2026届安顺市高三第三次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2026届安顺市高三第三次模拟考试数学试卷（含答案解析），共3页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，集合，则，已知等边△ABC内接于圆，在中，，，，若，则实数等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则“直线与直线垂直”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．函数的图像大致为（ ）.
A．B．
C．D．
3．若，则下列关系式正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1B．2C．3D．4
4．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于( )
A．B．C．D．
5．集合，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（ ）
A．B．1C．D．2
7．在中，，，，若，则实数( )
A．B．C．D．
8．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为( )
A．2B．C．D．
10．已知实数，，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．已知定义在R上的偶函数满足，当时，，函数（），则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）
A．2B．4C．5D．6
12．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．2C．3D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设实数x，y满足，则点表示的区域面积为______.
14．已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为，此时点，，，在同一个球面上，则该球的表面积为________.
15．已知，如果函数有三个零点，则实数的取值范围是____________
16．在的展开式中，的系数等于__．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：.
18．（12分）已知动圆经过点，且动圆被轴截得的弦长为，记圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的标准方程；
（2）设点的横坐标为，，为圆与曲线的公共点，若直线的斜率，且，求的值．
19．（12分）设函数.
（1）时，求的单调区间；
（2）当时，设的最小值为，若恒成立，求实数t的取值范围.
20．（12分）某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为，并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：），得到下面的频数表：
以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长.
（1）试估计的值；
（2）设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.
①求的数学期望和方差；
②若随机变量满足，则认为.假设当时，灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为整数）.
附：
①某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商；
②若，则，，.
21．（12分）函数，且恒成立.
（1）求实数的集合；
（2）当时，判断图象与图象的交点个数，并证明.
（参考数据：）
22．（10分）已知集合，.
（1）若，则；
（2）若，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
由两直线垂直求得则或，再根据充要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由题意，“直线与直线垂直”
则，解得或，
所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故选B.
本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
2．A
【解析】
本题采用排除法:
由排除选项D；
根据特殊值排除选项C;
由,且无限接近于0时, 排除选项B；
【详解】
对于选项D:由题意可得, 令函数 ,
则,;
即.故选项D排除;
对于选项C：因为,故选项C排除;
对于选项B:当,且无限接近于0时,接近于,，此时.故选项B排除;
故选项:A
本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
3．D
【解析】
a，b可看成是与和交点的横坐标，画出图象，数形结合处理.
【详解】
令，，
作出图象如图，
由，的图象可知，
，，②正确；
，，有，①正确；
，，有，③正确；
，，有，④正确.
故选：D.
本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.
4．B
【解析】
由于直线的斜率k,所以一条渐近线的斜率为，即，所以，选B.
5．D
【解析】
利用交集的定义直接计算即可.
【详解】
，故，
故选：D.
本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.
6．D
【解析】
如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.
【详解】
如图所示建立直角坐标系，则，，，设，
则
.
当，即时等号成立.
故选：.
本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.
7．D
【解析】
将、用、表示，再代入中计算即可.
【详解】
由，知为的重心，
所以，又，
所以，
，所以，.
故选：D
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
8．B
【解析】
由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得．
【详解】
解：由等差数列的性质可得，解得，
，
故选：B．
本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．
9．C
【解析】
利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.
【详解】
由已知，双曲线的渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离等于1，即，
所以，.
故选：C.
本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.
10．D
【解析】
根据题意，对于函数分2段分析：当，由指数函数的性质分析可得①，当，由导数与函数单调性的关系可得，在上恒成立，变形可得②，再结合函数的单调性，分析可得③，联立三个式子，分析可得答案.
【详解】
解：根据题意，函数在上单调递增，
当，若为增函数，则①，
当，
若为增函数，必有在上恒成立，
变形可得：，
又由，可得在上单调递减，则，
若在上恒成立，则有②，
若函数在上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，
则需有，③
联立①②③可得：.
故选：D.
本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.
11．B
【解析】
由函数的性质可得：的图像关于直线对称且关于轴对称，函数（）的图像也关于对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线对称，则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.
【详解】
由偶函数满足，
可得的图像关于直线对称且关于轴对称，
函数（）的图像也关于对称，
函数的图像与函数（）的图像的位置关系如图所示，
可知两个图像有四个交点，且两两关于直线对称，
则与的图像所有交点的横坐标之和为4.
故选：B
本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.
12．A
【解析】
由奇函数定义求出和．
【详解】
因为是定义在上的奇函数，.又当时，，.
