河南省南阳市部分校2025-2026学年高二下册3月阶段检测数学试卷（北师大版）（含答案）

这是一份河南省南阳市部分校2025-2026学年高二下册3月阶段检测数学试卷（北师大版）（含答案），共29页。试卷主要包含了2715B， 已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由二项式通项公式即可求解.
【详解】根据二项式展开的通项公式，第项为，
令的指数，解得，
即的系数.
2. 已知直线是双曲线：的一条渐近线，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据双曲线渐近线得到与的关系，结合及离心率公式求解即可.
【详解】由题意知，所以，即，则.
所以，又双曲线离心率，所以.
3. 数列1，，，，，…的通项公式可以为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】方法一：对于A，设数列1，，，，，…的第项为，
则，，，
，，
故数列的一个通项公式为.
方法二：对于A，当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，
故数列1，，，，，…的通项公式可以为，A正确.
对于B，当时，，故B错误，
对于C ，当时，，故C错误，
对于D，当时，，故D错误，
4. 已知数列的通项公式为，前n项和为，则当取得最小值时，（ ）
A. 1B. 2C. 6D. 7
【正确答案】C
【分析】根据，确定数列的正负项，可得当取得最小值时.
【详解】令，则，解得，
所以，，，当时，，
所以当取得最小值时.
5. 在天文学中，星体的视星等是观测者用肉眼所看到的星体亮度，数值越小亮度越高.已知满月的视星等为，由于大气湍流和仪器误差，单次测量满月的视星等服从正态分布，即，则（ ）
参考数据：若，则，．
A. 0.2715B. 0.8186C. 0.34135D. 0.97725
【正确答案】B
【分析】利用正态分布性质及区间概率值，即可求得指定区间概率.
【详解】由，得，
则
.
故选：B.
6. 已知抛物线C：的焦点为F，点在C上，P是C上的动点，为直线l：上一定点，P到l的距离为d，若取得最小值时点P与A重合，则（ ）
A. B. C. 12D. 24
【正确答案】B
【分析】根据求解，进而根据抛物线的定义将问题转化为，根据三点共线，即可求解.
【详解】将代入抛物线C：中，得，故，
故,且直线l：为抛物线的准线方程，
因此,则,当且仅当三点共线时取到等号，
由于取得最小值时点P与A重合，因此三点共线,
经过，直线方程为，即，
令，则.
7. 已知等差数列的前n项和为，且满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由等差数列通项公式及求和公式列出关于首项和公差的等式，求解即可.
【详解】设等差数列的首项为​，公差为，
由，可得：，解得，
由，
可得：
代入得： ，
化简得：，解得，
所以.
8. 已知甲盒中有5个白球、5个黑球，乙盒中有1个黑球，所有球除颜色外均相同，每次从甲盒中随机取出2个球放入乙盒中，当两个盒子中黑球个数相等或甲盒中的球全部取出时停止取球.已知第2次取出的球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】记第2次取出的球放入乙盒后停止取球为事件，第1次取2白球为事件.
则，
，
所以
故第2次取出的球放入乙盒后停止取球，则第1次取出的是2个白球的概率为.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于变量X，Y，经过随机抽样获得成对数据（，2，3，…，10），且，利用最小二乘法得到Y关于X的线性回归方程为，且X与Y的相关系数，则下列结论正确的是（ ）
A. r越大，X与Y的线性相关性越强
B. 若，则
C. 若，则
D. 若样本点（，2，3，…，10）都在回归直线上，则
【正确答案】AD
【分析】根据的性质即可求解ABD，根据样本中心在直线上，可求解C.
【详解】由于可得，则，
对于A, r的绝对值越接近1，由于,故的值越大，X与Y的线性相关性越强，故A正确，
对于C,当时，，则，故C错误，
对于D, 若样本点（，2，3，…，10）都在回归直线上，且,则,D正确，
对于B, 当时，无法确定的值，B错误，
10. 已知是公差为的等差数列，其前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则的最大值为
C. 若，，则D. 若，则
【正确答案】ACD
【详解】对于A，由，得，因此，A正确；
对于B，由，得数列单调递减，若，则，B错误；
对于C，由，得，解得，由，得，解得，因此，C正确；
对于D，等差数列的前项和是关于的不含常数项的二次函数，
由，得，当时，，
而满足上式，因此，D正确.
