2025_2026学年北京市第二十四中学九年级下学期4月月考数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市第二十四中学九年级下学期4月月考数学检测试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．据网络平台数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》票房突破150亿元，目前观影人次已超3亿，位居全球影史票房榜第5位，150亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形B．等腰直角三角形
C．正五边形D．正六边形
3．如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．若函数的图象在每个象限内y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
7．下面是“作的平分线”的尺规作图方法：
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
D．三边分别相等的两个三角形全等
8．如图，等边中，点D是．边上一点（不与点B、点C重合），连接，以为边作等边，交交于F，给出如下三个结论：
①；②；③；④
上述结论一定正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
二、填空题
9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
10．分解因式：_________．
11．方程的解为________．
12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_________．
13．某种植户种植了棵新品种果树，为了解这棵果树的水果产量，随机抽取了棵进行统计，获取了它们的水果产量（单位：千克），数据整理如下：
根据以上数据，估计这棵果树中水果产量不低于千克的果树棵数为_____．
14．在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小南的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度_____．
15．如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，正确的是________．
①；②；③；④；⑤．
16．某送货员负责为A～E五个商场送货，每送一件甲种货物可收益1元，每送一件乙种货物可收益2元，某天五个商场需要的货物数量如下表所示：
（1）如果送货员一个上午最多前往三个商场，且要求他最少送甲种货物30件，最少送乙种货物15件，写出一种满足条件的送货方案_________（写商场编号）；
（2）在（1）的条件下，如果送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方案是_________．（写商场编号）．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组：
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在中，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
21．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.
22．购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．根据相关行业标准，空调的安全使用年限是年．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是元，请回答下列问题．
两款空调的部分基本信息
（1）使用多少年时，1级能效和3级能效这两款空调的综合费用相等？（综合费用空调的售价电费）
（2）某人打算选购一台空调使用年，请分析他购买、使用哪款空调更划算．
23．某小组对当地2022年3月至10月西红柿与黄瓜市场价格进行调研，经过整理、描述和分析得到了部分信息．
a．西红柿与黄瓜市场价格的折线图：
b．西红柿与黄瓜价格的众数和中位数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）________，_________；
（2）在西红柿与黄瓜中，_________的价格相对更稳定；
（3）如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在_________月的产量相对更高．
24．如图，为的直径，C为上一点，D为弧的中点，交的延长线于点E．

