2023-2024学年山西省运城市康杰中学高二（下）开学数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年山西省运城市康杰中学高二（下）开学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列{an}的前n项和Sn=n3，则12(a1+a5)×5的值为( )
A. 125B. 135C. 145D. 155
2.中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为( )
A. y=±54xB. y=±45xC. y=±43xD. y=±34x
3.设{an}为等比数列，若m，n，p，q∈N∗，则m+n=p+q是am⋅an=ap⋅aq的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.直线x−y−1=0将圆(x−2)2+(y−3)2=8分成两段，这两段圆弧的弧长之比为( )
A. 1：2B. 1：3C. 1：5D. 3：5
5.已知数列{an}中，a1=2，当n≥2时，an=2an−1+(n−1)⋅2n，设bn=an2n，则数列{bn}的通项公式为( )
A. n2−n+22B. n2+n−12C. n2−2n+32D. n2+2n−22
6.设a=ln3，b= 3ln2，c= 2ln3，则a、b、c的大小关系是( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a
7.点P在椭圆C：x22+y2=1上，C1的右焦点为F，点Q在圆C2：x2+y2+10x−8y+39=0上，则|PQ|−|PF|的最小值为( )．
A. 2 3B. 2 2C. 3D. 2
8.设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点．|F1B|=2|F1A|,F2A⋅F2B=4a2，则C的离心率为( )
A. 2B. 2C. 5D. 7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)
B. “a=−1”是“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”的充要条件
C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D. 已知向量a=(9,4,−4)，b=(1,2,2)，则a在b上的投影向量为(1,2,2)
10.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过F的直线l交抛物线C于两点A，B，则( )
A. C的准线方程为x=−2
B. 若|AF|=4，则|OA|= 21
C. 若|AF|⋅|BF|=4p2，则l的斜率为± 33
D. 过点A作准线的垂线，垂足为H，若x轴平分∠HFB，则|AF|=4
11.如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=AD=AA1=2，P为CC1的中点，点Q满足DQ=λDC+μDD1(λ∈[0,1]，μ∈[0,1])，则下列结论中正确的是( )
A. 若λ+μ=13，则四面体A1BPQ的体积为定值
B. 若△A1BQ的外心为O，则A1B⋅A1O为定值2
C. 若A1Q= 5，则点Q的轨迹长度为 2π4
D. 若λ=1且μ=12，则存在点E∈A1B，使得AE+EQ的最小值为 9+2 10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=ln(x+32)+x2的极大值点为______．
13.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列.在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第6项为______．
14.定义在R上的偶函数f(x)满足f(2−x)+f(x)=0，且当x∈[0,1)时，f(x)= x−1，则曲线y=f(x)在点(−94,f(−94))处的切线方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=lnx+x2+ax+2在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直．
(1)求a；
(2)求f(x)的单调区间和极值．
16.(本小题15分)
如图，四棱柱ABCD −A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．
(1)证明：B1C1⊥CE．
(2)求二面角B1−CE−C1的正弦值．
(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 26，求线段AM的长．
17.(本小题15分)
已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn，且1an−1an+1=24Sn−1(n∈N∗)..
(1)求a2的值；
(2)设bn=anan+1−an，求数列{bn}的通项公式；
(3)求数列{an}的通项公式；
18.(本小题17分)
已知A(−2,0)，B(2,0)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，且椭圆C过点(1,32)．
(1)求C的方程；
(2)过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点(其中点D在x轴上方)，求S△AEFS△BDF的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx−a(x−1x)(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当x≥1时，若ex−1x+m(x−1x−lnx)≥xm−mlnm恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案
1.D
2.D
3.A
4.A
5.A
6.D
7.D
8.D
9.ACD
10.BCD
11.ACD
12.−1
13.56
14.4x−4y+11=0
15.解：(1)f′(x)=1x+2x+a，则f′(2)=12+2×2+a=92+a，
由题意可得(92+a)×(−23)=−1，解得a=−3；
(2)由a=−3，故f(x)=lnx+x2−3x+2，
则f′(x)=1x+2x−3=2x2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x，x>0，
故当0−43，
所以−43