T8联考2026届高三下学期四月阶段练习数学含解析（word版+pdf版）

这是一份T8联考2026届高三下学期四月阶段练习数学含解析（word版+pdf版），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
2. 已知复数 的实部与虚部相等,则实数
A. -3B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
复数 的实部与虚部相等, ,解得 .
3.已知数列 的前 项和 ,若 为正整数,则
A. 4052 B. 2026 C. -2026 D. -4052
【答案】A
【解析】易知数列 为等差数列, , 4052 .
4.已知 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】 是定义在 上的奇函数,
当 时, ,解得 ,
当 时, ,
.
5.已知空间向量 ，平面 的一个法向量为 ，则向量 在平面 上的投影向量是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 向量 在法向量 上的投影向量为 向量 在平面 上的投影向量是 .
6.已知圆 与圆 有且仅有三条公切线,则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】 圆 的标准方程为 , 圆 的圆心为 ,半径为 .
又圆 的圆心为 ,半径为 .
两圆的圆心距为 .
两圆有且仅有三条公切线, 两圆外切,
,解得 .
7.已知 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 在 上为增函数, . ,即 .
方法一:
.
,即 .
方法二: ,
0.2ln 1.2.
易知 时,
,即 .
8.设 分别是双曲线 的左、右焦点, 是该双曲线右支上一点, 的平分线交 轴于点 ,令 ,若 ,则双曲线 的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 为 的平分线,且 , 0), ,即 .
由双曲线定义可得 ,即 ,解得 , .
方法一: 设 ,则由正弦定理得 .
在 中,
.
把 代入，得 . .
由 得 .
把 代入,得
化简得 ,此时 .
在 中,由余弦定理得 ,即
两边同除 得 ,即 . ,或 (舍去).
方法二: ,或 ,
,或 .
又 是 的内角,
.
作 的平分线,交 于点 .
易知 是等腰三角形,
.
又 , .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设 为同一随机试验的两个随机事件,且它们发生的概率分别为 ,则下列结论正确的是
A. 若事件 互斥,则
B. 若事件 互斥,则
C. 若事件 相互独立,则
D. 若 ,则
【答案】ACD
【解析】若事件 互斥,则 选项 A 正确, 选项 B 错误;
若事件 相互独立,则 选项 C 正确;
由 得 选项 D 正确.
10.已知在棱长为 1 的正方体 中, 为侧面 内一点 (包含边界), 则下列结论正确的是
A. 若 平面 ,则 的最大值为
B. 若点 在线段 上,则 的最小值为
C. 存在点 ,使得点 和点 到平面 的距离相等
D. 三棱锥 外接球的体积的最小值是
【答案】ACD
【解析】易知 平面 . 又点 在侧面 内, 点 的轨迹为线段 ,当点 在 处时, 取最大值为 选项 A 正确;
将 沿 翻折到与平面 共面,且 在 的异侧.
如图,连接 , 交 于点 ,则 即为 的最小值.
易知 最小值为 选项 B 错误;
由 平分 可知点 和点 到平面 的距离相等,
若点 和点 到平面 的距离相等,必有 平面 .
又 点 在线段 上, 选项 正确;
设平面 的中心为 ,平面 的中心为 ,
易知三棱锥 外接球的球心 在线段 上.
令 ,外接球半径为 ,则 .
又 ,
整理得 当 时， ，
此时外接球的体积为 ，即点 与点 重合时,
三棱锥 外接球的体积取最小值 选项 D 正确.
11.已知三个不同的实数 满足 ,且 -30,则
A. B.
C. D. 的最小值是 -28
【答案】ABC
【解析】 选项 A 正确;
是不同实数, ,即
整理得 ,解得 . 同理可得 .
又 ,即 ,解得 ,或 .
.
综上所述， ，选项 B 正确； 同理， ，解得 ， 选项 C 正确;
,代入 ,得 ,这是关于 的二次函数，开口向上，对称轴 ， 且 ,对称轴在区间内, 最小值在 处取得,即最小值为 选项 D 错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 的展开式中 的系数为________.
【答案】-20
【解析】 的展开式中 的系数即为 的展开式中 的系数. 又二项式 的展开式的通项为 令 ,可得 的展开式中 的系数为-20 .
13.在平面直角坐标系中,函数 的部分图象如图所示,若 , 则点 的纵坐标为_______.
