河南省商丘市等2地2023届高三三模数学（理）试题（含解析）

这是一份河南省商丘市等2地2023届高三三模数学（理）试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省商丘市等2地2023届高三三模数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．集合，，则（    ）
A． B． C． D．
2．复数纯虚数，则实数a的值为（    ）
A． B． C．4 D．1
3．已知，，若，则向量的夹角的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
4．某小学从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1人，且至少有1位语文教师入选，则不同安排方法有（    ）种．
A．16 B．20 C．96 D．120
5．已知函数，则下列结论正确的是（    ）
A．在处得到极大值 B．在处得到极大值
C．在处得到极小值 D．在处得到极小值
6．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（    ）
  
A． B． C． D．
7．已知的展开式中的系数为，则实数（    ）
A．2 B． C．1 D．
8．已知函数的定义域为R，，，当时，，则的值为（    ）
A． B． C．1 D．2
9．函数的图象关于直线对称，则在上的最小值为（    ）
A． B． C． D．
10．设正方体的棱长为1，点E是棱的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：
  
①如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为；
②如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；
③如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；
④如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为．
其中正确的命题个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知函数，若恒成立，则的最大值是（    ）
A． B．1 C．2 D．
12．已知抛物线的准线为，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于，两点，点P在l上的射影为，则下列结论错误的是（    ）
A．若，则
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设，则
D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条

二、填空题
13．设函数 ．
14．我们通常称离心率为的双曲线为“黄金双曲线”，写出一个焦点在x轴上，对称中心为坐标原点的“黄金双曲线”C的标准方程 ．

三、双空题
15．在平面曲线中，曲率（curvature）是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，如图，圆、、在点Q处的弯曲程度依次增大，而直线在点Q处的弯曲程度最小，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率，则余弦曲线在处的曲率为 ；正弦曲线曲率K的平方的最大值为 ．
    

四、填空题
16．已知数列的前项和为，，，则数列的通项 ．

五、解答题
17．如图，四棱锥中，四边形为梯形，∥，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．
    
(1)求证：直线∥平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
18．某班从6名男生和4名女生中，随机抽取5人组成数学兴趣小组，另5人组成物理兴趣小组．
(1)求数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a的概率；
(2)用X表示物理兴趣小组中的女生人数，求X的分布列与数学期望．
19．在中，内角A，B，C对应的边分别为，，都是整数．
(1)求；
(2)若的中点为，求．
20．如图，椭圆的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上．
  
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．
21．已知函数，，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：对任意的，恒成立．
22．在直角坐标系中，直线l过点，倾斜角为，曲线C的直角坐标方程为．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出直线l的一个参数方程，求曲线C的极坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，若，求的值．
23．已知函数，．
(1)求函数的最小值；
(2)设，求证：．

参考答案：
1．B
【分析】解出二元一次方程，根据交集的运算法则求解即可.
【详解】由题，解，得或，所以，则可得，
故选：B.
2．C
【分析】利用复数的除法化简复数，根据纯虚数定义列方程求参数即可.
【详解】为纯虚数，
所以，故.
故选：C
3．B
【分析】根据向量垂直及数量积的运算律有，应用数量积、模长坐标运算得方程求参数，再由向量夹角公式求余弦值.
【详解】由题意，故，
所以，故，
由.
故选：B
4．C
【分析】利用间接法可求出结果.
【详解】从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1人，有种，
其中没有语文教师入选的有种，
所以满足条件的不同安排方法有种.
故选：C
5．C
【分析】利用导数求函数极值即可.
【详解】由，且，
所以时，递减，时，递增，
所以在处得到极小值.
故选：C
6．D
【分析】由题意可知组合体的体积是一个圆锥体积的二倍，内切球的球心为，半径为点到的距离，从而可求出球的半径，进而可求出球的体积，则可得答案
【详解】由题意可得，
因为上下两个圆锥大小相同，所以组合体内切球的球心为，半径等于点到的距离，设半径为，则
，
所以，
所以，
故选：D
7．C
【分析】根据的展开式的通项公式求出的系数和的系数，再结合题意列式可求出.
【详解】的展开式中的系数为，的系数为，
所以的展开式中的系数为，
依题意得，得.
故选：C
8．C
【分析】根据题设函数关系推得是周期为4的奇函数，再由，结合解析式求值即可.
【详解】由得：，又，
所以，则，即，
所以，即是周期为4的奇函数，
由.
故选：C
9．A
【分析】根据参数范围、对称轴求得，利用正弦型函数性质求最小值即可.
【详解】由题意，则，又，
所以，则，
在上，，故，
所以最小值为.
故选：A
10．C
【分析】由正方体性质得面，根据线面垂直的判定定理、性质定理证面，确定轨迹图形判断①；若分别为中点，连接，根据线面平行、面面平行的判定证面面，确定轨迹图形判断②；若分别为的中点，连接，同②方式证面面，确定轨迹图形判断③；若分别是的中点，并依次连接，先证面面，结合①得面，确定轨迹图形判断④.
【详解】由面，而面，则，又，
又，面，则面，
由面，则，同理，
，面，则面，
所以垂直于面所有直线，且面，
若，则在边长为的正△的边上，
故轨迹图形面积为，①对；
  
