2025_2026学年22.菱形——初中数学中考一轮分层训练中考一轮复习 [含解析]

这是一份2025_2026学年22.菱形——初中数学中考一轮分层训练中考一轮复习 [含解析]，共25页。试卷主要包含了基础题，能力题，拓展题等内容，欢迎下载使用。
1．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．四条边都相等
C．对角相等D．邻角互补
2．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=3cm，四边形AOBC的面积为12cm2，则OC的长为（ ）
A．5cmB．8cmC．10cmD．4cm
3．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角相等
4．如图，在菱形ABCD中，已知∠ABO=26°，则∠BAD的度数为（ ）
A．98°B．128°C．120°D．118°
5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，要使▱ABCD成为菱形，还需添加的一个条件是 ．
6．如图，菱形ABCD的周长为为8，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，则OE的长为 ．
7．已知一菱形的边长为4，则其周长为 ．
8．如图，菱形ABCD中，E是对角线BD上的一点，连接EA、EC，求证：∠BAE=∠BCE．
9．如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F．求证：DE=BF．
二、能力题
10． 按如下步骤作四边形ABCD：（1）画∠EAF；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE、AF于点B、D：（3）分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC、DC、BD．若∠A=40°，则∠BDC的度数是（ ）
A．64°B．66°C．68°D．70°
11．如图是一个掐丝珐琅方胜式盒盖的纹样，由两个全等的菱形叠压组成．寓意优胜，优美和同心，若两个菱形的对角线分别为8cm和6cm，重叠部分是一个面积为6cm2的菱形，则这个图案的总面积为（ ）
A．42cm2B．48cm2C．54cm2D．60cm2
12．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E为BC中点，过E作EG⊥AC，垂足为G，过E作EF⊥BD交AB于点F，连接FG，若AC=5，BD=24，则FG的长为（ ）
A．12B．10C．6.5D．5
13．如图，在菱形ABCD中，∠B=45°,AB=6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B 落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（ ）
A．2B．6−32C．22D．62−6
14．如图所示，四边形ABCD是菱形，E，F分别是边BC和对角线AC上的动点，且AF=CE，若AB=22，∠ABC=140°，则DE+DF的最小值为（ ）
A．2B．5C．22D．3
15． 如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，点M是边BC的中点，点N是边CD上一点，点P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为 ．
16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，若AE=BE，OE=3，OA=4，则线段OF的长为 ．
17． 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE＝CE．若AB=43，则AF＝ ．
18．如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，G为AD 中点，点E在BC的延长线上，F，H分别为CE，GE的中点，∠EHF=∠DGE，CF= 7，则AB= .
19．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，若AC=12，BD=16，则FG的长为 ．
20．如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，AC⊥BD交于点O．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）如图2，过四边形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E，交OB于点H，若AB=AC=6，求四边形OHEC的面积．
21． 如图，点P在直线l外．
①在直线l上任取一点A，连接AP；
②以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B；
③分别以点P和点B为圆心，以大于12BP的长为半径画弧，两弧在∠BAP内交于点Q，作射线AQ；
④以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C；
⑤连接CB,CP．
（1）由②得AP与AB的数量关系是 ；由③得到的结论是 ．
（2）求证：四边形ABCP是菱形．
三、拓展题
22． 归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：
（1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质
① ；
② ；
③ ．
（2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，∠ABC=90°，点D是AC的中点，BE∥AC，AE∥BD，试帮他判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【正确答案】B
解：A、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不选；
B、菱形四条边相等而矩形四条边不一定相等，只有矩形为正方形时才相等，故B符合题意；
C、平行四边形对角都相等，故C不选；
D、平行四边形邻角互补，故D不选．
故选：B．
【分析】与平行四边形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等．
2．【正确答案】B
解：∵以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C，
∴AC=BC=OA，
∵OA=OB，
∴AC=BC=OA=OB，
∴四边形AOBC是菱形，
∴S四边形AOBC=12×AB×OC=12=12×3×OC
∴OC=8
故B.
