河南省新乡市新誉佳高级中学2025~2026学年高二上册期中考试数学试卷（含答案）

这是一份河南省新乡市新誉佳高级中学2025~2026学年高二上册期中考试数学试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．圆心为，半径为2的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．椭圆的焦距为（ ）
A．1B．C．2D．
5．双曲线 的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．圆和圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相离C．相交D．外切
7．如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（ ）

A．B．C．D．
8．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
二、多选题
9．已知直线与圆相交于两点，则（ ）
A．是圆的一条对称轴
B．圆的半径为
C．圆心到的距离为
D．的面积为
10．若方程所表示的曲线为C，则（ ）
A．曲线C可能是圆
B．若，则C不一定是椭圆
C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则
D．若C为双曲线，且焦点在y轴上，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．与所成角的余弦值为
B．与平面所成角的正弦值为
C．点到直线的距离为
D．与平面的距离为
三、填空题
12．已知空间向量，且，则实数_________.
13．直线与直线平行，则直线与的距离为________．
14．设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则直线的斜率为___________．
四、解答题
15．如图，在正方体中，E，F分别是，的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面
16．分别求满足下列条件的直线方程：
（1）过点且与直线垂直的直线方程；
（2）过点且与直线平行的直线方程；
（3）求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程．
17．已知圆的圆心在直线上，且经过点，.
（1）求圆的标准方程；
（2）求过原点且与圆相切的直线方程.
18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面平面.

（1）证明.
（2）点在线段上，若平面，求.
（3）求二面角的正弦值.
19．如图，椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），证明：直线与直线的斜率之和为2．
答案
1．【正确答案】A
【详解】向量，，则.
故选A
2．【正确答案】C
【详解】由题意知，直线方程可变形为，
所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，
则，解得.
故选C
3．【正确答案】B
【详解】由题意圆的标准方程是，
故选B.
4．【正确答案】C
【详解】椭圆的半焦距，所以该椭圆的焦距为.
故选C.
5．【正确答案】B
【详解】由题意得，则其渐近线方程为.
故选B.
6．【正确答案】C
【详解】由两圆的方程可知，圆心坐标依次为：，，半径依次为，
则，由，可得两圆相交.
故选C.
7．【正确答案】C
【详解】连接，

因为点为的中点，
所以
即，.
故选C.
8．【正确答案】C
【详解】
如图，根据双曲线的定义得，，
由于，，则，
所以．设由题可得，则，
在中，由余弦定理，可得整理得，
即，因，则可得 .
故选C．
9．【正确答案】BD
【详解】对于AB，由圆方程知：圆心，半径，B正确；
直线不过圆心，不是圆的对称轴，A错误；
对于C，圆心到直线的距离，C错误；
对于D，，，D正确.
故选BD.
10．【正确答案】ABC
【详解】对于AB，当时，曲线C的方程为，所以曲线C可能是圆，不一定是椭圆故AB正确；
对于C，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故C正确；
对于D，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故D错误.
故选ABC.
11．【正确答案】ACD
【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则
对于A，，，
设与所成角为，则，故A正确；
对于B，平面的法向量可取为，，
设与平面所成角为，则，故B错误；
对于C，因，与同方向的单位向量为，
，则点到直线的距离为，故C正确；
对于D，设平面的法向量为，，
则，故可取，
由，平面，可得平面，
则与平面的距离即点到平面的距离，
由，则到平面的距离为，故D正确.
故选ACD
12．【正确答案】2
【详解】已知空间向量，且，
则，解得.
13．【正确答案】/
【详解】直线与直线平行，所以，
所以直线与直线间距离为.
14．【正确答案】
【详解】设，，则，，
所以，也即，
因为，的中点为，所以，，
所以，所以，
所以直线的斜率为，经检验满足题意．
15．【正确答案】（1）见详解；
（2）见详解.
【详解】（1）
如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，
则，所以，
有；
（2）由（1）知，设平面的一个法向量为，
则，
令，即，
又，显然，
故平面.
16．【正确答案】（1）
（2）
（3）或
【详解】（1）因为的斜率为3，所以所求直线的斜率为，
所以由点斜式方程可得，即．
（2）因为的斜率为，所以所求直线的斜率为，
所以由点斜式方程可得，即．
（3）①当截距为0时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，即，
所以直线方程为，即．
②当截距不为0时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，解得，
所以直线方程为，即．
综述：所求直线方程为或．
17．【正确答案】（1）
（2）或
【详解】（1）线段的中点，直线的斜率，
则线段的中垂线斜率为，方程为，即，
由，解得，，因此圆的圆心，半径，
所以圆的标准方程为.
（2）过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为，
即直线与圆相切；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为，
解得，因此切线方程为，
所以经过原点且与圆相切的直线方程为或.
18．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）
【详解】（1）作，垂足为，连接.
在中，.
，.
所以，四边形是正方形.
所以.
因为，所以平面.
因为平面，所以.
（2）因为四边形是正方形，所以.
因为平面，所以平面.
若平面，因为，所以平面平面.
因为平面平面，平面平面，所以，
所以.因为，所以.
（3）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，.

设平面的法向量为，
则取.
设平面的法向量为，
则取.
，
，
即二面角的正弦值为.
19．【正确答案】（1）
（2）见详解
【详解】（1）由题意知解得，，，
所以椭圆方程为．
（2）方法一：通法．当斜率不存在时，直线与椭圆的两个交点为，，显然成立．
当斜率存在时，设直线的方程为，代入，
得．由题意可知．
设，，，则，．
从而直线，的斜率之和为
．
方法二：齐次化．将椭圆向上平移一个单位所得方程为，即．
设平移后直线的方程为，此时直线经过，则．
将直线的方程与椭圆方程齐次化联立可得，
整理得，即，
故[与求定点不一样，平移前后直线斜率不会变化]．
方法三：配凑法．设直线，因为直线过点，所以．
将椭圆方程写为，即．
齐次化联立直线与椭圆方程可得，即．
两边同除以，整理得，是关于的二次方程，
，即为方程的两个解，所以.