山西省晋中市2026年高三六校第一次联考数学试卷（含答案解析）

这是一份山西省晋中市2026年高三六校第一次联考数学试卷（含答案解析），共4页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知集合则，设过定点的直线与椭圆，给出下列四个命题等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，四边形为正方形，延长至，使得，点在线段上运动.设，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．一个陶瓷圆盘的半径为，中间有一个边长为的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率的值为（精确到0.001）（ ）
A．3.132B．3.137C．3.142D．3.147
3．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合则（ ）
A．B．C．D．
5．已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
7．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．4
9．设过定点的直线与椭圆：交于不同的两点，，若原点在以为直径的圆的外部，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
10．给出下列四个命题：①若“且”为假命题，则﹑均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题，，则命题，；④设集合，，则“”是“”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
11．已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
12．已知公差不为0的等差数列的前项的和为，，且成等比数列，则（ ）
A．56B．72C．88D．40
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，角的平分线交于，，，则面积的最大值为__________．
14．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为__________.
15．已知数列满足：，，若对任意的正整数均有，则实数的最大值是_____.
16．若，则__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，D是在△ABC边AC上的一点，△BCD面积是△ABD面积的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ．
（Ⅰ）若θ=，求的值；
（Ⅱ）若BC=4，AB=2，求边AC的长．
18．（12分）已知正数x，y，z满足xyzt（t为常数），且的最小值为，求实数t的值.
19．（12分）已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围
20．（12分）如图1，在等腰梯形中，两腰，底边，，，是的三等分点，是的中点.分别沿，将四边形和折起，使，重合于点，得到如图2所示的几何体.在图2中，，分别为，的中点.
（1）证明：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点、分别为，的中点，且平面平面.
（1）求证：平面.
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
22．（10分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：当时，
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
以为坐标原点，以分别为x轴，y轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决.
【详解】
以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形的边长为1，
则，，设，则，所以，且，
故.
故选：C.
本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系，是一道基础题.
2．B
【解析】
结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可
【详解】
如图，由几何概型公式可知：.
故选：B
本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题
3．A
【解析】
分析可得,显然在上恒成立,只需讨论时的情况即可,,然后构造函数,结合的单调性,不等式等价于,进而求得的取值范围即可.
【详解】
由题意,若,显然不是恒大于零,故.
,则在上恒成立;
当时,等价于,
因为,所以.
设,由,显然在上单调递增,
因为,所以等价于,即,则.
设,则.
令,解得,易得在上单调递增,在上单调递减,
从而，故.
故选:A.
本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.
4．B
【解析】
解对数不等式可得集合A，由交集运算即可求解.
【详解】
集合解得
由集合交集运算可得，
故选：B.
本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.
5．B
【解析】
由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用即可得解.
【详解】
平面，底面是边长为2的正方形，
如图建立空间直角坐标系，由题意：
，，，，，
为的中点，.
，，
，
异面直线与所成角的余弦值为即为.
故选：B.
本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.
6．C
【解析】
根据表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出关系，求出离心率.
【详解】
设，则
由椭圆的定义，可以得到
,
在中，有，解得
在中，有
整理得，
故选C项.
本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出关系，得到离心率.属于中档题.
7．A
【解析】
试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，
则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，
∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．
故选A．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．
8．A
【解析】
由倾斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率.
【详解】
解：设双曲线的半个焦距为，由题意
又，则，，，所以离心率，
故选：A.
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题
9．D
【解析】
设直线：，，，由原点在以为直径的圆的外部，可得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求得答案.
【详解】
显然直线不满足条件，故可设直线：，
，，由，得，
，
解得或，
，，
，
，
，
解得，
直线的斜率的取值范围为.
故选：D.
本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
10．B
【解析】
①利用真假表来判断，②考虑内角为，③利用特称命题的否定是全称命题判断，
④利用集合间的包含关系判断.
【详解】
若“且”为假命题，则﹑中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为时，不是象限角，故②错误；
由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为，所以，所以“”是“”的必要条件，
故④正确.
故选：B.
本题考查命题真假的问题，涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题.
