2026年中考数学一轮复习 综合与实践--锐角三角函数和相似的实际应用练习含答案

这是一份2026年中考数学一轮复习 综合与实践--锐角三角函数和相似的实际应用练习含答案，共56页。试卷主要包含了综合与实践，根据以下素材，探索完成目标等内容，欢迎下载使用。
【活动背景】青岩古镇位于贵阳市南郊，距市区约29公里，是贵州四大古镇之一，其历史可以追溯到600年前．古镇内能看到设计精巧、工艺精湛的明清古建筑错落有致、交错密布．凭 借独特的风貌和深厚的文化底蕴，青岩古镇被人们誉为中国最具魅力小镇之一．某学校数学兴趣小组成员带着测量工具来到青岩古镇测量一城门楼（如图1）的高度，为此他们设计了如量下方案．
【测量工具】测角仪、皮尺、标杆．
【测量数据】图纸设计：如图2，
测量数据：标杆的高度DE=CF=1.5米，∠AFG=31°，∠AEG=45°，测量点C，D之间的距离CD=6米，FG⊥AB，BC⊥AB．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题．
（1）求青岩古镇城门楼AB的高度；（参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60）
（2）该小组组长在小组讨论决定测量方案时，对某一成员提出的“利用物体在阳光下的影子测量城门楼的高度”的方案给予拒绝，没有采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
2．【操作探究】在数学综合与实践活动课上，老师组织同学们开展以“测量小树的高度”为主题的探究活动．
【学生A】查阅学校资料得知树前的教学楼ED高度为12米，如图1，某一时刻测得小树AB、教学楼ED在同一时刻阳光下的投影长分别是BC＝2.5米，DF＝7.5米．
（1）请根据同学A的数据求小树AB的高度；
【学生B】借助皮尺和测角仪，如图2，已知测角仪离地面的高度h＝1.6米，在D处测得小树顶部的仰角α＝30°，测角仪到树的水平距离m＝4.2米．
（2）请根据同学B的数据求小树AB的高度（结果保留整数，2≈1.41，3≈1.73）．
3．如图1，郑北大桥横跨亚洲最大铁路编组站，该桥为独塔双索钢混结合梁斜拉桥，是国内同类型桥中最宽的结合梁斜拉桥．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量郑北大桥的某组斜拉索最高点到桥面的距离”作为一项课题活动，进行了探究，具体过程如下：
图1 图2
方案设计：如图2，分别在A，B两点放置测角仪测得∠CDE和∠CED的度数；
数据收集：A，B两点的距离为260米，测角仪AD和BE的高度为1.5米，∠CDE＝53°，∠CED＝45°；
问题解决：求郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面AB的距离．（结果保留整数．参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.33）
（1）根据上述方案及数据，请你完成求解过程；
（2）你认为在本次方案的实行过程中，该小组成员应该注意的事项有哪些（写出一条即可）．
4．数学活动课上，老师让同学们借助太阳光线，分组测量塔AB高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：选择其中一个小组方案，求出塔高；若认为两个方案均不可行，则说明理由．
小天组：采用在同一时刻棍影和塔影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻木棍CD与塔影一端重合在点M，测得棍影CM为1米；第二次测量另一时刻棍影EN与塔影BN一端重合在点N，测得EN＝1.5米，木棍移动距离CE＝12米．
图1 图2
小河组：采用固定木棍分次测量方式．如图2所示，第一次测量在某一时刻，标记塔影BE的位置并测量出棍影QG长为1.5米．第二次测量在某一时刻，标记塔影BF的位置并测量出棍影QH长为2米，两次塔影顶端EF的距离为12.4米．
（注：图中箭头表示太阳光线，同一时刻太阳光可视为平行光）
5．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．
