山西省运城市康杰中学2026届高三下学期第十次周测 数学试卷（含解析）

这是一份山西省运城市康杰中学2026届高三下学期第十次周测 数学试卷（含解析），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数z满足，则z的虚部为（ ）
A．B．C．2D．
2．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．函数的图象的一个对称中心是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（ ）
A．3B．C．D．2
6．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 （ ）
A．B．C．D．
7．已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．正方体中，M为中点，O为中点，以下说法正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
10．已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知三角形ABC三个内角分别为A，B，C，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_________．
13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．
14．有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取次，每次取个球记为这个球中至少被取出次的球的个数，则的数学期望 ___________
四、解答题
15．研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病. 某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如2×2列联表.
(1)在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布和期望；
(2)依据表中数据，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20-30岁年轻人的体质健康与性别是否有关?若把表中所有数据都扩大到原来的10倍，此时结论还一样吗?请解释其中原因，并简要说明应如何调整调查可使此研究更具有严谨性.
参考数据：
参考公式：，其中.
16．设数列的前项和为，已知数列满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求；
(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
17．已知三棱柱，平面平面，.
(1)证明：平面平面；
(2)若是边长为2的等边三角形，平面与平面所成角的正弦值为，求的长.
18．已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积的最大值；
(3)若点在第一象限，求直线斜率的取值范围．
19．已知函数，其中．
(1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设分别为在区间的极值点和零点.
（i）设函数.证明：在区间单调递减；
（ii）比较与的大小，并证明你的结论．
性别
健康状况
感冒
不感冒
男
8
14
女
4
24
参考答案
1．B
【详解】由复数，
所以复数的虚部为.
故选：B.
2．C
【详解】因为，全集，
故.
故选：C.
3．C
【详解】由题意可知，，则，设，则，
所以，故的离心率为.
故选：C.
4．B
【详解】由函数，令，解得，
令，可得，所以函数的一个对称中心有，其它不是对称中心.
故选：B．
5．B
【详解】因函数的周期为2，且为奇函数，
故，
.
故选：B．
6．B
【详解】
以点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，
在平面直角坐标系下，，,，，
所以,， ，．
故选：B
7．B
【详解】已知圆的方程为，将其配方可得.
可知该圆的圆心坐标为，半径.
因为点为线段MN的中点，根据垂径定理可知.
已知，则.
在中，根据勾股定理.
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.
已知点在直线上，可得圆心到直线的距离为：
.
因为点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径，即
故选：B.
8．B
【详解】法一：设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选：B．
法二：设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，
故选：B．
9．AC
【详解】连接交于，连接，则为的中点，
所以，，
又M为中点，，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，故A正确；
因为，与平面相交且不垂直，
所以与平面不平行且不垂直，故BD错误；
由题可知平面，平面，
所以，由题可知，
又平面，平面，
所以平面，又，
所以平面，故C正确.
故选：AC.
10．ACD
【详解】法一：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，易知直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
联立，得，
易知，则，
又，，
所以，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
又
，
，
所以，
则，故D正确.
故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，当直线的斜率不存在时，；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，消去，得，
易知，则，
所以
，
综上，，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
当直线的斜率不存在时，，；
所以，即；
当直线的斜率存在时，，
，
所以，
则；
综上，，故D正确.
故选：ACD.
11．ACD
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，
化简得，又，
所以，故选项A正确；
由得，
所以，所以，故选项C正确；
，故选项B错误；
由及正弦定理得，
所以
，当且仅当时等号成立，
又在上单调递减，所以，故选项D正确.
故选：ACD
12．
【详解】因为与相切.
，设切点坐标为，则切线方程为.
因为切线过原点，所以：，故切点为，所以.
对函数，，由，
根据得切点纵坐标为：，
根据得切点纵坐标为：，
由，又由题可知.
故答案为：
13．
【详解】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案为：
14．
【详解】箱中有个标号为的球，有放回地取三次，记为三次抽取中至少被取出一次的不同球的个数，
对于每个标号，记为如：表示三次抽取中至少出现过一次标号表示三次抽取中从未出现标号，
则可表示为所有的和，即，
由于每个小球都相同，则每个的期望相同，且服从两点分布，
则，
每次未抽到的概率为，三次均未抽到的概率为，
，
则．
故答案为：.
15．(1)分布列见解析，
(2)答案见解析
【详解】（1）样本中感冒的男性有8人，女性有 4人，比例为，
按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，则抽取男性4人，女性 2人，
随机变量的所有取值为.
， ， ，
所以的分布列为
所以.
（2）提出统计假设：20-30岁年轻人的体质健康与性别无关.
根据列联表中的数据，经计算得到，
因为，假设成立，
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为20-30岁年轻人的体质健康与性别无关.
如果把所有数据都扩大10倍后，
，，
即在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为20-30岁年轻人的体质健康与性别有关.
所以扩大10倍后，数据改变，结论也会发生变化，
为使此研究更具有严谨性，可以扩大调查的样本容量.
16．(1)证明见解析
(2)
(3).
【详解】（1）由，得，又，
所以数列是首项，公差均为的等差数列.
（2）由（1）得，，则，
，
于是，
两式相减得，
所以.
（3）不等式，
令，依题意，对任意恒成立，
而，
当时，，当时，，当时，，
即，因此的最小值为，则，
所以实数的取值范围是.
17．(1)证明见解析
(2)1
【详解】（1）证明：过点作交于点O，
平面平面，平面平面，
平面，
又平面，
，三棱柱中，
，又，
平面，
平面ABC，∴平面平面．
（2）因为是边长为的等边三角形，则为的中点，且，
因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的一个法向量为，，
则，取，可得，
设平面与平面所成角为，则，
所以，
又因为，解得，故.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可得，解得，
故椭圆的方程为
（2）,
设直线,
联立可得，
故，
当且仅当，即时取到等号，
故的面积的最大值为.
（3）设直线
联立可得，
则，又，
所以，，
同理可得，
故
,
由于位于第一象限，故，
因此
19．(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析.
【详解】（1）由题得，
因为，所以，设，
则在上恒成立，所以在上单调递减，
，令，
所以当时，，则；当时，，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上存在唯一极值点，
对函数有在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以在上恒成立，
又因为，时，
所以时，
所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点.
（2）（i）由（1）知，则，，
，
则
，
，
，
即在上单调递减.
（ii），证明如下：
由（i）知：函数在区间上单调递减，
所以即，又，
由（1）可知在上单调递减，，且对任意，
所以.1
2
3