（1）求证：直线为的切线；
（2）延长交于点F．若，，求的长．
25．某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．
每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为要求清洗后的清洁度为
方案一：采用一次清洗方式．
结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为．
方案二：采用两次清洗的方式．
记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：
对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．
（Ⅰ）选出C是的所有数据组，并划“√”；
（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；
结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为________个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．
根据以上实验数据和结果，解决下列问题：
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约________个单位质量（结果保留小数点后一位）；
（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量最少为________为个单位质量，清洗后的清洁度C可以达到（结果保留一位有效数字）
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围．
27．如图，在等边中，点D是边上一点（点D不与B，C重合），连接． 点D关于直线的对称点为点E，连接交于点N． 在上取一点F，使，延长交于点G．
（1）若，求的度数（用含α的代数式表示）；
（2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
28．如图1，平面中的线段和直线外一点P，对于P，A，B三点确定的圆，如果所对的弧为优弧，我们就称点P为线段的“优关联点”．
（1）如图2，已知点，．
① 在点，，中，是线段的“优关联点”的是 ；
② 如果直线上存在线段的“优关联点”，直接写出b的取值范围．
（2）如图 3，已知点，，，，，如果在边上存在线段的“优关联点”，直接写出a的取值范围．
答案
1．【正确答案】C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：150亿，
故选C．
2．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项合题意．
故选D．
3．【正确答案】A
【分析】本题考查了对顶角相等，以及角的和差，数形结合是解答本题的关键．根据对顶角的性质得，然后根据求解即可．
【详解】解：∵与是对顶角，
，
，
，
故选A．
4．【正确答案】C
【分析】先观察数轴可知：，，然后判断D选项的正误，根据有理数的乘除法法则判断A、C选项的正误，再根据有理数的加减法则判断B选项的正误即可．
本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则和乘法法则．
【详解】解：观察数轴可知：，，
∴，，，，
∴A，B，D选项的结论错误，C选项的结论正确，
故选C．
5．【正确答案】B
【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：；首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】根据题意，画树状图如下：
共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有3种结果，所以两次摸出的小球标号相同的概率是，
故选B．
6．【正确答案】A
【分析】根据反比例函数的性质，可得m+2＞0，从而得出m的取值范围．
【详解】解：∵函数的图象在每个象限内y的值随x值的增大而减小
∴m+2＞0，
解得：
故选A．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．
由作图过程可知，，结合全等三角形的判定可得答案．
【详解】解：由作图过程可知，，
，
，
∴判定的依据是三边分别相等的两个三角形全等．
故选D．
8．【正确答案】B
【分析】根据是等边三角形，得出，证明，根据全等三角形的性质即可判断①；证明，即可判断②；根据当时，，但是是变化的，得出不一定相似，即可判断③；根据题意得出当点重合时，最大，此时，当时，最小，即可判断④；
【详解】解：∵是等边三角形，
，
，
，
，
∴，，故①正确；
∵，
∴，
∴，即，故②正确；
，
故当时，，
∵是变化的，
∴不一定相似，故③错误；
当点重合时，最大，此时，
当时，最小，
此时，
，
，
，
∵点是边上一点（不与点，点重合），
∴，故④正确；
故选B．
【点晴】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
9．【正确答案】且
【分析】本题考查二次根式，分式有意义的条件，掌握二次根式以及分式有意义的条件是正确解答的关键．
根据二次根式、分式有意义的条件进行解答即可．
【详解】解：由题意得，且，
解得且
10．【正确答案】
【分析】本题考查了因式分解的基本方法，包括提公因式法和公式法（平方差公式）的综合运用，解题的关键是先提取公因式，再对剩余部分运用平方差公式继续分解．
先观察多项式，发现各项都含有公因式提取公因式后得到再观察括号内的式子它符合平方差公式的形式，其中进而分解得到最终结果．
【详解】解：
．
11．【正确答案】
【分析】本题考查了解分式方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤解方程，然后检验即可得出答案．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为 1 得：．
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
12．【正确答案】且．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得
，且，再进行计算，即可作答．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且
∴且.
13．【正确答案】
【分析】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．用乘以水果产量不低于千克的果树的百分比即可求解．
【详解】解：估计这棵果树中水果产量不低于千克的果树棵数为（棵）．
14．【正确答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可求解．
【详解】解：由题意可知，，
∴，
∴，
即，
解得，
则教学楼高度.
15．【正确答案】①②③④
【分析】此题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键，根据垂径定理，圆周角定理判断求解即可．
【详解】解：根据垂径定理可以得到，故①正确；
∵是的直径，
∴，故②正确；
∵，
，
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，故④正确；
∵，
，
不能判断，故⑤错误.
16．【正确答案】B、 C、 E；（答案不唯一）；B、 C、 E．
【分析】本题考查了数据的分析与筛选能力以及收益优化问题，解题的关键是通过计算不同商场组合的货物总量筛选符合条件的方案，再通过计算收益确定最优方案．
（1）列出所有不超过三个商场的组合，计算每个组合的甲、乙货物总数量，筛选出甲种货物件且乙种货物件的组合；
（2）在（1）的有效组合中，根据“收益甲种货物数量乙种货物数量”计算各组合收益，选取收益最大的组合．
【详解】解：（1）先计算各商场甲、乙货物数量：A（甲4，乙、（甲，乙、（甲，乙、（甲8，乙、（甲，乙．
考虑不超过三个商场的组合：
组合B、C、E：甲总数，乙总数，满足条件．
（其他合理组合如B、D、E等也可）
（2）计算（1）中有效组合的收益：
组合B、C、E收益；
组合B、D、E收益；
组合C、D、E收益；
组合A、B、E 收益
∴其中最大收益为，对应组合B、C、E．
17．【正确答案】
【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，绝对值，特殊角的三角函数值等，熟练掌握各个运算法则是解题关键．将特殊角的三角形函数值代入，然后去括号，绝对值，最后进行计算即可得．
【详解】解：
．
18．【正确答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握和运用解一元一次不等式组的步骤是解决本题的关键．首先解每一个不等式，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：原不等式组为，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为．
19．【正确答案】，5
【分析】先利用分式的混合运算法则化简，然后把变形为，再整体代入计算即可．
【详解】解：原式=
=
=
=，
∵，
∴．
∴原式．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由证明其为矩形即可；
（2）由矩形性质得到，，解求出，则，最后在中运用勾股定理求解．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴．
21．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
（1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b；
（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可．
【详解】（1）解：由题意，将代入得：，
解得：，
将，，代入函数中，
得：，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴两个一次函数的解析式分别为，
当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，
即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为：
由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意，
∴当直线与直线平行时，，
∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，，
∴m的取值范围为．
22．【正确答案】（1）6
（2）购买、使用1级能效空调更划算
【分析】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用、有理数的混合运算，解决本题的关键是列一元一次方程求出使用多少年时，两款空调的综合费用相等．
（1）设使用年时，两款空调的综合费用相等，列方程求解即可；
（2）分别计算出两款空调使用年的综合费用，通过比较判断，然后即可求解．
【详解】（1）解：设使用年时，两款空调的综合费用相等，根据题意得：
，
解得：，
答：使用6年时，两款空调的综合费用相等；
（2）解：当时，
1级能效空调的综合费用：（元），
3级能效空调的综合费用：（元），
∵，
∴所以购买、使用1级能效空调更划算．
23．【正确答案】（1），
（2）西红柿
（3）6
【分析】（1）根据中位线和众数的定义求解即可；
（2）根据图中折线的起伏程度即可得到答案；
（3）根据题意可知价格最低的月份即是产量最高的月份，由此结合统计图即可得到答案．
【详解】（1）解：把西红柿这8个月的价格从低到高排列为5，6，6，6，7，8，9，10，处在最中间的两个数分别为6，7，
∴；
∵黄瓜价格中，价格为6元出现了三次，出现的次数最多，
∴.
（2）解：由折线统计图可知，西红柿的价格起伏比较小，黄瓜价格的起伏比较大，
∴西红柿的价格相对更加稳定，
故答案为；西红柿；
（3）解：∵这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，
∴价格最低的月份即是产量最高的月份，
由折线统计图可知在6月份的时候，两种蔬菜的价格都最低，
∴推测这两种蔬菜在6月的产量相对更高.
24．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）连，，证明，由垂径定理得出，得出，由切线的判定可得出答案；
（2）根据锐角三角函数求出，根据平行线的性质得出，根据锐角三角函数求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，，