11．C
【解析】
根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.
【详解】
对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；
对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；
对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；
对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.
故选：.
本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.
12．B
【解析】
，将代入，求得公差d，再利用等差数列的前n项和公式计算即可.
【详解】
由已知，，，故，解得或（舍），
故，.
故选：B.
本题考查等差数列的前n项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．15
【解析】
由角平分线定理得,利用余弦定理和三角形面积公式，借助三角恒等变化求出面积的最大值.
【详解】
画出图形：
因为，，由角平分线定理得,
设，则
由余弦定理得：
即
当且仅当，即时取等号
所以面积的最大值为15
故答案为：15
此题考查解三角形面积的最值问题，通过三角恒等变形后利用均值不等式处理，属于一般性题目.
14．
【解析】
设，，，根据勾股定理得出，而由椭圆的定义得出的周长为，有，便可求出和的关系，即可求得椭圆的离心率.
【详解】
解：由已知，的三边长，，成等差数列，
设，，，
而，根据勾股定理有：，
解得：，
由椭圆定义知：的周长为，有，，
在直角中，由勾股定理，，即：，
∴离心率.
故答案为：.
本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用，考查计算能力.
15．2
【解析】
根据递推公式可考虑分析,再累加求出关于关于参数的关系,根据表达式的取值分析出,再用数学归纳法证明满足条件即可.
【详解】
因为,
累加可得.
若,注意到当时,,不满足对任意的正整数均有.
所以.
当时,证明：对任意的正整数都有.
当时, 成立.
假设当时结论成立,即,
则,即结论对也成立.
由数学归纳法可知,对任意的正整数都有.
综上可知,所求实数的最大值是2.
故答案为：2
本题主要考查了根据数列的递推公式求解参数最值的问题,需要根据递推公式累加求解,同时注意结合参数的范围问题进行分析.属于难题.
16．
【解析】
因为，由二倍角公式得到 ，故得到
．
故答案为．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用三角形面积公式以及并结合正弦定理，可得结果.
（Ⅱ）根据，可得，然后使用余弦定理，可得结果.
【详解】
（Ⅰ），所以
所以；
（Ⅱ），
所以，
所以，，
所以，
所以边．
本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题.
18．t＝1
【解析】
把变形为结合基本不等式进行求解.
【详解】
因为
即，当且仅当，，时，上述等号成立，
所以，即，又x，y，z＞0，所以xyzt＝1．
本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式，同时要关注不等号是否成立，侧重考查数学运算的核心素养.
19．（1）（2）
【解析】
（1）零点分段法分，，三种情况讨论即可；
（2）只需找到的最小值即可.
【详解】
（1）由.
若时，，解得；
若时，，解得；
若时，，解得；
故不等式的解集为.
（2）由，有，得，
故实数的取值范围为.
本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.
20．（1）证明见解析 （2）
【解析】
(1)先证，再证，由可得平面 ，从而推出平面 ；(2) 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.
【详解】
（1）证明：连接，，由图1知，四边形为菱形，且，
所以是正三角形，从而.
同理可证，，
所以平面.
又，所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
易知，且为的中点，所以，
所以平面.
（2）解：由（1）可知，，且四边形为正方形.设的中点为，
以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
由得
取.
设直线与平面所成的角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.
21．（1）见解析（2）
【解析】
（1）首先可得，再面面垂直的性质可得平面，即可得到，再由，即可得到线面垂直；
（2）过点做平面的垂线，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；
【详解】
解：（1）∵，点为的中点，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，∴，
又∵，分别为，的中点，
∴，∴，
又平面，平面，，
∴平面.
（2）过点做平面的垂线，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，∵，∴，，
，，
∴，，，
设平面的法向量为，
由，得，令，得，
∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法求线面角，属于中档题.
22． (1) (2)见证明
【解析】
(1)由题意将递推关系式整理为关于与的关系式，求得前n项和然后确定通项公式即可；
(2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式.
【详解】
（1）由，得，即，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，即，
当时，，
当时，，也满足上式，所以；
（2）当时，，
所以
给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.