河南周口市沈丘县第一高级中学2025-2026学年下册高二3月份考试数学试卷（A卷）（含答案）

这是一份河南周口市沈丘县第一高级中学2025-2026学年下册高二3月份考试数学试卷（A卷）（含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知函数在处可导，若，则（ ）
A. 4B. 6C. D.
【正确答案】A
【分析】应用导数定义计算求解.
【详解】因为
，所以.
故选：A.
2. 已知是数列的前项和，是等差数列，若，则（ ）
A. 18B. 24C. 32D. 42
【正确答案】C
【分析】由是等差数列，根据等差数列基本量的计算即可求解.
【详解】由题设是等差数列，，
则的公差为，故，
则得，故.
故选：C.
3. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】对函数求导，再令，可得出的等式，解之即可.
【详解】，，，
解得.
4. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】用代换和组合数的性质计算即可
【详解】因，，
故选：C.
5. 《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（ ）
A. 120种B. 240种
C. 480种D. 600种
【正确答案】D
【分析】利用计数原理以及相邻问题捆绑法可得答案.
【详解】四大名著恰有3本相邻共有种插法；
4本相邻时共有种插法，
所以不同的插法共有600种，
故选：D.
6. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先求得，得到恒成立，转化为在恒成立，即，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.
【详解】由函数，可得其定义域为且，
因为函数在定义域内单调递增，所以恒成立，
即在恒成立，即，
设，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以.
故选：A.
7. 已知函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】
首先发现函数是偶函数，等价于在上有不同两个零点，再对a和0进行讨论，当时不合题意，当时，解不等式，即可求出a的范围.
【详解】因为，所以函数有4个零点，等价于在上有两个不同的零点，当时，，，当时，，函数单调递增，不合题意，当时，，解得，，解得，，解得，故函数在区间上单调递增，在上单调递减，所以，
解得，
故选：C.
本题考查由零点的个数求参数的范围，考查了化归与转化的数学思想，结合函数的奇偶性，求出函数的单调性是解出此题的关键，再由极大值大于0，解不等式即可求解，考查了导数的应用，属于中档题.
8. 已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】构造函数，利用导数，结合题目所给条件可得单调性及其奇偶性，再利用，可得，则可得及时的的取值范围，再分与计算即可得解.
【详解】令，则，
由时，，故，
即在上单调递减，又为偶函数，则，
则也是定义在的偶函数，
由，则，
则当时，，且，
当时，，且，
令，则有或，
对，解得；对，解得，
故的解集为.
故选：A.
二、多选题
9. 记等差数列的公差为，前项和为，已知，．以下说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【正确答案】BC
【分析】由题设结合等差数列求和公式可求得，进而得到，进而求解判断各选项即可.
【详解】由题意得，，而，则，
所以，则，故A错误；
而，则，故B正确；
因为时，，时，，则，故C正确；
当时，，故D错误.
故选：BC
10. 已知函数，则（ ）
A.
B. 当时，曲线在点处的切线方程为
C. 当时，函数有最大值
D. 当函数在区间上单调递减时，
【正确答案】AB
【分析】根据函数的求导法则求导，可判断A；利用导数求得曲线在点处的切线斜率，从而求出其切线方程，判断B；当时，分析函数的单调性，可知其最值情况，判断C；由函数在区间上单调递减，知在区间上恒成立，由此求得的取值范围，判断D.
【详解】函数，定义域为.
对于A，，所以A正确；
对于B，当时，函数，则，所以.
又，所以曲线在点处的切线方程为，即，所以B正确；
对于C，.
当时，令，则，即.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以无最大值，所以C错误；
对于D，若函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立，
即，即，即在区间上恒成立.
令，则在区间上单调递增，所以，所以.
所以，所以D错误.
故选：AB.
11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 在上不是增函数
B. 若关于的方程有两个不相等的实根，，且，则
C. 若（），且，则的最大值为
D. 若，，不等式恒成立，则的取值范围为
【正确答案】ACD
【分析】利用导数判断的单调性，结合反例可判断A，利用对数均值不等式可判断B，构造函数，求解导数，利用导数求最值可判断C，把恒成立问题转化，分离参数，结合导数求解最值，可判断D.
【详解】因为，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，且；
又因为的定义域，且，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，且.
对于选项A：因为，则，
所以在上不是增函数，故A正确；
对于选项B：因为关于的方程有两个不相等的实根，，
可知，，且，
整理可得，即，
结合对数不等式，可得，即，
所以，故B错误；
对于选项C：若（），且，
由图象可知：，
则，即，可得，
且，即，可得，
又因为，
且，，在内单调递增，可得，
则，
构建，，则，
当时，；当时，；
可知在上单调递增，在上单调递减，
则，所以的最大值为，故C正确；
对于选项D：因为，则，
且，可得，
又因为在内单调递增，可得，则，
构建，，则，
因为，可知：
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，且.
可得，所以的取值范围为，故D正确；
故选：ACD
三、填空题
12. 若数列为等比数列，且，是方程的两个根，则_____.
【正确答案】
【分析】根据韦达定理判断的正负，从而求出的正负，并求出，根据等比中项即可求解.