【分析】利用作图可证AC=BC=OA，结合已知条件可证得AC=BC=OA=OB，利用四边相等的四边形是菱形，可证得四边形AOBC是菱形，利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，可求出OC的长.
3．【正确答案】A
解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；
B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；
C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；
D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；
故A．
【分析】矩形对角线相等且互相平分，四个内角都是直角；菱形对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，对角相等，邻角互补，据此逐一判断得出答案.
4．【正确答案】B
解：∵在菱形ABCD中，已知∠ABO=26°，
∴∠ABC=2∠ABO=52°，AD∥BC，
∴∠BAD=180°−∠ABC=128°，
故选：B．
【分析】根据菱形性质可得∠ABC=2∠ABO=52°，AD∥BC，再根据直线平行性质即可求出答案.
5．【正确答案】AC⊥BD（答案不唯一）
解：要使▱ABCD成为菱形，只要菱形满足以下条件之一即可，①对角线相互垂直，②邻边相等．
故答案为即AC⊥BD（答案不唯一）．
【分析】
当判定一个平行四边形是菱形时，有两种方法，分别为：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，一组邻边相等的平行四边形也是菱形．
6．【正确答案】1
解：∵四边形ABCD是菱形，且周长为8，
∴CD=14×8=2，OD⊥OC；
∵点E为CD的中点，
∴OE=12CD=1；
故1．
【分析】先根据菱形性质求得菱形边长为2，再由菱形性质及直角三角形斜边中线的性质求得OE．
7．【正确答案】16
解：菱形的周长为4×4=16．
故16．
【分析】根据菱形性质即可求出答案.
8．【正确答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠ABE=∠CBE，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBESAS，
∴∠BAE=∠BCE．
【分析】根据菱形的性质可得BA=BC，∠ABE=∠CBE，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△CBESAS，则∠BAE=∠BCE，即可求出答案.
9．【正确答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC=AD=DC,∠B=∠D，
∵AE⊥CD,AF⊥BC，
∴∠DEA=∠BFA=90°，
在△ADE与△ABF中
∠DEA=∠BFA∠B=∠DDA=BA，
∴△ADE≌△ABFAAS，
∴DE=BF．
【分析】根据菱形性质可得BA=BC=AD=DC,∠B=∠D，再根据全等三角形判定定理可得△ADE≌△ABFAAS，则DE=BF，即可求出答案.
10．【正确答案】D
解：由作图过程可得AB=AD=BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC=180°-∠A=140°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BDC=∠ADB=12∠ADC=70°.
故D .
【分析】由四边相等的四边形是菱形得四边形ABCD是菱形，由菱形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补可求出∠ADC=140°，进而根据菱形的每一条对角线平分一组对角可求出∠BDC的度数.
11．【正确答案】A
解：菱形的面积：6×8×12=24（cm2），
这个图案的总面积为：24+24−6=42（cm2），
故A．
【分析】利用菱形的面积公式求出菱形的面积为24cm2，再用两个菱形的面积再减去重叠部分计算求解即可.
12．【正确答案】C
解：如图，连接EO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD=12BD=12，AC⊥BD，
又∵EG⊥AC，EF⊥BD，
∴OHEG是矩形，
∴∠FEG=90°，
在Rt△BOC中，点E是斜边BC的中点，
∴EO=CE，
又∵EG⊥AC，
∴点G是CO的中点，
又∵点E是BC的中点，
∴EG=12BO=6，
∵点E是BC的中点，点F是AB的中点，
∴EF=12AC=52，
∴FG=EF2+EG2=132=6.5.
故C.
【分析】连接EO，由菱形的性质得OB=OD=12BD=12，AC⊥BD，由有三个角是直角的四边形是矩形得OHEG是矩形，进而由矩形性质得∠FEG=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EO=CE，根据等腰三角形的三线合一得点G是CO的中点，由三角形的中位线定理得EG=12BO=6，EF=12AC=52，最后根据勾股定理算出FG即可.