若分别为中点，连接，
由正方体的性质易得，，
所以共面，且为平行四边形，故面即为面，
由面，面，则面，
同理可得面，，面，
所以面面，要使∥平面，则在△的边上，
所以轨迹长为，②错；
  
若分别为的中点，连接，显然，
所以共面，即面，
由，面，面，则面，
又，同理可得面，，面，
所以面面，故面内任意直线都与面平行，
要使∥平面，则在四边形的边上运动，
此时轨迹长为，③对；
  
若分别是的中点，并依次连接，
易知为正六边形，显然，，
由面，面，则面，同理可得面，
，面，所以面面，
由面，则面，故垂直于面所有直线，
要使，则在边长为的正六边形边上运动，
所以轨迹图形面积为，④对；
  
故选：C
11．B
【分析】根据题意，转化为恒成立，令，求得，得出函数的单调性与最小值，转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】因为函数，当时，函数为单调递减函数，为单调递增函数，显然不能恒成立，所以，
由恒成立，即恒成立，即恒成立，
令，可得，
令，即，可得，即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
所以，
则，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，函数取得最大值，最大值为，所以，
即的最大值为.
故选：B.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
12．D
【分析】根据准线求得抛物线方程，焦点弦公式判断A；求出线段的中点坐标及圆的半径，从而判断B；根据抛物线的定义得判断C；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断D.
【详解】由抛物线的准线为，则，故，
由题意，故A正确；
拋物线的准线，且，以为直径的圆的半径，
线段的中点坐标为，则线段的中点到准线的距离为，
所以为直径的圆与准线相切，故B正确；
拋物线的焦点为，则，
当且仅当三点共线时，取等号，所以，故C正确；
当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消得，
当时，方程得解为，此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则，解得，
综上，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误.
故选：D
  
13．
【分析】利用分段函数的解析式求出和再相加可得结果.
【详解】，
，
，
.
故答案为：.
14．（答案不唯一）
【分析】根据已知离心率，结合焦点、对称中心位置写出一个满足条件的双曲线标准方程即可.
【详解】由，又，且，
不妨令，则，
焦点在x轴上，对称中心为原点的“黄金双曲线”C的标准方程为.
故答案为：（答案不唯一）
15．
【分析】先对求导，根据曲率定义求处曲率；对求导，结合曲率定义可得，结合三角函数性质、换元法，并应用导数求其最大值.
【详解】由，，则，
所以在处的曲率为，
由，，则
所以，令，则，
令，则，即递增，
所以，即的最大值为1.
故答案为：1；1
16．
【分析】构造并证其为等差数列，写出通项公式，应用求数列通项公式即可.
【详解】由，而，故是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，则，
又且，显然也满足上式，
所以.
故答案为：
17．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由M，N分别是PD，PB的中点可得∥，进而可证直线∥平面；
（2）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求平面与平面得法向量，进而求出，则平面与平面夹角的余弦值可得.
【详解】（1）连接BD，M，N分别是PD，PB的中点．
∥
又平面，平面
直线∥平面
（2），，
,
,
两两之间互相垂直
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系  
    
,,,,
又M，N分别是PD，PB的中点．
，
,，
设平面的法向量为
可得
解得令可得法向量
,，
平面
为平面得法向量

令平面与平面夹角为且为锐角

平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1).
(2)分布列见解析，.

