湖南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期第一次大练习数学试题解析版

这是一份湖南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期第一次大练习数学试题解析版，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，故，，，不是的子集，C正确.
2. 若，则“”是“复数为纯虚数”的
A. 充分非必要条件B. 充要条件
C. 必要非充分条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】若复数为纯虚数，则，解得，
所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件.
3.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】B
【解析】对于A. 若，，则与平行或异面，故A错误；
对于B. 若，，，则，故，故B正确；
对于C. 若，，则或，故C错误；
对于D. 若，又，根据面面垂直的判定，即有，
若，由于，，则，过任作一个面，使其和相交于直线，
根据线面平行的性质定理，，又则，结合，即，故D错误 .
4.在 的展开式中，的系数为
A. -40B. 40C. -80D. 80
【答案】C
【解析】展开式中含的项为：C53x2−23=−80x2，所以的系数为.
5.如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】令对应的正态密度函数分别为，
则函数图象的对称轴分别为，且，
观察图象，得，，所以，.
6.已知点在抛物线上，点到的焦点的距离与到直线的距离之比为，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设的焦点为，则，则.
7.已知，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，
等式两边同时除以，得，
即，又，所以，
所以.
8.已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，以下能使得数列单调递增的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于A，数列是各项为正数的等比数列，则，由题意，，则.
当时，，由，若取，则，即，即此时不能使数列单调递增，故A错误；
对于B，当时，，，则数列单调递增，等价于，
即对任意恒成立.因为当时，函数的最大值为，所以，故B错误；
对于C，当时，，因，则化简得，解得或.
当时，，因，则得，即数列单调递增；当时，由B项知，数列单调递增，故C正确；
对于D，当时，，化简得，解得或.
对于时，若取，则，则得，即此时不能使数列单调递增，故D错误.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某市气象部门对本市的温度（单位：℃）与相对湿度进行研究，记录了五组数据如表所示：
已知与线性相关，根据表中的数据计算得经验回归方程为，则
A. 与负相关
B. 经验回归直线一定经过点
C. 当温度为10℃时，相对湿度大约为87.2%
D. 样本相关系数
【答案】AC
【解析】A.由表格可知，温度越小，越大，所以与负相关，故A正确；
B.，，所以经验回归直线一定经过点，故B错误；
C.，得，所以，当时，，
所以当温度为时，相对湿度大约为，故C正确；
D.因为与负相关，所以样本相关系数，故D错误.
10.已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则
A. B. 的图象关于点中心对称
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，
令，得，故A正确；
对于B，因为，
当时，，
所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，假设成立，
求导得，
即，又，
所以，令，得，
因为，
所以，即，
令，得，
所以与矛盾，故C错误；
对于D，因为，，
所以，，，，
所以有g(n+2)−g(n)=−2,n∈N∗，
所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，
数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，
又，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以∑k=1100g(k)=0+−1+−2+···+−99=0−99×1002=−4950，故D正确.
11.如图，在梯形中，，，为的中点，将沿折起到的位置，下列说法中正确的是
A. 在线段上存在点，使平面
B. 点到平面距离的最大值为
C. 当三棱锥外接球的表面积为时，平面平面
D. 当平面平面时，四棱锥的过的截面面积的最小值为
【答案】ACD
【解析】在梯形中，，，为的中点，连接，如图：
则四边形、四边形均为平行四边形，则，且，
为等边三角形，，和均为菱形，
于是，，设与交于点，则，
对于A，翻折后，，如图：
又平面，则平面，
因此在线段上存在点（即点），使平面，A正确；
对于B，由平面，平面，得平面平面，
则边上的高是点到平面的距离，而，
因此点到平面的距离的最大值为，B错误；
对于C，设三棱锥外接球的半径为，其表面积，得，
设等边，等边外接圆圆心分别为，令外接球球心为，
则平面，平面，连接，，如图：
，，，
得，同理得，即，因此四边形是菱形，
，平面，而平面，则平面平面，C正确；
对于D，设四棱锥的过的截面与交于点，与交于点，连接，如图：
由，平面，平面，得平面，
又平面，平面平面，则，又，
因此四边形为梯形，而平面，平面，则，
即为梯形的高，当平面平面时，，则，
且，设，在中，
，由，得，则
，
设，求导得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
则当时，，，
而，，因此截面面积的最小值为，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知有一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的数分别为1，2，3，4，5，6，抛掷这个骰子两次，则向上的点数之和是8的概率为________.