【答案】
【解析】如图,把函数图象进行平移,使得点 与坐标系原点 重合,得函数 的图象,点 的对应点分别为 . 依题意,可设 ,则 .
,解得 (正值舍去). ,即点 的纵坐标为 .
14.已知数列 的前 项和为 ,若 ,则 ________.
【答案】
【解析】依题意得 .
当 时, ,即 .
设 ,则 ,即
又 是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，
,即 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在锐角三角形 中,角 所对的边分别为 ,且 .
(1)求角 的取值范围；
(2)求 的取值范围 .
【解析】(1) 由正弦定理得 ,即 . 1 分
为锐角三角形, ,即 . 2 分 . 5 分
(2)由正弦定理得
10 分
, 12 分
. 13 分
16.如图，在底面是菱形的直四棱柱 中， ， 为线段 上靠近 的三等分点， 为线段 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
【解析】(1)证明:如图，连接 交线段 于点 ， 连接 . 2 分 . 4 分
又 . 又 平面 ， 平面 平面 .6 分
(2)解:如图，连接 ， 四边形 为菱形, 2,则 为等边三角形. 7 分
又 为 中点, .
又 . 8 分易知 上平面 以 为原点, , 所在直线分别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 9 分
易知 , 为 上靠近 的三等分点,
. 10 分 . 11 分
设平面 的法向量为 , 则
令 ,则 ,
, 13 分
点 到平面 的距离 15 分
17.已知椭圆 的上顶点为 ，右焦点为 ，右顶点为 .
(1)若椭圆的离心率为 ，且以原点 为圆心， 为半径的圆与直线 相切， 求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 交椭圆 于另一点 ，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值(结果用离心率 表示).
【解析】
(1) 依题意得 ,联立 3 分
椭圆 的标准方程为 . 6 分
(2)依题意得 ，直线 的方程为 . 8 分
联立 消去 ,得 ,解得 ,或 . 11 分
点 的坐标为 13 分
15 分
18.在 2026 年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈、列队、翻转等高难度表演. 某实验室为测试 A, B 两种型号机器人的动作稳定性, 设计如下试验: 每次独立执行一个动作, 若某型号机器人试验成功, 则下一轮继续使用该型号机器人进行试验; 若试验失败, 则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验.
已知 型号机器人试验成功的概率为 ,失败的概率为 型号机器人试验成功的概率为 ,失败的概率为 . 试验成功记 1 分,失败记 0 分,且第 1 轮使用 型号机器人.
(1)记 为前 3 轮试验的总得分，求 的数学期望 ；
(2)设 为第 轮试验使用 型号机器人的概率.
① 求数列 的通项公式;
② 记 为前 轮试验的期望总得分，求 关于 的表达式.
【解析】(1)若得分为 0 分，则 3 轮都失败，概率为 1 分若得分为 1 分, 则 3 轮中只有 1 轮成功, 概率为 2 分
若得分为 2 分, 则 3 轮中只有 2 轮成功, 概率为 3 分
若得分为 3 分,则 3 轮都成功,概率为 4 分
. 5 分
(2) ①由题意得递推关系得 . 7 分
由 ,构造等比数列得 , 9 分
通项公式为 . 10 分
② 设第 轮得分期望为 ，则 (1 . 13 分
前 轮期望总得分为 17 分
19.已知函数 ,若 有三个实数解 ,且 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证:
① ;
② .
【解析】(1)解:令 ，
即 . 1 分
设 ,则函数 的图象与 有三个交点.
当 时,
易知此时 在区间 , -2)上单调递减. 2 分当 时,
当 时, ; 当 时, .
在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
当 时, ; 当 时, 2) . 4 分
要使直线 与函数 的图象有三个交点,则 ; 5 分
(2)证明:①由(1)可知 ， . 6 分
设 ,
当 时, ,
在区间 上单调递增. 8 分
,即 .
又 .
又 在区间 上单调递减， ，即 . 11 分
②过点 和 的直线 的方程为 直线 即为曲线 -2)的割线.
当 时, 函数 的图象总在直线 上方. 过点 且与函数 的图象相切的直线 的方程为 .
时, 函数 -2) 的图象总在直线 上方,大致图象如图所示.
设直线 与直线 的交点横坐标分别为 ,
则可知 , 15 分
. 17 分