重庆市渝西中学2024-2025学年高二下学期4月第一次月考数学试题（含答案）

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12． 【
13．2021
14．1 （同构法或者切线放缩法）
15．(1)； (2)
16．（1）；（2）.
17．
【详解】（1）在三棱柱中，连接，由分别为的中点，得且，
而且，又为的中点，则且，于是且，
因此四边形是平行四边形，则，而平面，平面，
所以平面.
（2）在三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，令，
取中点，连接，而为中点，则，有底面，
由正，得，显然直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，设平面的法向量，
则，令，得，令直线与平面所成的角为，
于是，
所以直线与平面所成角的正弦值.
18．
【详解】试题分析：（Ⅰ）直接根据题设条件列出等式，再进行化简，即可得到动点的轨迹的方程；（Ⅱ）先假设存在，并设出直线的方程，联立直线与椭圆，结合韦达定理得到中点坐标，进而表示出点的坐标，再根据点在椭圆上即可求出直线的方程.
试题解析：（Ⅰ）设动点，则由题意可得
，化简整理得的方程为.
（Ⅱ）假设存在满足条件，设依题意可设直线方程为，
于是，消去，可得， 令，，
于是，，
所以的中点的坐标为.
因为，
所以直线的方程为，
令，解得，即.
因为、关于点对称，
所以，，
解得，，即.
因为点在椭圆上，所以
解得，于是，即，
所以的方程为或.
19．(1) (2) (3)
【详解】（1）当时，，定义域为，
此时，故切点为，
设切线斜率为，而，
故，
则切线方程为，化简得，
（2）若，
则，
当时，，，
故在上单调递减，
当时，，与矛盾，故排除，
当时，当时，，
，故，与矛盾，故排除，
当时，，令，解得，
令，解得，故在上单调递减，
在上单调递增，则有极小值，
极小值为，只需要即可，
令，记，则，
记，
则，
得到在上单调递减，而，
即，故，在上单调递减，
而，若，则，
得到，解得，故的取值范围为.
（3）令，得到，
由上问得恒成立，故恒成立，
得到恒成立，两边取指数得恒成立，
令，则，
令，则，
两式相加得，即成立.题号
1
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答案
C
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A
B
D
D
D
B
AC
BC
BCD