13．【正确答案】D
解：如图所示，
由折叠知，AF=AB=6、∠F=∠B=45°
∴∠BAF=90°
∴BF=AB2+AF2=62+62=62
∵四边形ABCD是菱形
∴BC=AB=6
∴CF=BF−BC=62−6
故D.
【分析】由于B、C、F在同一条直线上，由折叠的性质知AF=AB、∠F=∠B，则可得△ABF是等腰直角三角形，由勾股定理可得BF=62，再由菱形的四条边相等，即BC=6，则CF可求.
14．【正确答案】C
解：如图所示，在BC右边作∠ECH=20°，
且使得CH=AD，连接EH，DH，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=140°
∴∠BCD=∠DAB=40°，
∴∠DAC=12∠DAB=20°，
∵AF=CE，∠DAC=∠ECH，AD=CH，
∴△DAF≌△HCE，
∴DF=EH，
∵∠DCH=∠DCB+∠BCH=40°+20°=60°，且AD=DC，AD=CH，
∴CD=CH，
∴△DCH是等边三角形，
∵AB=22，AB=CD，
∴DH=DC=CH=22，
∵DE+DF=DE+EH≥DH，
∴DE+DF≥22，
即DE+DF最小值为22.
故C.
【分析】如图，在BC右边作∠ECH=20°，使得CH=AD，连接EH，DH，证明△DAF≌△HCE，推出DF=EH，DE+DF=DE+EH≥DH，进而求解即可.
15．【正确答案】245
解：作点M关于直线BD的对称点M'，过点M'作M'N'⊥CD于点N'，交BD于点P'，则点P在点P'的位置时，PM+PN的值最小，且最小值为线段M'N'的长度。即AB和CD这一组对边之间的距离。连接AC交BD于点O，连接P'M。
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，AO=3，BO=4，
∴AB=5，
∴S菱形ABCD=AB×M'N'=12×AC×BD，
∴5M'N'=12×6×8，
∴M'N'=245.
即PM+PN的最小值为 ：245。
故245。
【分析】首先作点M关于直线BD的对称点M'，过点M'作M'N'⊥CD于点N'，交BD于点P'，则点P在点P'的位置时，PM+PN的值最小，且最小值为线段M'N'的长度。即AB和CD这一组对边之间的距离。连接AC交BD于点O，连接P'M。首先根据菱形的性质，结合勾股定理得出AB=5，然后再根据菱形面积的两种不同求法，即可得出PM+PN的最小值。
16．【正确答案】25
已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，
∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，
∵OE=3，OA=4，
∴根据勾股定理得AE=32+42=5，
∵AE=BE，
∴OB=AE+OE=8，
在Rt△AOB中AB=42+82=45，
即菱形的边长为45，
∵点F为CD的中点，点O为DB中点，
∴OF=12BC=25 ．
故答案为25
【分析】先求出菱形的边长为45，再根据线段的中点求解即可。
17．【正确答案】4
解：连接AC，CF，
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC= AB=43，
∴∆ABC是等边三角形，
∴∠ABC =60° ，
∴∠BAE= ∠FBC =30° ，
∵BE=12AB=12×43=23，
∴AE=3BE=3×23=6，EF=BE3=233=2
∴AF=AE-EF=6-2=4.
故4.
【分析】根据菱形的性质，得BC=AB，又结合AE⊥BC，BE=CE，得出∆ABC是等边三角形，就可以得知∠BAE= ∠FBC =30°，利用30°角的三角形性质，即可求出AE，EF的长，进而可得AF的值，解答即可.
18．【正确答案】4
提示：如图，连接CG，过点 C作CM⊥AD，交AD的延长线于点M.
∵F，H分别为CE，GE的中点，
∴FH 是△CEG的中位线.
∴HF=12CG.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠DGE=∠E.
∵∠EHF=∠DGE， ∴∠E=∠EHF.