【答案】
【解析】将先后两次的向上点数记为有序实数对，则共有个基本事件，
其中向上点数之和为8的情况有，共5种，
所以满足条件的概率为 .
13.骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为______.
【答案】60
【解析】方法一：以点为坐标原点，为轴负半轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，
点在以为圆心，为半径的圆上，可设，
，，
，
则当时，取得最大值.
方法二：，
则当与同向，即时，取得最大值为 .
14.双曲线的左､右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率________.
【答案】2
【解析】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，
过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为，显然直线为抛物线的准线，
则，
由双曲线的定义及已知条件可知，则，
由勾股定理可知，
易知，即，
整理得，
∴，即离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）在边上存在一点，使得，连接，若的面积为的平分线交于点，求的值 .
【解析】(1)由及正弦定理得，
又，所以，
因为，所以，所以，
所以 .
(2) 因为，所以，
则，
所以，
又由余弦定理得，可得，
联立方程解得，
由角平线定理得 .
16.已知椭圆过点，且离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）若过原点的直线与椭圆交于两点，且在直线上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程.
【解析】（1）由题，解得，，，∴椭圆的方程为
（2）由题，当的斜率不存在时，此时，直线与轴的交点，不满足题意；
当的斜率存在时，设直线，
与椭圆联立得，，
设，则，，
又的垂直平分线方程为，由，解得，
，，∵为等边三角形，
，即，
解得或，∴直线的方程为或；
综上可知，直线的方程为y=0或 .
17.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面，…，平面为多面体的所有以为公共点的面．现给出如图所示的三棱锥．
（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．问：棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由.
【解析】
(1) 根据离散曲率的定义得，
，
又因为
所以 .
(2)∵平面平面，∴，
又∵，平面，
∴平面
∵平面，∴，
∵，即
∴，∴，
过点作交于，连接，
因为平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
假设棱上存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，
则cs∠QCG=306，
设，
依题意可得，，
，
，
由假设可得，
在中，
，
又，所以，
则，
所以，
解得：或（舍）
即，故BQ=13BP，
所以点为线段的靠近点的三等分点时，直线与平面所成角的余弦值为，此时 .
18.袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且添加一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作 的数学期望记为
（1）求随机变量的分布列；
（2）设用含pkk=0,1,2的式子表示
（3）求
【解析】 (1) 根据题意的可能取值为，
即一次摸球摸到白球，PX1=4=46=23，
即一次摸球摸到黑球，PX1=5=26=13，
所以的分布列为
(2)设第次摸球摸到黑球为事件，的取值可能为4，5，6，
则PXn+1=4=PXn=4PAn+1∣Xn=4=p0×46=23p0，
PXn+1=5=PXn=4PAn+1∣Xn=4+PXn=5PAn+1∣Xn=5
，
PXn+1=6=PXn=5PAn+1∣Xn=5+PXn=6PAn+1∣Xn=6
，
所以EXn+1=4×23p0+5×13p0+56p1+6×16p1+p2=133p0+316p1+6p2.
(3)由（2）及p0+p1+p2=1,EXn=4p0+5p1+6p2得，
EXn+1=133p0+316p1+6p2=564p0+5p1+6p2+p0+p1+p2=56EXn+1，
所以EXn+1−6=56EXn−6，又EX1−6=4×23+5×13−6=−53，
所以EXn−6是以为首项，为公比的等比数列，
所以EXn−6=−53×56n−1，即EXn=6−2×56n.
19.设a为实数，函数
（1）当时，分析的单调性；
（2）若，证明：；
（3）若任意满足的非负实数对 恒成立，求 M的最小值.
【解析】 (1) 当时, fx=−8sinx+tanx,0≤x2sinx+(tanx−3x)≥0；
若，则计算，
即当时，，不符合题意；
故M的最小值为2 .温度
28
25
22
19
16
相对湿度
41
48
62
65
70
4
5