商丘市2026年高三3月份模拟考试数学试题（含答案解析）

这是一份商丘市2026年高三3月份模拟考试数学试题（含答案解析），文件包含2025届浙江省绍兴市高三下学期4月二模生物试题pdf、参考答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，则=（ ）
A．B．
C．D．
2．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）
A．1．1B．1C．2．9D．2．8
3．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知锐角满足则（ ）
A．B．C．D．
5．已知集合，则集合的非空子集个数是（ ）
A．2B．3C．7D．8
6．已知函数．若存在实数，且，使得，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，平面ABCD，ABCD为正方形，且，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知复数z满足,则在复平面上对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．已知，，分别是三个内角，，的对边，，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
11．设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如果函数（,且,）在区间上单调递减,那么的最大值为__________．
14．已知，，且，则最小值为__________．
15．曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．
16．设集合，（其中e是自然对数的底数），且，则满足条件的实数a的个数为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和为，且点在函数的图像上；
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足：，，求的通项公式；
（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
18．（12分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
（Ⅲ）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
19．（12分）已知函数，曲线在点处的切线在y轴上的截距为.
（1）求a；
（2）讨论函数和的单调性；
（3）设，求证：.
20．（12分）如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
21．（12分）已知椭圆 的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线 垂直，垂足为B，且点A是线段BF的中点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线 交于点Q，且,求点P的坐标.
22．（10分）已知为坐标原点，点，，，动点满足，点为线段的中点，抛物线：上点的纵坐标为，.
（1）求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程；
（2）若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
先计算集合，再计算，最后计算．
【详解】
解：
，
，
．
故选：．
本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题．
2．C
【解析】
根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题.
【详解】
初始值，
第一次循环：，；
第二次循环：，；
第三次循环：，；
第四次循环：，；
第五次循环：，；
第六次循环：，；
第七次循环：，；
第九次循环：，；
第十次循环：，；
所以输出.
故选：C
本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.
3．C
【解析】
将函数解析式化简，并求得，根据当时可得的值域；由函数在上单调递减可得的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得的取值范围.
【详解】
依题意
，
则，
当时，，故函数在上单调递增，
当时，；
而函数在上单调递减，
故，
则只需，
故，解得，
故实数的取值范围为.
故选：C.
本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题.
4．C
【解析】
利用代入计算即可.
【详解】
由已知，，因为锐角，所以，，
即.
故选：C.
本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.
5．C
【解析】
先确定集合中元素，可得非空子集个数．
【详解】
由题意，共3个元素，其子集个数为，非空子集有7个．
故选：C．
本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有个元素的集合其子集个数为，非空子集有个．
6．D
【解析】
首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.
【详解】
，令，得，．
其单调性及极值情况如下：
若存在，使得，
则（如图1）或（如图2）．
（图1）
（图2）
于是可得，
故选：D.
该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.
7．C
【解析】
分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值.
【详解】
由题可知，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设.则.
故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.
故选：C
本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．A
【解析】
设，由得：，由复数相等可得的值，进而求出，即可得解.
【详解】
设，由得：，即，
由复数相等可得：，解之得：，则，所以，在复平面对应的点的坐标为，在第一象限.
故选：A.
本题考查共轭复数的求法，考查对复数相等的理解，考查复数在复平面对应的点，考查运算能力，属于常考题.
9．C
【解析】
原式由正弦定理化简得，由于，可求的值.
【详解】
解：由及正弦定理得.
因为，所以代入上式化简得.
由于，所以.
又，故.
故选：C.
本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.
10．C
【解析】
建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，进而得到最大值.
【详解】
以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，
设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆；
根据三角形面积公式得到，
可得到内切圆的半径为
可得到点的坐标为：

故得到
故得到
，
故最大值为：2.
故答案为C.
这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
11．B
【解析】
画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.
【详解】
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：，，故，且.
故.
故选：.
本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.
12．B
【解析】
求出在的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案.
【详解】
当时，，，
，又，所以至少小于7，此时，
令，得，解得或，结合图象，故.
故选：B.
本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．18
【解析】
根据函数单调性的性质,分一次函数和一元二次函数的对称性和单调区间的关系建立不等式,利用基本不等式求解即可.
【详解】
解:①当时, ,
在区间上单调递减,
则,即,
则.
②当时, ,
函数开口向上,对称轴为,
因为在区间上单调递减,
则,
因为,则,
整理得,
又因为,
则.所以
即,
所以
当且仅当时等号成立.
综上所述,的最大值为18.
故答案为:18
本题主要考查一次函数与二次函数的单调性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.
14．
【解析】
首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.
【详解】
，
结合可知原式，
且
，
当且仅当时等号成立.
即最小值为.
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
15．.
【解析】
先利用导数求切线的斜率，再写出切线方程.
【详解】
因为y′＝－5e－5x，所以切线的斜率k＝－5e0＝－5，所以切线方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3.
故答案为y＝－5x＋3.
(1)本题主要考查导数的几何意义和函数的求导，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是
16．
【解析】
可看出，这样根据即可得出，从而得出满足条件的实数的个数为1．
【详解】
解：，
或，
在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，
由图可知与无交点， 无解，则满足条件的实数的个数为．
故答案为：．
考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及知道方程无解，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）当n为偶数时，；当n为奇数时，.（3）
【解析】
（1）根据,讨论与两种情况,即可求得数列的通项公式;
（2）由（1）利用递推公式及累加法,即可求得当n为奇数或偶数时的通项公式.也可利用数学归纳法,先猜想出通项公式,再用数学归纳法证明.