【分析】（1）根据排列组合知识以及古典概型的概率公式可求出结果；
（2）根据题意求出的所有可能取值以及取每个值对应的概率，可得分布列，再根据数学期望公式可得数学期望.
【详解】（1）从6名男生和4名女生中，随机抽取5人组成数学兴趣小组，另5人组成物理兴趣小组，共有种，
其中数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a的有种，
所以所求概率为.
（2）的所有可能取值为，
，，
，，
，
所以的分布列为：

0
1
2
3
4






.
19．(1)
(2)

【分析】（1）由且均为整数，可得，故可得答案；
（2）结合（1）的结果，根据，均为整数，可确定，进而求得，然后利用正弦定理即可表示边，在中由余弦定理表示出,即可求得答案.
【详解】（1）在中，且均为整数，则,
若，因为，且在上单调递增，
故此时，又因为为最小角，则B,C都大于，与 矛盾，
所以，即
（2）由（1）知，故，
则，即，
即
因为且均为整数，
则，此时不符合题意；
或，此时符合题意；
故,为锐角，
又因为和
故解得 ,
由正弦定理得： ，
即，，
    
所以在中，的中点为D ，故，
由余弦定理得，
，
则 ，
故
20．(1)；
(2)存在定点使为定值，理由见解析.

【分析】（1）根据离心率，椭圆上点及参数关系列方程组求，即可得椭圆方程；
（2）根据题意设，，联立椭圆方程求坐标，判断直线过定点，结合于确定轨迹，进而可得定点使得为定值.
【详解】（1）由题意，可得，则椭圆方程为；
（2）若直线斜率为，则直线斜率为，而，
所以，，
联立与椭圆，则，整理得，
所以，则，故，
联立与椭圆，则，整理得，
所以，则，故，
综上，，
，
当，即时，，
此时，
所以，即直线过定点；
当，即时，
若，则且，且，故直线过定点；
若，则且，且，故直线过定点；
综上，直线过定点，又于，
易知轨迹是以为直径的圆上，故的中点到的距离为定值，
所以，所求定点T为.
  
【点睛】关键点点睛：第二问，设直线，联立椭圆，结合韦达定理求点坐标，再写出直线方程判断其过定点是关键.
21．(1)答案见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）分类讨论参数，结合导数研究函数的单调性即可；
（2）问题化为，构造、，应用导数求出它们在上的最值，比较大小即可证结论.
【详解】（1）由且，
若，则恒成立，即在上单调递增；
若，则上，单调递减，上，单调递增，
综上，，在上单调递增；，上递单调减，上单调递增.
（2）要证任意的，，即证，只需，
令且，则，，
所以，即上单调递增，，即上单调递减，
所以；
令且，则，
显然，则有上单调递减，有上单调递增，
所以；
而，即成立，
所以，任意的，得证.
【点睛】关键点点睛：第二问，将问题化为，构造函数研究最值并比较大小即可.
22．(1)l为且，C极坐标方程为，
(2)或

【分析】（1）根据直线所过点及倾斜角写出一个参数方程即可，应用公式法求抛物线极坐标方程；
（2）将直线参数方程代入，令表示分别到的距离，结合韦达定理和弦长列方程求的值．
【详解】（1）由题设，直线l的一个参数方程为且，（为参数），
由公式法知：C的极坐标方程为，即.
（2）将代入，则，
所以，则，
由是的焦点坐标，令表示该点分别到的距离，
则，则，
所以，则，故，又，
所以，则或.
23．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）写出分段函数形式，分析、的性质及最值，即可确定最小值；
（2）利用分析法，将问题化为证明，进一步转化为证即可.
【详解】（1）由题设，而在、、上均能取到最小值，
对于在上递减，上为常数，上递增，且连续，
所以的最小值在上取得，即时，最小值为.
（2）由，仅当取等号，
要证，即证，则，
需证，而，即，
所以恒成立，故得证.