【详解】由题意得，，，故，，
因为为等比数列，所以，解得，
又因为，，所以与同号，即，
故.
故 .
13. 若已知定义域为的函数在处的切线经过点，则函数在处的导数等于___________．
【正确答案】0
【分析】求出函数在处的切线方程，进而得到和的关系，再根据除法的求导法则求出，即可求出.
【详解】设切点为，
则函数在处的切线方程为．
因为切线经过点，代入上式可得，即．
对求导，．
将代入上式，则．
14. 已知数列的前n项和为，，，则______．
【正确答案】2n
【分析】根据递推公式及等差数列的概念可得，然后根据通项与前n项和的关系可得数列的通项公式．
【详解】因为，等式两边同时除以，
得，当时，，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，即，
所以当时，，
当时，也符合上式，
所以．
四、解答题
15. 已知函数在处取得极值.
（1）求函数的解析式及其单调递增区间；
（2）过点作曲线的切线，求此切线方程.
【正确答案】（1）；和
（2）
【分析】（1）由在处取得极值得到，求出，由得到方程组，计算出的值，从而得到；解出的的范围是单调递增函数；
（2）设切点为，求出，利用点斜式求出切线方程，将点代入切线方程得到的方程，计算出的值，将代入切点和斜率，利用点斜式得到切线方程.
【小问1详解】
在处取得极值，，
，，
，；
，
，即，即或，
在和上是单调递增函数；
【小问2详解】
设切点为，，
则切线方程为，
切线过点，
，
，，
切点为，，
切线方程为，即.
16. 已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）记，求的前项和；
（3）记，求证：．
【正确答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）应用计算得出是等比数列，再应用等比数列通项公式计算求解；
（2）应用错位相减计算求解；
（3）应用裂项相消法计算证明.
【小问1详解】
因为①，
所以②，
①-②得：，即，
又，所以．
所以是以1为首项，为公比的等比数列．
所以．
【小问2详解】
，
，
，
①-②得：
，
所以．
【小问3详解】
因为，
所以．
.
17. 为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选11名球员组建校足球队.
（1）若将校足球队的11个名额分到7个班级，每个班级至少1个名额，问有多少种分配方法？
（2）学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练.若其中一组4人，另外两组每组3人，问有多少种不同的分组方式？
（3）比赛入场式时工作人员会为11名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？
【正确答案】（1）210 （2）2100
（3）259200
【分析】（1）将11个名额看成11个相同的小球，排成一排后，有10个空位，利用隔板法分析可得答案；
（2）根据题意，由平均分组和不平均分组公式分析可得答案；
（3）根据题意相邻元素捆绑，不相邻元素插空法，由分步计数原理计算可得答案．
【小问1详解】
将校足球队的个名额分到7个班级，每个班级至少个名额，
问题等价于将个完全相同的小球分7组，每组至少一个小球，
由隔板法可知，不同的分配方法种数为．
【小问2详解】
将除指定的守门员外的其他名队员，进行分组训练，若其中一组人，另外两组每组人，
则不同的方法种数为种.
【小问3详解】
将、、三人进行捆绑，与除、、、四人以外的人进行全排，
然后将、、、四人进行插空，
所以，不同的排法种数为种．
18. 已知函数，其中a为常数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设，求证：当时，.
【正确答案】（1）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为
（2）
（3）证明见详解
【分析】（1）求导，根据导数的符号判断函数的单调区间；
（2）根据题意分析可知，利用导数分析可知在内单调递减，结合恒成立问题运算求解即可；
（3）令，利用导数分析的单调性可得，结合，可得，即可得结果.
【小问1详解】
当时，则的定义域为，且，
令，解得或；令，解得；
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
【小问2详解】
因为，
若，当趋近于时，趋近于，不合题意，所以，
因为，
且，则，，则，
可知在内单调递减，则，
可得，解得，
所以实数a的取值范围为.
【小问3详解】
令，
则，
因为，，则，，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，
因为，则，可得，
即，所以当时，.
19. 已知函数．
（1）讨论函数在区间内极值点的个数．
（2）设函数，若函数存在两个不同的零点，且．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：．
【正确答案】（1）分类讨论，答案见解析.
（2）（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用导数，分情况和讨论极值点；
（2）（i）利用导数研究单调性，从而得，由函数存在两个不同的零点可得，得解；
（ii）根据零点的分布和大小情况进行考虑入手即可.
【小问1详解】
因为，所以．
若，当时，恒成立，
则函数在上单调递增，无极值点．
若，当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
故是函数的极小值点，且函数无极大值点．
综上可知，当时，函数在区间内极值点的个数为0；
当时，函数在区间内极值点个数为1．
【小问2详解】
（i）由题意知，
所以．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
因为函数存在两个不同的零点，所以，即，
所以实数a的取值范围为．
（ii）下面找两个点m，，使得，
注意到，且，于是考虑找点，
下面我们证明：．
①要证，即证，设，要证明，
即设，则，则
所以在上单调递增，得，
所以在上单调递增，
故，即
因此．
设，则，
所以上单调递增，所以，
因此，又，故，即，
又，所以．．
②，
设，则，
易知在上单调递增，在上单调递减，
所以，即．
因为，即，所以，且，
因此，
因为，所以，所以，
即得证．