2021届辽宁省铁岭市六校高三下学期数学一模试卷及答案

这是一份2021届辽宁省铁岭市六校高三下学期数学一模试卷及答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期数学一模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，且 、 都是全集 〔 为实数集〕的子集，那么如下列图韦恩图中阴影局部所表示的集合为〔    〕．

A.              B. 或

             C.              D. 



2. 为虚数单位，复数 是纯虚数，那么 〔    〕．
A.                                           B. 4                                          C. 3                                          D. 2



3. 是两条不同直线， 是三个不同平面，以下命题中正确的选项是〔    〕
A. 假设 那么                                        B. 假设 那么
C. 假设 那么                                       D. 假设 那么
4.假设 ，“ 〞是“函数 在 上有极值〞的〔    〕．
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件

             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件



5.蹴鞠〔如下列图〕，2006年5月20日，已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．某鞠〔球〕的外表上有四个点 、 、 、 ，且球心 在 上， ， ， ，那么该鞠〔球〕的外表积为〔    〕．

A. 5π                                      B.                                       C. 9π                                      D. 14π



6.假设关于 的方程 有两个不相等的实数根，那么实数 的取值范围是〔    〕．
A.               B. 

              C.               D. 



7. 是 上的奇函数， ， ，那么数列 的一个通项公式为〔    〕．
A.                      B.                      C.                      D. 



8.如图在底圆半径和高均为 的圆锥中， 、 是过底圆圆 的两条互相垂直的直径， 是母线 的中点，过 与 的平面与圆锥侧面的交线是以 为顶点的抛物线的一局部，那么该抛物线的焦点到圆锥顶点 的距离等于〔    〕．

A.                                        B. 1                                       C.                                        D. 



二、多项选择题
9.函数 的局部自变量、函数值如下表所示，以下结论正确的选项是〔    〕．







0

π

2π

2
5



A. 函数解析式为


B. 函数 图象的一条对称轴为


C. 是函数 图象的一个对称中心


D. 函数 的图象左平移 个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数



错误的为〔    〕．
A.  ， 且 与 的夹角为锐角，那么实数 的取值范围是


B. 向量 ， 不能作为平面内所有向量的一组基底


C. 非零向量 ， ，满足 且 与 同向，那么


D. 非零向量 和 ，满足 ，那么 与 的夹角为30°



11. ，且 ，那么〔    〕．
A.                     B. 

                    C.                     D. 



12.设数列 满足 ， 对 恒成立，那么以下说法正确的选项是〔    〕．
A.                    B. 是递增数列

                   C.                    D. 



三、填空题
13.函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，且曲线 在点 处的切线斜率为4，那么 ________．
14.某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有________种〔用数字作答〕．
15.双曲线与椭圆 有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为 ，那么此双曲线方程为________.
16.赵先生准备通过某银行贷款5000元，然后通过分期付款的方式还款．银行与赵先生约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为0.5%，那么赵先生每个月所要还款的钱数为________元．〔精确到0.01元，参考数据 〕
四、解答题
17.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，假设 ，_________，求A和C．
18.如下列图的多面体中， 平面 ， 平面 ， ，且 ， ， ， ．
 
〔1〕求直线 与平面 所成角的正弦值；
〔2〕求证： 平面 ；
〔3〕求二面角 的余弦值．
19.数列 的前 项和为 ，且 ， ．数列 是公差大于0的等差数列， ，且 ， ， 成等比数例．
〔1〕求数列 和 的通项公式；
〔2〕假设 ，求 ．
20.某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在 分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如下列图：

将分数不低于750分的学生称为“高分选手〞．
〔参考公式： ，期中 〕
















〔1〕求 的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；
〔2〕现采用分层抽样的方式从分数落在 ， 内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手〞的学生人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望；
〔3〕假设样本中属于“高分选手〞的女生有10人，完成以下 列联表，并判断是否有97.5%％的把握认为该校学生属于“高分选手〞与“性别〞有关？
 
属于“高分选手〞
不属于“高分选手〞
合计
男生
 
 
 
女生
 
 
 
合计
 
 
 
21.椭圆方程 ，直线 与 轴相交于点 ，过右焦点 的直线与椭圆交于 ， 两点．

〔1〕假设过点 的直线 与 垂直，且与直线 交于点 ，线段 中点为 ，求证： ．
〔2〕设 点的坐标为 ，直线 与直线 交于点 ，试问 是否垂直 ，假设是，写出证明过程，假设不是，请说明理由．
22.函数 ， 为自然对数的底数．
〔1〕讨论 的单调性；
〔2〕当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由韦恩图可知：阴影局部表示 ，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为：C.

