四川雅安市某校2025-2026学年高二下册第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份四川雅安市某校2025-2026学年高二下册第一次月考数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 已知函数在处有极值2，则， 已知函数，则， 下列命题正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若函数，则（ ）
A. B. C. 1D. 0
【正确答案】C
【分析】利用导数运算法则求出导数，进而求出导数值.
【详解】函数，求导得，所以.
故选：C
2. 已知实数成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据等比中项的定义即可得到方程，解出即可.
【详解】由题意得，解得.
故选：D.
3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解.
【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减，
当和时，，故在，单调递增，
故B正确，
故选：B
4. 已知正项数列是公比不为的等比数列则（ ）
A. B. C. 2D.
【正确答案】B
【详解】令等比数列的公比为，由，得，
则，即，
所以.
5. 已知函数在处有极值2，则（ ）
A. B. 6C. 2D.
【正确答案】B
【分析】根据函数在处有极值2，可得，解方程组即可得解.
【详解】，
因为函数在处有极值2，
所以，即，解得，
则，
故当时，，当时，，
所以函数在处有极小值，
所以，所以.
故选：B
6. 数列满足且，则下列结论错误的是（ ）
A. B. 是等比数列
C. D.
【正确答案】D
【分析】将变形为，根据等差数列定义可知是等差数列，利用等差中项性质判断A；利用等比数列定义判断B；由判断C；求解和判断D.
【详解】由数列满足，可得，
所以，且，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
故，
对于A，因是等差数列，则是的等差中项，
即，故A正确；
对于B，由，且，
所以数列是首项为，公比为等比数列，故B正确；
对于C，由，可得，其中，故C正确；
对于D，由，可得，
则，，
即，故D错误.
故选：D.
7. 已知函数，则（ ）
A. 的单调递减区间为B. 的极大值点为
C. 的极小值为D. 的最大值为
【正确答案】B
【分析】对函数求导得，令，利用导数法求得的单调性及函数值的符号，进而求得的单调区间，最大值和极大值，即可求解.
【详解】因为，所以，
令，则，
所以在上单调递减．
因为，所以当时，，即；
当时，，即，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，
又，由极值的定义可知，是的极大值点，极大值为，
所以选项A、C和D错误，选项B正确，
故选：B.
8. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由题意得当时，，变形的可证得，，再结合已知条件可求得结果.
【详解】由题意得当时，，则，
所以，，……，，，
所以
，
所以，所以，
因为当时，，则，
所以，
所以，
所以
，
所以，
所以.
故选：A
关键点点睛：此题考查递推数列的性质，解题的关键是对“斐波那契数列”的正确理解，得到当时，，考查计算能力，属于中档题.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 已知函数在上可导，若，则
B. 已知函数，若，则
C.
D. 设函数的导函数为，且，则
【正确答案】BD
【分析】通过导数的概念可判断选项，对复合函数求导然后计算可判断选项，直接用除法的求导法则可判断选项，对于选项直接求导然后代数解方程即可.
【详解】对于因为函数在上可导，且，
所以，故错误.
对于因为，若则，即，故正确.
对于因为，故错误.
对于因为,故，故，正确.
故选:
10. 设数列的前项和为，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【正确答案】AD
【分析】将选项中的a、b值代入题中式子，判断数列类型，根据数列类型求解即可.
【详解】当，时，，所以.
因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，则，故正确.
当，时，，即.因为，所以，
则，故错误.
当，时，，因为，所以，，
所以是周期为2的周期数列，则，故错误.
当，时，，则，即.
因为，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即，故正确.
故选：AD
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的单调递增区间是，
B. 的值域为R
C.
D. 若，，，则
【正确答案】ABD
【分析】A选项，求出定义域，求导得到函数单调性，得到答案；B选项，在A选项基础上得到函数的值域；C选项，计算出，结合得到C正确；D选项，利用同构变换得到，结合，得到，D正确.
【详解】A选项，定义域为，
在定义域上恒成立，
故的单调递增区间是，，A正确；
B选项，当趋向于0时，趋向于，当趋向于时，趋向于，
故的值域为R，B正确；
C选项，，，
又，所以，C错误；
D选项，
，
又，故，
故，
因为，所以，
又，故，即，D正确.