∴HF=EF=CF. ∴CG=2HF=2 7
∵AB∥CD， ∴∠CDM=∠A=60°.
设DM=x，则CD=2x，CM= 3x.
∵G为AD的中点， ∴DG=x.
在 Rt△CMG中，由勾股定理得
CG=GM2+CM2=7x=27,
∴x=2. ∴AB=CD=2x=4.
故4.
【分析】连接CG，过点C作 CM⟂AD,交AD的延长线于M，利用平行线的性质和三角形中位线定理可得C G=2HF=27,由AB∥CD，得 ∠CDM=∠A =60∘,设DM=x，则 CD=2x,CM=3x，在 Rt△CMG中，借助勾股定理得：CG=7x=27, 即可求出x的值，从而解决问题.
19．【正确答案】5
解：如图，连接OE
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD、OA=OC=12AC=6、OB=OD=12BD=8
∴∠COD=90°
∴CD=OC2+OD2=62+82=10
∵EF⊥OD、EG⊥OC
∴∠EFO=∠EGO=90°
∴四边形OFEG是矩形
∵E是CD中点
∴FG=OE=12CD=5
故5.
【分析】由菱形的对角线互相垂直平分可得∠COD=90°，同时借助AC与BD的长应用勾股定理可得边长CD=10，又因为EF⊥BD、EG⊥AC可得四边形OFEG是矩形，则对角线FG=OE，再借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.
20．【正确答案】（1）证明：∵AD=AB，AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴BC=CD，
∴BC=CD=AD=AB，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）解：如图，连接CH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=OC，
∵AB=AC=6，
∴AB=AC=BC=6，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE⊥CB，
∴BE=CE=3，
∴AE=AB2−BE2=33，
∵AO=OC，BE=EC，
∴S△AOH=S△OCH=S△ECH=S△BEH，
∴S四边形OHEC=S△BCH=13S△ABC=13×12×6×33=33
【分析】（1）首先根据AD=AB，AC⊥BD，得出AC垂直平分BD，进而根据垂直平分线的性质可得出BC=CD，进一步即可得出BC=CD=AD=AB，根据菱形的判定即可得出结论；
（2）首先根据菱形的性质可得出△ABC是等边三角形，再根据等腰三角形的性质得出BE=CE=3，进而根据勾股定理得出AE=AB2−BE2=33，EH=13AE=13×33=3，再根据S四边形OHEC=S△BCH=13S△ABC=13×12×6×33=33。
（1）证明：∵AD=AB，AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴BC=CD，
∴BC=CD=AD=AB，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）解：如图，连接CH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OA=OC，
∵AB=AC=6，
∴AB=AC=BC=6，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE⊥CB，
∴BE=CE=3，
∴AE=AB2−BE2=33，
∵AO=OC，BE=EC，
∴S△AOH=S△OCH=S△ECH=S△BEH，
∴S四边形OHEC=S△BCH=13S△ABC=13×12×6×33=33
21．【正确答案】（1）AP=AB；射线AQ平分∠BAP
（2）证明：由作图可知PA=AB=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
由作图可知AQ平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PCA=∠CAB，
∴PC∥AB，
∵PC=AB，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∵AP=AB，
∴四边形ABCP是菱形．
【分析】（1）根据作图即可求出答案.
（2）由作图可知PA=AB=PC，根据等边对等角可得∠PAC=∠PCA，由作图可知AQ平分∠PAB，根据角平分线定义可得∠PAC=∠CAB，则∠PCA=∠CAB，根据直线平行判定定理可得PC∥AB，再根据菱形判定定理即可求出答案.
22．【正确答案】（1）∠A+∠B=90°；a2+b2=c2；c＞a(c>b)
（2）解：四边形ADBE是菱形，理由如下：
∵BE∥AC， AE∥BD，∴四边形ADBE是平行四边形，
∵∠ABC=90°， 点D是AC的中点， ∴DB=DA=12AC,
∴四边形ADBE是菱形.
【分析】 （1）根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论．