天津市南开区2025届高三下学期一模数学试题（Word版附解析）

这是一份天津市南开区2025届高三下学期一模数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了 若集合，则， 设，则“”是“”的， 设，则， 已知是奇函数，则等内容，欢迎下载使用。
参考公式：
•柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．
•锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．
•如果事件互斥，那么．
•对于事件，那么．
一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用集合的交补运算求集合.
【详解】由题设，，则.
故选：A
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断条件间的推出关系，即可得.
【详解】若，如，但不成立，充分性不成立；
若，显然同号且不为0，则成立，必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指对数的性质判断大小关系即可.
【详解】由，即.
故选：D
4. 如图是由一组实验数据得到的散点图，以下四个回归方程类型中适合作为与的回归方程类型的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据散点图的变化趋势及散点的分布情况判断回归方程的类型.
【详解】由散点图中各点的变化趋势：非线性、且上单调递增，所以适合指数型模型.
故选：C.
5. 已知是奇函数，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由奇函数的性质列方程求参数即可.
【详解】是奇函数，
由得，
所以恒成立，则，解得.
故选：C
6. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点中心对称，则函数的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依次由各选择支函数根据平移变换求出的解析式，再代值验证对称性可知.
【详解】对于选项A，若，
则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到，
再把所得曲线向左平移个单位长度，得到，
由，故图象不关于点中心对称，故A错；
对于选项B，若，
则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到，
再把所得曲线向左平移个单位长度，得到，
由，故图象不关于点中心对称，故B错；
对于选项C，若，
则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到，
再把所得曲线向左平移个单位长度，得到，
由，可知图象关于点中心对称，故C正确；
对于选项D，若，
则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到，
再把所得曲线向左平移个单位长度，得到，
由，
故图象不关于点中心对称，故D错.
故选：C.
7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，得到为单调递增函数，根据对数函数的性质，以及复合函数的单调性的判定方法，列出不等式，求得的取值范围，即可得到答案.
【详解】令，因为且，所以函数为单调递增函数，
要使得函数在上单调递减，
则满足，解得，所以实数取值范围为.
故选：A.
8. 如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知，先证明面，再由及棱锥和棱柱的体积公式，即可得.
【详解】由题设及平行六面体的结构特征易知，面，面，
所以面，则上任意一点到面的距离为定值，
又，则，
由的底面面积是平行六面体底面面积的一半，且高相等，
所以.
故选：D
9. 设双曲线的左、右顶点分别是，点是的一条渐近线上一点，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意画出图形，设点在第一象限，根据已知条件得到点在以原点为圆心，为半径的圆上，联立，解得，从而得到，利用正切值得到，再转化为的齐次方程求解即可.
【详解】如图所示，设点在第一象限，
，
因为，所以点在以原点为圆心，为半径的圆上.
，解得.
又因为，所以.
在中，，，，
所以，即.
所以，，，
即，所以.
故选：C
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色黑水的钢笔或签字笔答题；
2．本卷共11小题，共105分．
二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10. 是虚数单位，若复数为纯虚数，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】应用复数的乘法求复数，根据纯虚数的性质求参数值即可.
【详解】由为纯虚数，
所以，则.
故答案为：
11. 若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由二项式系数和求得，再由通项公式即可求解.
【详解】由题意可得，即，
通项公式，
令，可得：，
所以的系数为，
故答案为：
12. 已知圆与抛物线的准线相切于点为的焦点，则直线被圆截得的弦长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知可得，进而有、，写出，求圆心到直线距离，再应用圆中弦长的几何求法求直线被圆截得的弦长.
【详解】由题设，抛物线准线为，则，故，
由准线与圆相切且圆心，易知，
所以，即，
故到的距离，
所以直线被圆截得的弦长为.
故答案为：
13. 有编号分别为的3个盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球．现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，则从第1个盒子中取到白球的概率是__________；从第3个盒子中取到白球的概率是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】应用古典概率求法求从第1个盒子中取到白球的概率，再应用独立乘法公式和互斥事件加法求从第3个盒子中取到白球的概率.
【详解】由第1个盒子中有2个白球1个黑球，则从第1个盒子中取到白球的概率是，
当从第1个盒子中取到白球且概率为，则第2个盒子中有2个白球1个黑球，
从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为，
从第2个盒子抽到黑球概率为，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为，
所以，对应概率为；
当从第1个盒子中取到黑球且概率为，则第2个盒子中有1个白球2个黑球，
从第2个盒子抽到白球概率为，则第3个盒子中有2个白球1个黑球，故抽到白球概率为，
从第2个盒子抽到黑球概率，则第3个盒子中有1个白球2个黑球，故抽到白球概率为，
所以，对应概率为；
综上，从第3个盒子中取到白球的概率是.
故答案为：；
14. 在中，，若点为的中点，点满足，点为与的交点，用和表示__________；则的余弦值为__________．
【答案】 ①. ； ②. .
【解析】
【分析】根据已知及加减、数乘的几何意义可得、，再由与的夹角相等，结合向量数量积的运算律及夹角余弦值的求法求的余弦值.
【详解】由，则，
由与的夹角相等，则，
又，，则，
所以，
，
，
所以.
故答案为：，
15. 已知，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】令，先变形，再分，两种情况讨论的正负，从而去掉绝对值符号，再分段求解方程的根，即可求出的取值范围.
【详解】令，则原方程可化为，
因为，
又因为，所以上式可化为
.
（1）当时，2x+3x−1>0，g(x)−f(x)>0，即，
所以则原方程可化为，
整理可得2x+ax+4a−8>0.
（i）当时，上式可化为，
所以关于的一次方程有解必须满足a+2≠0x=8−4aa+2>1，解得①，
（ii）当时，上式可化为，解得，此时②，
（2）当时，，，即，
所以则原方程可化为，
整理可得.
因为当时，原方程已有两个不等的实数根，原方程要有四个不同的实数根，
方程必须有两个不等的实数根，
令，的对称轴为
必须让二次函数在上与轴有两个不同的交点，
所以须满足Δ=a2+164a−2>0a8