1）先由点和点O，确定平移的方式，再由平移的方式即可作图；
（2）根据平移方式即可求解；
（3）先由割补法求出的面积，再由即可求出的面积，再由三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵点对应点，，
∴点B向右平移了3个单位，向上平移了2个单位得到点O，
∴将向右平移了3个单位，向上平移了2个单位即可得到，如图：
（2）解：由题意得，向右平移了3个单位，向上平移了2个单位得到.
（3）解：如图：
∵，
∴，
∵过点作直线轴，
∴，
∴，
∵，
∴或
即或．
22．【正确答案】（1）A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元
（2）2，10
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．
【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
即购买2个A种头盔，10个B种头盔获得利润最大．
23．【正确答案】（1）
（2），
（3）
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
（1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据“解集长度”的定义求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据“解集长度”为0得到关于m的方程，解方程即可得到答案；
（3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据“解集长度”为小于9得到关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的“解集长度”是；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∵关于的不等式组的“解集长度”为0，
∴，
解得，
∴原不等式组的解集为，即原不等式组的解集为；
（3）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∵关于的不等式组的解集长度小于9，
∴，
解得．
24．【正确答案】（1）100
（2）见详解
（3）
（4）300人
【分析】（1）根据打排球的人数和所占的百分比即可求出总人数；
（2）根据（1）求出的总人数，分别求出打乒乓球和踢足球的人数，即可补全统计图；
（3）用踢足球的人数所占的百分比即可得到答案；
（4）用全校学生人数乘以打篮球的人数所占的百分比即可得到答案．
【详解】（1）解：（人）.
（2）解：打乒乓球的人数为（人），
踢足球的人数为（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：表示“踢足球”运动的圆心角是.
（4）解：（人），
即该校喜欢打篮球的学生人数为300人．
25．【正确答案】（1）②③
（2）
（3）
【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论．
（1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可；
（2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于的一元一次不等式，再求解即可；
（3）先解不等式组得，由新定义得到，解得：，设5个整数解为，则，求出的范围，再根据有解，得到关于k的不等式组，求出k的取值范围，再分类讨论求解．
【详解】（1）解：解方程得，
①不成立，故不符合题意；
②成立，故符合题意；
③成立，符合题意，
∴方程是下列不等式（组）中②③的“偏解方程”.
（2）解：解方程组得：，
∵方程组是不等式的“偏解方程组”，
∴，
解得：；
（3）解：解不等式组得，
∵关于的方程是它的“偏解方程”，
∴，
解得：，
∴设5个整数解为，
则由题意得：，
∴，
解得：，
∵有解，
∴，
解得：，
∴的整数解为或，
①当时，，
∴；
②当时，，
∴，
∴由①②得：，
又∵，
∴．
26．【正确答案】A
【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据直线轴，得出、两点的纵坐标相等，进而得出的值，再根据点位于第三象限，，得出的值，代入即可得出答案．
【详解】解：直线轴，
、两点的纵坐标相等，
，
，
或1，
点位于第三象限，
，
．
故选A．
27．【正确答案】C
【分析】根据题意①+②得x-y-9+m（x+y-1）=0，然后根据题意列出方程组即可求得公共解．
【详解】解：①+②得，
x+my+mx-y=9+m
x-y-9+mx+my-m=0
x-y-9+m（x+y-1）=0
根据题意，这些方程有一个公共解，与m的取值无关，
∴，解得：，
所以这个公共解为，
故选C．
28．【正确答案】/
【分析】本题考查了实数与数轴，根据中点的意义得到可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵点为线段的中点，，
∴，
∴对应的数是.
29．【正确答案】
【分析】由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案．
【详解】解： ，，
∴
解得： 而，

∵，

∴





∴t的取值范围是：
30．【正确答案】（1），
（2）①K和M；②
【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确理解新定义是解题的关键．
（1）根据新定义计算求解即可；根据题意可得，解不等式组即可得到答案；
（2）①根据新定义可得，则根据四个点的坐标可以建立关于的方程组，解方程组即可得到答案；②根据题意可得，解得，再分别求出T为偏大点和偏小点时t的范围即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，即；
∵在第一象限，
∴，
解得；
（2）解：①∵，，
∴，
当时， 解得，则是偏大点；
当时， 解得，则是偏小点；
当时， 解得，则是偏大点；
当时， 解得，则是偏小点；
∴偏大的点是K和M；
②∵，
∴当时，即，
∴，
解得，
当是偏大点时，则，，
∴，
解得；
当是偏小点时，则，，
∴，
解得；
∵是适当，
∴．