11. 某城市的智能交通系统使用无人机参与街道交通的巡检，现有7架无人机，有甲、乙、丙、丁4条街道需要巡检，若7架无人机都参与且每架无人机只巡检一条街道，则下列结论正确的是（ ）
A. 若无人机完全相同，每条街道至少有一架无人机巡检，则共有35种不同的巡检方案
B. 若无人机完全相同，允许有的街道不用无人机巡检，则共有120种不同的巡检方案
C. 若给无人机按1∼7编号，它们排队依次起飞，其中1号、2号两架无人机不相邻，则共有3600种不同的顺序
D. 若给无人机按1∼7编号，已知甲、乙两街道各至少需要2架无人机，丙、丁两街道各至少需要1架无人机，则共有2100种不同的巡检方案
【正确答案】BCD
【分析】利用隔板法求满足条件的巡检方案数判断选项A，B，利用插空法求满足条件的巡检方案数判断C，根据每个街道所分配的无人机数量分类，再结合计数原理求巡检方案总数，判断D.
【详解】对于A，满足条件的巡检方案数相当于将个相同的小球分到四个盒子，
每个盒子非空的分法数，由隔板法可得不同的巡检方案有种，A错误；
对于B，对于满足条件的任何一种巡检方案，若给每个街道再增加一架无人机则可得
将架相同的无人机分到四个街道，每条街道都至少有一架无人机巡检的一种方案，
对于将架相同的无人机分到四个街道，每条街道都至少有一架无人机巡检的任意一种方案，
若从每个街道所分的无人机中取走一架无人机可得
将架相同的无人机分到四个街道，允许有的街道不用无人机巡检的一种方案，
故满足条件的巡检方案数等于将架相同的无人机分到四个街道，
每条街道都至少有一架无人机巡检的方案数，
由隔板法可得不同的巡检方案有种，B正确；
对于C， 先将编号为的架无人机排成一列，共种排法；
再将编号为的两架无人机排在前一个排列的两架无人机之间或该排列的最前面或最后面，
共种排法；
由分步乘法计数原理可得满足条件的总排法数为，C正确；
对于D，满足条件的巡检方案可分为四类，
第一类，甲架，乙架，丙，丁各架，此类巡检方案数为，
第二类，甲架，乙架，丙，丁各架，此类巡检方案数为，
第三类，甲架，乙架，丙架，丁架，此类巡检方案数为，
第四类，甲架，乙架，丙架，丁架，此类巡检方案数为，
由分类加法计数原理可得满足条件的总排法数为，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知为等差数列，，，则______．
【正确答案】
【详解】在等差数列中，由，得，解得
由，得，解得，公差，
所以.
13. 已知点，，，则点A到直线BC的距离为______．
【正确答案】##
【详解】因为点，，，
所以，
于是有，
所以，
所以点A到直线BC的距离为.
14. 已知，点，，我们把满足的点P的轨迹称为双纽线，如图所示，设，则y的最大值为______，的最大值为______
【正确答案】 ①. ②.
【分析】设，，利用等面积法可得，利用余弦定理可得，再结合可得．
【详解】设，，
则，
，
则，当时取等，则y的最大值为；
，解得，
又，所以，
即
，当时取得，此时点在轴上，
则y的最大值为，的最大值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某团队为评估两种治沙方法的植被恢复效果，在某沙漠地区随机选取100个样地进行试验.方法A：传统草方格沙障（50个样地），通过铺设草方格固定流沙；方法B：新型化学黏合剂固沙（50个样地），通过喷洒化学黏合剂增强沙粒粘性.试验结束后，记录植被恢复情况，得到如下列联表：
（1）是否有95%的把握认为植被恢复成功与治沙方法有关？
（2）若从试验中植被恢复失败的样地中随机抽取2个，求至少有1个使用方法A的概率.
附.
【正确答案】（1）是 （2）
【小问1详解】
由列联表得：，

已知临界值 ，因为 ，
故有95%的把握认为植被恢复成功与治沙方法有关.
【小问2详解】
失败样地共21个，其中方法15个，方法6个.