【分析】根据题意由集合的韦恩图示结合补集和交集的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】由 为纯虚数，
∴ ，解得： ，那么 ，
故答案为：C ．

【分析】根据题意由复数代数形式的运算性质整理再由复数的定义即可得出答案。
3.【解析】【解答】A项， 可能相交或异面,当 时，存在 ， ，A项错误；
B项， 可能相交或垂直,当  时，存在 ， ，B项错误；
C项， 可能相交或垂直,当  时，存在，C项错误；
D项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，D项正确,故答案为：D.
【分析】利用条件结合线线平行的判断方法、面面平行的判定定理，从而推出命题正确的选项。
4.【解析】【解答】由题意，函数 ，那么 ，
令 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 处取得极小值，
假设函数 在 上有极值，那么 ，解得 ．
因此“ 〞是“函数 在 上有极值〞的充分不必要条件．
故答案为：A．

【分析】首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可求出函数的极值，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
5.【解析】【解答】如下列图：

在 中，因为 ， ，
所以 ，即 ，
在 中， ，
所以 ，即 是等腰三角形，
过点P作 ，那么BD=AD= ,
因为 ，
所以 ， ，
又球心 在 上，故PC为球O的直径，
所以 ， ，
即 ，解得 ，
所以该球的外表积是 .
故答案为：C ．

【分析】根据题意作出辅助线由中点的性质结合勾股定理代入数值计算出AB的值，再由三角形中的几何关系计算出正切值，由此即可求出球的半径，再把数值代入到球的外表积计算出答案即可。
6.【解析】【解答】方程 ，即为 ，
因为方程 有两个不相等的实数根，
所以函数 与 的图象有两不同的交点，
在同一坐标系中作出函数 与 的图象如下列图：

由图象知：当直线 过点 时， ，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故答案为：D ．

【分析】根据题意由条件即可得出方程 有两个不相等的实数根即函数 与 的图象有两不同的交点，从而作出图像由数形结合法即可得出m的取值范围。
7.【解析】【解答】由题 是 上的奇函数，
故 ，
代入得： ，
∴函数 关于点 对称，
令 ，
那么 ，
得到 ，
∵ ，
，
倒序相加可得 ，
即 ，
故答案为：A．

【分析】 由题意首先确定函数的对称性，然后利用倒序相加的方法即可确定数列的通项公式．
8.【解析】【解答】如下列图，过点 做 ，垂足为 ．

∵ 是母线 的中点，圆锥的底面半径和高均为 ，
∴ ．∴ ．
在平面 内建立直角坐标系如图．

设抛物线的方程为 ， 为抛物线的焦点．
，所以 ，解得 ，
即 ， ， ，
该抛物线的焦点 到圆锥顶点 的距离为 ，
故答案为：A

【分析】根据题意由条件建立直角坐标系设出抛物线的方程，由此求出焦点的坐标结合两点间的距离公式计算出距离即可。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】由表格可知， ， 函数的最大值是5，所以 ，即 ，
当 时，函数取得最小值，
最小值点和相邻的零点间的距离是 ，所以 ，
当 时， ，解得： ， ，
，所以函数 ，A符合题意；
B.当 时， ，能使函数取得最小值，所以 是函数的一条对称轴，B符合题意；
C.当 时， ，此时 ，所以 是函数的一个对称中心，C不正确；
D.函数向左平移 个单位后，再向下平移2个单位后，得 ，函数是奇函数，D符合题意.
故答案为：ABD

【分析】 根据表格中的数据，结合题意求出B、A和T、ω、φ的值，写出f〔x〕的解析式，再判断选项中的命题是否正确．
10.【解析】【解答】解：对于 ， 与 的夹角为锐角，
，
且 时 与 的夹角为 ，所以 且 ，故 错误；
对于B ， 向量 ，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B符合题意；
向量是有方向的量，不能比较大小，C不符合题意；
对于 ．因为 ，两边平方得， ，
那么 ， ，
故 ，
而向量的夹角范围为 ， ，
得 与 的夹角为 ，故 项正确．
故错误的选项为AC．
故答案为：AC．

【分析】 利用斜率的数量积，求解实数λ的取值范围判断A；判断斜率是否共线，判断B；利用向量的定义判断C；利用向量的平行四边形法那么判断D即可．
11.【解析】【解答】对于A中，由 ，且 ，可得 ， ，
由对数函数性质可知 ， 为单调减函数，
因为 ， ， ，所以 ，所以A符合题意；
对于B中，由 ， ，
可得 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，因为 ，所以B不符合题意；
对于C中，由 ， ，
因为指数函数性质可知 ， 都是单调递减函数， ，
所以 ，所以C符合题意；
对于D中，令 ，是单调递增函数，因为 ，所以D符合题意．
故答案为：ACD ．