∵为的直径，
∴，即
∵，
∴，
∵D为弧的中点，
∴，
∴，
∵是半径，
∴直线为的切线；
（2）：如图，

由（1）得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．【正确答案】（Ⅰ）见详解；（Ⅱ）见详解，4；（1）；（2）
【分析】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键．
（Ⅰ）直接在表格中标记即可；
（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；
（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为个单位质量，计算即可；
（2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过个单位质量，则清洗后的清洁度能达到，再根据图象解答即可．
【详解】解：（Ⅰ）表格如下：
（Ⅱ）函数图象如下：
由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小.
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为个单位质量，，即可节水约个单位质量；
（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过个单位质量，则第一次用水量为6个单位质量，总用水量最少为个单位质量，则清洗后的清洁度C可以达到.
26．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．
（1）把代入，转化成顶点式即可求解；
（2）分和两种情况，结合二次函数的性质即可求解；
【详解】（1）解：把代入得，，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线；
①当时，和都在对称轴右侧，此时随的增大而增大，
，
，
此时，
，
又 ∵，
；
②当时，在对称轴右侧，在对称轴左侧，
此时，与矛盾，故不符合题意，
综上，．
27．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及解直角三角形等知识，解题的关键是利用等边三角形和轴对称的性质构造辅助线，通过角度转化和线段关系推导，将所求问题与已知条件建立联系．​
（1）利用等边三角形性质得，结合得；通过角的和差关系表示；再根据三角形内角和定理求出的度数．
（2）在上截取构造证明利用轴对称性质得、及；结合证四边形是平行四边形，得故通过直角三角形中与之间关系及的关系推导与的数量关系．
【详解】（1）如图1，
∵是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）．理由如下：
如图2中，在上截取，连接，，，交于点H，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D关于直线的对称点为点E，
∴， ，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
记与的交点为点N，则由轴对称可知：，，
在中，，
，
28．【正确答案】（1）①②
（2），
【分析】（1）根据定义得出所对的弧为优弧，，进而得出结果；
（2）以为直径作，求出直线与相切时的b的值，进而得出结果；
（3）求出以为直径的与相切时a的值，与相切时a的值，进一步得出结果．
【详解】（1）解：①如图1，
所对的弧为优弧，
，
，，，
是线段的“优关联点”.
②如图2，
以为直径作，
当切于点A或点B时，设其分别交y轴于点D，交x轴于E，
则直线，
∵直线，当时，；
当时，；
∴直线与x轴所成的锐角是，
∴，
∴，
∴直线交y轴于点，
可得，
，
，
同理得出：，
，
此时直线与y轴交于，
；
（2）解：如图3，
当以为直径的与直线相切于点A或点B时，
连接，
则，
当在左侧时（除去A点），，
，
，
，
当在的右侧时（除去切点），
此时：，
，
如图4，
当与相切时，或，
此时或，
，
综上所述：或．（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
（2）分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
（3）作射线．
水果产量
果树棵数
商场
需甲种货物数量（件）
需乙种货物数量（件）
A
4
7
B
13
4
C
10
5
D
8
5
E
15
6
匹数
能效等级
售价/元
平均每年耗电量
1级
3级
蔬菜价格
众数
中位数
西红柿（元/千克）
6
m
黄瓜（元/千克）
n
6

































C












































C
√

√

√
√
√
√

√
√
√