【问题解决】为了测量学校旗杆的高度AB，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下：如图2，首先，小芳在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行1.8米到D处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像，此时测得小芳眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小明在F处竖立了一根高1.6米的标杆FG，发现地面上的点H，标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.4米，DF为3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B，C，D，F，H在一条直线上．
（1）直接写出ABBC= ；
（2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆AB的高度．
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6．雨后的夜晚，小明和小彬漫步游览太原迎泽大桥，并尝试测量了迎泽大桥上中华灯最顶端灯泡距地面的高度．如图，点B为中华灯最顶端灯泡的位置，当小明直立在点C处时，恰好从他前方小水坑的点E处看到路灯点B的倒影，此时小彬测得水坑点E到小明的距离EC＝2 m，到路灯杆底端的距离EA＝17 m，小明眼睛距离地面的高度DC＝1.6 m．
（1）请你利用以上数据求出中华灯最顶端灯泡B距地面AC的高度；
（2）测量完成后，小明进行了反思，发现误差较大．为了提高测量的准确性，你认为采用上述方法测量时，应注意什么？
7．根据以下素材，探索完成目标．
素材1：如图1是某地风力发电设备，其示意图如图2所示，三个长度相等的叶片OA，OB，OC均匀地分布在支点O上，塔架OH垂直水平地面MN．
素材2：一综合实践小组，为测量该风力发电设备塔架OH和叶片OA的长，设计如下的方案：借助太阳光线，某时刻，用1米长的米尺垂直地面MN，在地面上的影子长是34米，此时，测得塔架OH的影子长是63米，三个叶片在旋转一周的过程中（时间忽略不计），测得三个叶片的影子PQ最长是45米．
目标1：根据该小组的方案，求出塔架OH的高度；
目标2：计算叶片端点A离地面的最近距离．
图1 图2
8．如图，是位于校园内的旗杆，在学习了“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度AB，有以下两种方案：
方案一：如图1，在距离旗杆底B点30 m远的D处竖立一根高2 m的标杆CD，小丽在F处站立，她的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离EF＝1.5 m，DF＝1.5 m，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，点F，D，B在同一直线上．
方案二：如图2，小颖拿着一根长为16 cm的木棒CD站在离旗杆30 m的地方（即点E到AB的距离为30 m）．他把手臂向前伸，木棒竖直，CD∥AB，当木棒两端恰好遮住旗杆（即E，C，A在一条直线上，E，D，B在一条直线上），已知点E到木棒CD的距离为40 cm．
请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度AB．
参考答案
1．解：（1）由题意得，BG=DE=CF=1.5米，EF=CD=6米，∠AGF=90°，
设AG=x米，
在Rt△AGE中，tan∠AEG=AGEG，
∴EG=AGtan∠AEG=xtan45°=x米，
在Rt△AGF中，tan∠AFG=AGFG，
∴FG=AGtan∠AFG=xtan31°≈1.67x米，- PAGE \* MERGEFORMAT 1-
∵FG−EG=EF，
∴1.67x−x=6，解得x≈8.96，
∴AB=AG+BG=8.96+1.5≈10.5米，
答：青岩古镇城门楼AB的高度为10.5米；
（2）原因可能是：城门楼的底部不能到达，无法测量出影子顶端到城门楼的底部的距离．
2．解：（1）由题意得：ABBC=EDDF，
∴AB2.5=127.5，解得AB＝4，
∴小树AB的高度为4米；
（2）由题意得：CD＝BM＝1.6米，CM＝BD＝4.2米，CM⊥AB，
在Rt△ACM中，∠ACM＝30°，
∴AM＝CM·tan30°＝4.2×33=1.43（米），
∴AB＝AM+BM＝1.43+1.6≈4（米），
∴小树AB的高度约为4米．
