北京市清华附中志新学校2025-2026学年高二下册3月月考数学试卷（含答案）

这是一份北京市清华附中志新学校2025-2026学年高二下册3月月考数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共10小题，每小题4分）
1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由复数的几何意义和复数的运算求出结果即可.
【详解】由题意可得，
所以，
故选：A
2. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】首先解对数不等式得到集合，再根据补集、交集的定义计算可得；
【详解】解：由，即，所以，所以，所以，因为，所以；
故选：D
3. 在梯形ABCD中，，，，则（ ）
A. B. 8C. 12D.
【正确答案】C
【分析】作出图形，结合图形和已知，由向量数量积的定义求出即可.
【详解】
如图，取的中点，则，且，
所以四边形为平行四边形，
则，所以为正三角形，
过作于，
则，
所以.
故选：C.
4. 设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可.
【详解】作出示意图如图所示：

则抛物线的性质，可得，又，
所以可得的倾斜角为，
则可得，
从而.
故选：C.
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. 80B. 40C. 10D.
【正确答案】B
【分析】根据题意，求得二项展开式的通项公式，结合通项确定的值，代入即可求解.
【详解】由二项式展开式的通项公式为，
令，可得，
所以展开式中的系数为.
故选：B.
6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为C右支上一点．若的一条渐近线方程为，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用双曲线的定义可得，结合条件可得，进而可得，即得.
【详解】由题可知，，
因为的一条渐近线方程为，
所以，，
所以.
故选：C.
7. 设，均为锐角，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】C
【分析】由于，均为锐角，所以，.先讨论充分性，当时，，结合函数在上单调递增，即可判断；再讨论必要性，当时，由于，结合函数在上单调递增，即可得出，进而求解.
【详解】因为，均为锐角，所以，.
当时，，
由函数在上单调递增，所以，
故“”是“”的充分条件.
当时，由，，则，所以，
因为函数在上单调递增，所以，即，
故“”是“”的必要条件.
综上所述，“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
8. 某学术会议有个相邻座位（编号至），安排来自所不同大学的位教授入座，每校人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【正确答案】B
【分析】采用捆绑、插空的方法结合排列数计算即可求解.
【详解】先将绑在一起，当做一个人和进行排列，共有种排列，
有个空位选两个插入与，所以共有种符合条件的安排方法.
故选：B
9. 声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率：
小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（ ）
A. 宫B. 商C. 角D. 徵
【正确答案】C
【分析】根据题意可知：，可得，结合题意分析判断即可.
【详解】由题意可知：，可得，
则，
结合题意可知：只有“角”的频率为3的倍角，
所以小明弹奏的音是“角”.
故选：C.
10. 已知函数，，若成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】不妨设得到，的关系，利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．
【详解】解：不妨设，
，，
，即，，
故，
令，
，，
故在上是减函数，且，
当时，，当时，，
即当时，取得极大值同时也是最大值，
此时，即的最大值为，
故选：．
二、填空题（共5小题，每小题5分）
11. 已知函数，则__________.
【正确答案】4
【分析】求出，得到答案.
【详解】，，故.
故4
12. 冰墩墩（Bing Dwen Dwen）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将6个不同的冰墩墩分配到甲乙丙丁4人，每人至少分配1个冰墩墩，则不同的分配方案共有__________种．（用数字作答）
【正确答案】1560
【分析】根据题意可知有两个人各分得2个、两个人各分得1个和有一个人分得3个、其余三人各分得1个两种情况，结合平均分配的思想方法与分步乘法计数原理即可求出结果.
【详解】根据题意，有两种情况：
一、有两个人各分得2个，两个人各分得1个，可以先从6个冰墩墩中任选2个，组成一个小组，有种选法，然后再从剩余4个冰墩墩中任选2个，组成一个小组，有种选法；然后连同两个冰墩墩，看成四个元素，四人看成四个不同的元素在四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有种，根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有种不同的分配方案；
二、有一个人分得3个，其余三人各分得1个，可以先从6个冰墩墩中任选3个，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三个冰墩墩，看成四个元素，四人看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有种，根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有种不同的分配方案．
综上，不同的分配方案共有种．
13. 端午节又名端阳节、粽子节等，它是中国首个入选世界非遗的节日．从形状来分，端午节吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等．其中，四角粽的形状可以近似看成一个四面体，如图所示．设棱的长为，其余的棱长均为，则该四角粽的表面积为________，内含食物的体积为________．（粽叶的厚度忽略不计）
【正确答案】 ①. ②.
【分析】根据棱锥的表面积公式和体积公式，结合线面垂直的判定定理、三角形的余弦定理，面积公式求解.
【详解】,
所以为锐角，所以，
该四角粽的表面积
，
取中点为，连接，
则,
所以,即，
且，平面，
所以平面，
内含食物的体积为.
故；.
14. 已知，则________．
【正确答案】
【分析】直接对二项式两边求导，再给x赋值可得结果.
【详解】对两边求导得,
，
再令，得.
故
15. 已知曲线为坐标原点．给出下列四个结论：
①曲线关于直线成轴对称图形；
②经过坐标原点的直线与曲线有且仅有一个公共点；
③直线与曲线所围成的图形的面积为；
④设直线，当时，直线与曲线恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是______．
【正确答案】①③④
【分析】分的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，由图可得①正确；当斜率为时结合渐近线可得②错误；由四分之一圆面积减去三角形面积可得③正确；由图形可得④正确.
【详解】，
因为当时，无意义，无此曲线，故舍去，
所以曲线表示为：，
作出曲线图象为