故选：ABD
关键点点睛：当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是D选项变形得到，得到，从而进行求解.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等差数列，则__________.
【正确答案】3
【分析】由等差数列的性质可得.
【详解】由题可知，.
故答案为:3.
13. 已知数列前n项和为，若，则__________．
【正确答案】
【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系，结合构造法求解.
【详解】数列中，，则，解得，
，即，于是，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，
所以（）.
故
14. 已知函数，，若恒成立，则的最大值为_____.
【正确答案】
【分析】由题意可得恒成立，则可得与同零点，即可得，再构造函数，结合导数研究其单调性计算即可得.
【详解】由恒成立，则恒成立，
当时，恒成立，则需恒成立，不符和题意；
当时，此时与同号或其中至少一个为零，
令得，令得，
当时，，则需，即；
当时，，则需，即；
综上可得，故，
令，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则，即的最大值为.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求下列函数的导数．
（1）．
（2）；
（3）；
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）.
（2），
（3）令，则，
．
16. 函数
（1）求在点处的切线方程.
（2）求的单调区间.
【正确答案】（1）
（2）单调递增区间是，单调递减区间是
【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，继而由点斜式求得切线方程；
（2）利用导函数的符号确定原函数的单调区间即可.
【小问1详解】
因，
则， 又，即切点为，
故在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
因的定义域为，
令 得 ，令 得，
故得的单调递增区间是，单调递减区间是.
17. 已知等差数列中，，，在各项均为正数的等比数列中，，．
（1）求数列与的通项公式
（2）求数列的前n项和．
【正确答案】（1），
（2）
【分析】（1）由等差数列的，即可求出的通项公式，进而求出的通项公式
（2）表示出的通项公式，用错位相减法即可求解数列的前n项和
小问1详解】
解：设的公差为，则，所以
解得，所以；
由题设等比数列的公比为，由题得，，∴，∴．
所以．所以．
小问2详解】
由题得．
所以
则
两式相减得
所以．
18. 已知函数．
（1）当时，求证：在上是增函数；
（2）若在区间上存在最小值，求的取值范围；
（3）若仅在两点处的切线的斜率为1，请直接写出的取值范围．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）求导，即可根据导数的正负求解，
（2）对讨论，进而根据函数的单调性，即可求解，
（3）根据斜率为1列方程，将问题转化为与，或与的图象有两个交点，结合函数的图象即可求解.
【小问1详解】
当，即时，，
令解得，
当时，，当时，，
又连续，所以在上是增函数.
【小问2详解】
，
当时，，
①当时，在上恒成立，
所以，在区间上单调递增，所以在区间上不存在最小值：
②当时，令解得，此时，
所以存在最小值，且，
综上的取值范围是．
【小问3详解】
仅在两点处的切线的斜率为1，即有两个不同解，
解法一：显然不是的根，故，此时可得有两个不同的解，即与的图象有两个交点，
令，则，
故在和均为单调递增函数，且当时，恒成立，
当时，，且，所以图象大致如下，
由图象可知与的图象有两个交点，则的取值范围为.
解法二：显然不是的根，故，方程有两个不同的解，即与的图象有两个交点，
在同一坐标系上画和的图象如图，
由图象可得当时与的图象有两个交点，即的取值范围为.
19. 已知数列的前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足
（ⅰ）求数列的前项和；
（ⅱ）设，问是否存在正整数，使得，若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．
【正确答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，所有的值为大于或等于的偶数，理由见解析
【分析】（1）应用计算得出通项公式；
（2）（ⅰ）分奇偶应用分组求和结合等差数列求和公式及等比数列求和公式计算求解；
（ⅱ）分为奇数和偶数两种情况讨论，通过作差法判断数列的单调性，进而求出满足的的取值范围.
【小问1详解】
因为，所以当时，，
当时，，
．
【小问2详解】
（ⅰ）由（1）知，
所以
①当为偶数，
②当为奇数，
（ⅱ）①当为偶数时，，
，
故当为偶数时，单调递增，
，
故当为偶数且时，；
②当为奇数，，
，故当为奇数时，单调递减，
，当为奇数时，（舍），
综上，当为偶数且时，.
0
极小值