（3）分类讨论,当n为奇数或偶数时,分别求得的最大值,即可求得的取值范围.
【详解】
（1）由题意可知,.
当时,,
当时,也满足上式.
所以.
（2）解法一：由（1）可知,
即.
当时,,①
当时,,所以,②
当时,,③
当时,,所以,④
……
当时,n为偶数
当时,n为偶数所以
以上个式子相加,得
.
又,所以当n为偶数时,.
同理,当n为奇数时,
,
所以,当n为奇数时,.
解法二：
猜测：当n为奇数时,
.
猜测：当n为偶数时,
.
以下用数学归纳法证明：
,命题成立；
假设当时,命题成立；
当n为奇数时,,
当时,n为偶数,由得
故,时,命题也成立.
综上可知, 当n为奇数时
同理,当n为偶数时,命题仍成立.
（3）由（2）可知.
①当n为偶数时,,
所以随n的增大而减小从而当n为偶数时,的最大值是.
②当n为奇数时,,
所以随n的增大而增大,且.
综上,的最大值是1.
因此,若对于任意的,不等式恒成立,只需,
故实数的取值范围是.
本题考查了累加法求数列通项公式的应用,分类讨论奇偶项的通项公式及求和方法,数学归纳法证明数列的应用,数列的单调性及参数的取值范围,属于难题.
18．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；
（Ⅱ）结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可；
（Ⅲ）求出满足的成绩有16个，求出满足条件的概率即可．
【详解】
解：（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件，
由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，
所以所求概率约为
（Ⅱ）设从图中考核成绩满足的学生中任取2人，
至少有一人考核成绩优秀为事件，
因为表中成绩在的6人中有2个人考核为优，
所以基本事件空间包含15个基本事件，事件包含9个基本事件，
所以
（Ⅲ）根据表格中的数据，满足的成绩有16个，
所以
所以可以认为此次冰雪培训活动有效．
本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题．
19．（1） （2）为减函数，为增函数. （3）证明见解析
【解析】
（1）求出导函数，求出切线方程，令得切线的纵截距，可得（必须利用函数的单调性求解）；
（2）求函数的导数，由导数的正负确定单调性；
（3）不等式变形为，由递减，得()，即，即，依次放缩，．
不等式，递增得()，,,,先证，然后同样放缩得出结论．
【详解】
解：（1）对求导，得.
因此.又因为，
所以曲线在点处的切线方程为
，
即.
由题意，.
显然，适合上式.
令，
求导得，
因此为增函数：故是唯一解.
（2）由（1）可知，，
因为，
所以为减函数.
因为，
所以为增函数.
（3）证明：由，易得.
由（2）可知，在上为减函数.
因此，当时，，即.
令，得，即.
因此，当时，.
所以成立.
下面证明：.
由（2）可知，在上为增函数.
因此，当时，，
即.
因此，
即.
令，得，
即.
当时，
.
因为，
所以，所以.
所以，当时，
.
所以，当时，成立.
综上所述，当时，成立.
本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．本题中不等式的证明，考查了转化与化归的能力，把不等式变形后利用第（2）小题函数的单调性得出数列的不等关系：，．这是最关键的一步．然后一步一步放缩即可证明．本题属于困难题．
20．（1）见解析（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）先由平面几何知识证明，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得平面，则，再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．
试题解析：证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.
又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.
（2）因为平面ABD⊥平面BCD，
平面平面BCD=BD，
平面BCD，，
所以平面.
因为平面，所以 .
又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，
所以AD⊥平面ABC，
又因为AC平面ABC，
所以AD⊥AC.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
21．（I）．
（II）
【解析】
（I）写出坐标，利用直线与直线垂直，得到.求出点的坐标代入，可得到的一个关系式，由此求得和的值，进而求得椭圆方程.（II）设出点的坐标，由此写出直线的方程，从而求得点的坐标，代入，化简可求得点的坐标.
【详解】
（I）∵椭圆的左焦点，上顶点，直线AF与直线垂直
∴直线AF的斜率，即 ①
又点A是线段BF的中点
∴点的坐标为
又点在直线上
∴ ②
∴由①②得：
∴
∴椭圆的方程为．
（II）设
由（I）易得顶点M、N的坐标为
∴直线MP的方程是：
由 得：
又点P在椭圆上，故
∴
∴
∴或（舍）
∴
∴点P的坐标为
本小题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查两直线垂直的条件，考查向量数量积的运算.属于中档题.在解题过程中，首先阅读清楚题意，题目所叙述的坐标、所叙述的直线是怎么得到的，向量的数量积对应的坐标都有哪一些，应该怎么得到，这些在读题的时候需要分析清楚.
22．（1）曲线的标准方程为.抛物线的标准方程为.（2）见解析
【解析】
（1）由题知|PF1|+|PF2|2|F1F2|，判断动点P的轨迹W是椭圆，写出椭圆的标准方程，根据平面向量数量积运算和点A在抛物线上求出抛物线C的标准方程；（2）设出点P的坐标，再表示出点N和Q的坐标，根据题意求出的值，即可判断结果是否成立．
【详解】
（1）由题知，，
所以 ，
因此动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
又知，，
所以曲线的标准方程为.
又由题知，
所以 ，
所以，
又因为点在抛物线上，所以，
所以抛物线的标准方程为.
（2）设，，
由题知，所以，即，
所以 ，
又因为，，
所以，
所以为定值，且定值为1.
本题考查了圆锥曲线的定义与性质的应用问题，考查抛物线的几何性质及点在曲线上的代换，也考查了推理与运算能力，是中档题．
x
0
+
0
_
0
+
极大值
极小值