对于①，由图象可得曲线关于直线成轴对称图形，故①正确；
对于②，由于左上和右下部分双曲线的，所以渐近线方程为，
所以当直线的斜率为时，过原点的直线与曲线无交点，故②错误；
对于③，设直线与交点分别为，
因为圆方程中半径为2，且点，
所以直线与曲线围成的图形的面积为，故③正确；
对于④，由于直线恒过，
当时，直线与平行，有一个交点；
当时，与渐近线平行，此时有两个交点，
当，结合斜率的范围可得有三个交点，如图：

所以，④正确；
故①③④.
关键点点睛：本题关键是能根据的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析.
三、解答题（共6小题，共85分）
16. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若函数在上存在最小值，求a的取值范围．
【正确答案】（1）极大值为，极小值为
（2）
【分析】（1）先对函数求导，通过导函数的正负来确定的单调性，再结合极值的定义来确定函数的极值.
（2）结合函数的单调性以及极小值来确定的范围.
【小问1详解】
，.
令，或，列表如下：
的极大值为，极小值为.
【小问2详解】
由（1）知，在和上单调递增，在上单调递减，极小值为.
若函数在上存在最小值，则必须包含极小值点，即.
又因为，要使在上有最小值，必须保证，
即，整理得，解得.
综上，的取值范围是.
17. 在中，分别为角的对边，，且.
（1）求角的大小；
（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件①：为锐角；条件②：；条件③.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.
【正确答案】（1）
（2）见解析
【分析】（1）根据三角形边与角的关系结合即可求解；
（2）对给出的三个条件逐一探讨，若选①，由余弦定理解得或.分类讨论三角形的形状，再结合面积公式即可求解；若选择②，先计算，由正弦定理得,再由余弦定理解得或.分类讨论三角形的形状，再结合面积公式即可求解；若选③，由正弦定理求出的值，由两角和的正弦公式求出的值，结合面积公式即可求解.
【小问1详解】
在中，，所以，所以，
所以，又，
所以，所以；
【小问2详解】
选择条件①：为锐角，
由（1），
由余弦定理有：，
所以，即，
解得或，
当时，，所以为钝角，不满足题意，
当时，，所以为锐角，满足题意，
综上，满足条件的存在且唯一确定，
所以；
选择条件②：，
由（1），
所以为钝角，且唯一，满足题意，
所以，
由正弦定理得，
又由余弦定理得，
所以，即，
解得或，
当时，，所以为钝角，满足题意，
当时，，所以为锐角，不满足题意，
综上，满足条件的存在且唯一确定，
所以；
条件③：，
由（1），
所以，由正弦定理得，所以，
所以，
由正弦定理得，
又，
所以.
18. 如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）存在；
【分析】（1）连接，证明点为中点即可证明，再根据线面平行判定定理即可证明；
（2）结合题意，过作平面，以为原点，分别为轴的正方向，利用坐标法求解即可；
（3）设，则，利用点满足即可求解；
【小问1详解】
证明：连接，因为在直三棱柱中，四边形是平行四边形，点为的中点.
所以点为的中点，
又因为点为的中点，
所以，
又平面，平面
所以平面
【小问2详解】
因为，为中点，所以，且，
过作平面，以为原点，分别为轴的正方向，
则，
，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
设直线与平面所成角为，
则.
所以直线与平面所成角正弦值为
【小问3详解】
设，则，，
由在平面内可知，即，解得，
所以存在点，当时，点在平面内.
19. 已知椭圆：（）的长轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于两点（不与左右顶点重合），点在轴正半轴上，直线交轴于点P，直线交轴于点，问是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由．
【正确答案】（1）
（2）存在，当时，有定值．
【分析】（1）根据长轴长为，离心率为，可得，得到标准方程．
（2）根据斜率存在，设直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示出，，表达出直线TM和直线TN，进而求出为定值；斜率不存在，不妨设，，求出为定值.
【小问1详解】
因为椭圆的长轴长为，离心率为，
所以，．
所以，．所以．
所以椭圆方程为．
【小问2详解】
若直线的斜率存在，设直线的方程为，．