3．解：（1）如解图，过点C作CG⊥DE，并延长CG交AB于点H，
由题意得AD＝GH＝EB＝1.5米，AB＝DE＝260米，
设DG＝x米，
在Rt△CDG中，∠CDG＝53°，
∴CG＝DG·tan53°≈1.33x（米），
在Rt△CGE中，∠CEG＝45°，
∴EG=CGtan45°=1.33x（米），
∵DG+GE＝DE，
∴x+1.33x＝260，解得x≈111.6，
∴CH＝CG+GH＝1.33x+1.5≈150（米），
∴郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面AB的距离约为150米；
（2）我认为在本次方案的实行过程中，该小组成员应该注意的事项是：使用测角仪测量时，要与地面垂直．
4．解：小天组：由题意得∠ABM＝∠DCM＝∠FEN＝90°，∴CD∥AB∥EF，
∴△MCD∽△MBA，△NEF∽△NBA，
∴ABCD=BMCM，ABEF=BNNE，
∵CD＝CM＝EF＝1米，NE＝1.5米，CE＝12米，
∴EM＝CE﹣CM＝11米，
∴AB1=BM1，AB1=BM+EM+NENE，
∴AB＝BM，
∴AB1=AB+11+1515，即1.5AB＝AB+12.5，
∴AB＝25米；
小河组：由题意得HP∥AF，PG∥AE，
∴∠PHQ＝∠AFB，∠PGQ＝∠AEB，
∵∠PQH＝∠ABE＝90°，
∴△PGQ∽△AEB，△PHQ∽△AFB，
∴PQAB=GQBE，HQBF=PQAB，
∴GQBE=HQBF，∴GQBE=HQBE+EF，
∵GQ＝1.5米，HQ＝2米，EF＝124米，
∴15BE=2BE+124，∴BE＝37.2米，
∵PQ＝1米，∴1AB=1.537.2，
∴AB＝24.8米，与25米非常接近，可视作测量或记录误差所致，
综上，两种方案都能得到合理结果，塔AB高度约为25米．
5．解：（1）56；
（2）由题意可得：AB∥FG，
∴△HFG∽△HBA，
∴FGAB=FHBH，
∴1.6AB=2.42.4+3+1.8+65AB，
∴AB＝24（米），
答：学校旗杆AB的高度为24米．
6．解：（1）由题意得，∠C＝∠A＝90°，∠CED＝∠AEB，
∴△CED∽△AEB，
∴DCBA=ECEA，
∴1.6BA=217，
解得BA＝13.6 m，
答：灯泡B距地面AC的高度为13.6 m；
应注意点C，E，A必须在同一条直线上（答案不唯一）．
7．解：（1）∵同一时刻，太阳光下物体的高度与该物体的影长成正比，
∴63OH=341=34，
∴OH＝84，
答：塔架OH的高度为84米；
（2）由题意得：OA＝OB，∠AOB＝360°÷3＝120°，
如解图，连接AB，过点P作PE∥AB交BQ于点E，
∵AP∥BQ，
∴四边形ABEP为平行四边形，
∴AB＝PE，
∵在太阳光下，PE的影子是PQ，
∴三个叶片在旋转一周的过程中，当AB垂直于太阳光线BQ时，PE最长，从而影子PQ最长，
由题意得tan∠EQP=PEEQ=34，
设PE＝4x米，EQ＝3x米，在Rt△PEQ中，由勾股定理得PQ＝5x＝45，
∴x＝9，∴AB＝PE＝36米，
作OR⊥AB于点R，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴AR=12AB＝18，∠AOR=12∠AOB＝60°，
∴OA=ARsin60°=123（米），
∴叶片端点A离地面的最近距离为（84－123）米．
8．解：若选择方案一：
如解图，过点EH⊥AB，垂足为H，交CD于点G，
由题意得：EH⊥CD，EF＝DG＝BH＝1.5 m，FD＝EG＝1.5 m，
EH＝BF＝FD+DB＝1.5+30＝31.5（m），
∴CG＝CD－DG＝2－1.5＝0.5（m），∠CGE＝∠AHE＝90°，
∵∠CEG＝AEH，∴△CEG∽△AEH，
∴CGAH=EGEH，即 0.5AH=1.531.5，
∴AH＝10.5，
∴AB＝AH+BH＝10.5+1.5＝12（米），
答：旗杆的高度AB为12米；
若选择方案二：
如解图，过点E作EH⊥AB，垂足为H，交CD于点G，则∠AHE＝90°，
∵CD∥AB，∴∠CGE＝∠AHE＝90°，
∴EH⊥CD，
由题意得：CD＝16 cm＝0.16（m），EG＝40 cm＝0.4（m），EH＝30（m），
∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，
∴CDAB=EGEH，
即 0.16AB=0.430，∴AB＝12，
答：旗杆的高度AB为12米．