【分析】 由a＞b＞0，且a+b=1可得0＜b＜a＜1，根据对数函数的性质即可判断A，利用根本不等式性质可判断B，根据指数函数幂函数的单调性可判断C，利用函数单调性可判断D．
12.【解析】【解答】由 ， ，
设 ，那么 ，
所以当 时， ，即 在 上为单调递增函数，
所以函数 在 为单调递增函数，
即 ，
即 ，
所以 ，即 ，那么 ，A符合题意；
由 在 上为单调递增函数， ， 所以 是递增数列，B符合题意；
∵ ，所以 ，C不符合题意；
因此 ， ，D符合题意．
故答案为：ABD ．

【分析】 构造函数f〔x〕=x+ln〔2-x〕，利用导数研究函数的单调性，从而确定f〔x〕的取值范围，由此对四个选项逐一分析判断即可。
三、填空题
13.【解析】【解答】当 时，那么 ，
∴ ，此时 ．
所以，当 时， ，那么 ，解得 ．
故答案为：-3．

【分析】 由奇函数的定义，求得x＞0时，f〔x〕的解析式，再由导数的几何意义，求得f′〔1〕，解方程可得所求值．
14.【解析】【解答】先选出学生选报的社团，共有 种选法，再把这3名同学分配到这两个社团，共有 ，故恰有2个社团没有同学选报数有36．
【分析】 根据题意，分3步进行分析：①，先在4个社团中任选2个，有学生报名，②、将3名学生分为2组，③，进而将2组全排列，对应2个社团，分别求出每一步的情况数列，由分步计数原理计算可得答案．
15.【解析】【解答】由题意椭圆焦点为 ，∴ ，
设双曲线方程为 ( )，那么 ，由 ，解得 ．
∴双曲线方程为 ．
故答案为： ．

【分析】 利用椭圆的焦点坐标求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线方程，转化求解a，b，得到双曲线方程即可．
16.【解析】【解答】设每一期所还款数为 元，
因为贷款的月利率为0.5%，
所以每期所还款本金依次为 、 、 、 、 ，
那么 ，
即 ，
，
，
，小明每个月所要还款约 元，
故答案为：430.33.

【分析】根据题意解条件代入数值计算出结果即可。
四、解答题
17.【解析】【分析】 假设选①，由正弦定理，余弦定理可求cosA的值，结合范围A∈〔0，π〕，可求A的值，利用正弦定理和三角函数的恒等变化可得C的值；
假设选②，由正弦定理化简等式，结合sinB≠0，利用三角函数恒等变换，结合范围0＜A＜π，可求A的值，利用正弦定理和三角函数的恒等变化可得C的值；
假设选③，由正弦定理化简等式，结合sinB≠0，利用三角函数恒等变换的应用利用正弦定理和三角函数的恒等变化可得C的值即可．
18.【解析】【分析】(1)首先由线面垂直的性质定理即可得出 为直线 与平面 所成角的平面角，由三角形中的几何关系计算出答案即可。
(2)根据题意由勾股定理代入数值计算出垂直关系，再由线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(3)由(2)的结论建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角 的余弦值即可。
19.【解析】【分析】(1)根据题意由数列前n项和公式与项之间的关系即可得出数列的通项公式，由此即可得出数列为等比数列从而求出数列的通项公式，代入数值计算出各个项由此得出公差的值，从而得到等差数列的通项公式。
(2)结合题意由错位相减法代入数值计算出结果即可。
20.【解析】【分析】(1) 由条件结合平均数、中位数以及众数的公式代入数值计算出结果即可。
(2)由题意，从[550, 650 )中抽取7人，从[750 , 850 )中抽取3人，随机变量X服从超几何分布，确定X的取值，求对应概率即可得到分布列，求出期望即可；
(3)由题可知，样本中男生40人，女生60人属于“高消费群〞的25人，其中女生10人，列出列联表计算出K2=5.024查临界值表判断即可.
21.【解析】【分析】(1)根据椭圆的方程求出焦点的坐标，结合条件即可求出点P的坐标，由斜截式求出直线的方程，代入数值计算出点M的坐标由此求出直线的方程，由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，进而得到中点的坐标再由斜率的公式计算出结果即可。
(2) 〔ⅰ〕当直线 的斜率为0时，点 即为点 ，从而 ．〔ⅱ〕当直线 的斜率不为0时，由(1)的结论结合两点式即可求出直线的方程，代入数值计算出点E的坐标由此即可得出垂直关系。
22.【解析】【分析】 〔1〕根据题意求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
〔2〕问题转化为ex+ax+ln〔x+1〕-1≥0，令g〔x〕=ex+ax+ln〔x+1〕-1，求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可．