联立方程组，
消去，化简得．
则，即,
设，，
所以，．
所以直线TM的方程为，直线的方程为．
所以，．
所以，，
所以
．
所以当时，为定值，
即（负值舍）时，有定值．
当时，若直线l斜率不存在，
不妨设，，
所以，．
所以．
综上，当时，有定值．
方法点睛：根据直线与圆锥曲线的位置关系求解存在性的定值问题，分类讨论，求解计算，计算量偏大.
20. 已知函数．
（1）若函数在处的切线经过，求a的值；
（2）若函数存在两个极值点；
（i）求a的取值范围；
（ii）若满足，且，证明：．
【正确答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）求导得切线斜率与切点，利用切线过已知点列方程求解；
（2）(i) 将极值点问题转化为关于的函数，分析该函数的单调性与值域得的范围； (ii) 确定的取值区间，结合的单调性证明绝对值不等式.
【小问1详解】
，
由题意，
因此函数在处的切线为，
令有．
【小问2详解】
（i）等价于，即，令（）.
，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
，当或时，.
有两个极值点，即有两个不同解，故的取值范围为.
（ii）当时，，
令，而，
当时，，时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
，，时，，
故存在，，使得当时，，
时，，
所以在上为增函数，在上为减函数，
，.
设，故，
当时，，故在上为增函数，
当时，，故在上为减函数，
故，故，
故当时，，而，故.
而，故，故.
21. 设集合的元素均为实数，若对任意，存在，．使得且，则称元素最少的和为的“孪生集”；称的“孪生集”的“孪生集”为的“2级孪生集”；称的“2级孪生集”的“孪生集”为的“3级孪生集”，依次类推．．．．．．．
（1）设，直接写出集合的“孪生集”；
（2）设元素个数为的集合的“孪生集”分别为和，若使集合中元素个数最少且所有元素之和为3，证明：中所有元素之和为；
（3）若，请直接写出的“级孪生集”的个数，设的所有“级孪生集”的并集为，若；求有序集合组的个数．
【正确答案】（1），﹔（2）证明见解析；（3），．
【分析】（1）根据集合定义直接得到答案；
（2）将集合 中元素从小到大排列：，则“孪生集” ，，，，， 构成公差为 2 的等差数列，计算得到答案；
（3） 的“级孪生集”的个数为，计算元素个数得到答案．
【详解】解：（1），﹔
（2）证明：将集合中元素从小到大排列：，
则其“孪生集”，，
设集合，
由于，，，，
因此集合中元素个数，
若，则有，即
因此，构成公差为2的等差数列，
所以进而；
（3）的“级孪生集”的个数为，
所有“级孪生集’的并集的元素个数为，
每个元素至少属于、、，中的一个，
所以有序集合组的个数为．
由（2）知，
所有“1级孪生集”为，，
它们的并集，有个元素；
所有“2级变生集”为，，
，
它们的并集有个元素；
A所有“3级孪生集”为，，
，，
，，
，，
它们的并集，有个元素；……，
所有"级孪生集“的并集
——其中第2小的元素的分子和最大元素的分子的和恰为，
即所有元素从小到大排列构成首项为，公差为等差数列，
所以共有项，项，
也即所有“级孪生集”的并集的元素个数为．
本题考查集合的定义，集合元素的个数和元素和，已在考查学生的应用能力，属于难题．
音
宫
商
角
徵
羽
频率
极大值
极小值