总抽取数：，全为B方法：，
故所求概率为
16. 某社区推行“绿色生活积分”活动.某家庭每月的积分按等差数列增长.已知第2个月的积分为10分，第5个月的积分为19分.设该家庭第n个月的积分为，前n个月的积分之和为．
（1）求和．
（2）若连续3个月的积分之和不低于81分，则这3个月中的最后一个月可获评“绿色示范家庭”.求第几个月时该家庭能首次获评，并计算这3个月的总积分．
【正确答案】（1），
（2）第个月时该家庭能首次获评，这3个月的总积分
【分析】(1)设等差数列的首项为，公差为,根据题意列出方程组，求出公差和首项，利用等差数列的通项公式和前项和公式求解即可；
(2)设连续个月为第、、个月（），可得，解不等式即可求解.
【小问1详解】
设等差数列首项为，公差为,
由题可得：，解得：，
所以通项公式：
前项和公式：
【小问2详解】
设连续个月为第、、个月（），则这个月的积分之和为：，
根据题意：，
解得：
因为为正整数，所以，即第个月时首次获评，
这个月总积分：
17. 如图，正方体的棱长为2，点P在棱上．
（1）证明：；
（2）求的最小值及取最小值时平面与平面夹角的余弦值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）的最小值为，平面与平面夹角的余弦值为
【分析】（1）利用正方形和正方体的几何性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式，结合二次函数最值性质、空间向量夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
连接，
因为点P在棱上，
所以有平面，又因为平面，
所以，
因为是正方形，
所以，又因为平面，
所以平面，而平面，
所以；
【小问2详解】
建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
，
所以当时，有最小值；
设平面的法向量为，
，
所以，令，得，
设平面的法向量为，
，
所以，令，得，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知椭圆C：经过点，．
（1）求C的方程；
（2）过点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．
（ⅰ）若，求的面积；
（ⅱ）若直线AB外的点满足，求实数m的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）(i) ；(ii) .
【分析】第1问点代入联立解方程组即可，第2问联立直线与椭圆方程直接解出、坐标即可根据三角形面积求解，的取值范围可以根据在线段的垂直平分线上用表示，通过基本不等式求解.
【小问1详解】
因为椭圆C：经过点，将点，代入椭圆方程可得: ，解得.
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
（ⅰ）由题意当，直线的表达式为：，
联立，化简整理得，解得或，
即，，则.
（ⅱ）由题，直线的表达式可设为：
联立，化简整理得，
，得或，
设，则有，，
则中点，
则线段的垂直平分线表达式为：，
由点满足，所以，即在线段的垂直平分线上，
从而有，即，
当时，(当且仅当时取“”)
当时，(当且仅当时取“”)
所以当时，，当时，
又直线的斜率存在，从而，
所以的取值范围为.
19. 为迎接国际数学日，某班级举行数学趣味知识有奖问答活动．每位同学需回答3个题目，回答时从6个A类题目、4个B类题目中选择3个回答，A类题目每个答对得9分，B类题目每个答对得n分，每个题答对与否互不影响．已知小王每个A类题目答对的概率均为，每个B类题目答对的概率均为．
（1）若小王从A类题目中随机选择3个回答，记小王答对的题目个数为X，求X的分布列．
（2）若小王从所有题目中随机选择3个回答，
（ⅰ）记小王选取的A类题目数为Y，求；
（ⅱ）试确定n的值，使得A类题目无论选择几个总得分的期望不变．
【正确答案】（1）答案见解析
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得出分布列；
（2）（ⅰ）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式求期望即可；
（ⅱ）易得小王做对题目的数量服从二项分布，做对题目的数量服从二项分布，设小王选择类题目数为，求出总期望，使得A类题目无论选择几个总得分的期望不变，则总期望与无关，进而可得出答案.
【小问1详解】
由题意可取，
则，，
，，
所以X的分布列为
【小问2详解】
（ⅰ）由题意可取，
则，，
，，
所以；
（ⅱ）设小王选择类题目数为，则类题目数为，
由题意小王做对题目的数量服从二项分布，做对题目的数量服从二项分布，
故题目得分的期望为，
题目得分的期望为，
所以得分的总期望为，
因为A类题目无论选择几个总得分的期望不变，
所以得分的总期望与无关，
所以，解得，
所以当时，A类题目无论选择几个总得分的期望不变．
治沙方法
植被恢复成功（个）
植被恢复失败（个）
合计
方法A
35
15
50
方法B
44
6
50
合计
79
21
100
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828