故选：A．
本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
先画出满足条件的平面区域，求出交点坐标，利用定积分即可求解.
【详解】
画出实数x，y满足表示的平面区域，如图（阴影部分）：
则阴影部分的面积，
故答案为：
本题考查了定积分求曲边梯形的面积，考查了微积分基本定理，属于基础题.
14．
【解析】
分别取，的中点，，连接，由图形的对称性可知球心必在的延长线上，设球心为，半径为，，由勾股定理可得、，再根据球的面积公式计算可得；
【详解】
如图，分别取，的中点，，连接，
则易得，，，，
由图形的对称性可知球心必在的延长线上，
设球心为，半径为，，可得，解得，.
故该球的表面积为.
故答案为：
本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题.
15．
【解析】
首先把零点问题转化为方程问题，等价于有三个零点，两侧开方，可得，即有三个零点，再运用函数的单调性结合最值即可求出参数的取值范围.
【详解】
若函数有三个零点，即零点有，显然，则有，可得，即有三个零点，不妨令，对于，函数单调递增，，，所以函数在区间上只有一解，对于函数，，解得，，解得，，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，当时，，当时，，此时函数若有两个零点，则有，综上可知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是.
故答案为：
本题考查了函数零点的零点，恰当的开方，转化为函数有零点问题，注意恰有三个零点条件的应用，根据函数的最值求解参数的范围，属于难题.
16．7
【解析】
由题，得，令，即可得到本题答案.
【详解】
由题，得，
令，得x的系数.
故答案为：7
本题主要考查二项式定理的应用，属基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）求导得，分类讨论和，利用导数研究含参数的函数单调性；
（2）根据（1）中求得的的单调性，得出在处取得最大值为，构造函数，利用导数，推出，即可证明不等式.
【详解】
解：（1）由于，得，
当时，，此时在上递增；
当时，由，解得，
若，则，
若，，
此时在递增，在上递减.
（2）由（1）知在处取得最大值为：
，
设，则，
令，则，
则在单调递减，∴，
即，则在单调递减
∴，
∴，
∴.
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论和构造新函数，通过导数证明不等式，考查转化思想和计算能力.
18．见解析
【解析】
（1）设，则点到轴的距离为，
因为圆被轴截得的弦长为，所以，
又，所以，
化简可得，所以曲线的标准方程为．
（2）设，，
因为直线的斜率，所以可设直线的方程为，
由及，消去可得，所以，，
所以．
设线段的中点为，点的纵坐标为，则，，
所以直线的斜率为，所以，所以，
所以．
易得圆心到直线的距离，
由圆经过点，可得，
所以，整理可得，
解得或，所以或，
又，所以．
19．（1）的增区间为，减区间为；（2）.
【解析】
（1）求出函数的导数，由于参数的范围对导数的符号有影响，对参数分类，再研究函数的单调区间；
（2）由（1）的结论，求出的表达式，由于恒成立，故求出的最大值，即得实数的取值范围的左端点．
【详解】
解：（1）解：，
当时，，解得的增区间为，
解得的减区间为.
（2）解：若，由得，由得，
所以函数的减区间为，增区间为；
，
因为，所以，，
令，则恒成立，
由于，
当时，，故函数在上是减函数，
所以成立；
当时，若则，故函数在上是增函数，
即对时，，与题意不符；
综上，为所求．
本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，求解本题关键是根据导数研究出函数的单调性，由最值的定义得出函数的最值，本题中第一小题是求出函数的单调区间，第二小题是一个求函数的最值的问题，此类题运算量较大，转化灵活，解题时极易因为变形与运算出错，故做题时要认真仔细．
20．（1）
（2）①，,②72
【解析】
（1）将每组数据的组中值乘以对应的频率，然后再将结果相加即可得到亮灯时长的平均数，将此平均数除以（个小时），即可得到的估计值；
（2）①利用二项分布的均值与方差的计算公式进行求解；
②先根据条件计算出的取值范围，然后根据并结合正态分布概率的对称性，求解出在满足取值范围下对应的概率.
【详解】
（1）平均时间为（分钟）
∴
（2）①∵，
∴，
②∵，，∴
∵，，
∴
∴
即最佳时间长度为72分钟.
本题考查根据频数分布表求解平均数、几何概型（长度模型）、二项分布的均值与方差、正态分布的概率计算，属于综合性问题，难度一般.（1）如果，则；（2）计算正态分布中的概率，一定要活用正态分布图象的对称性对应概率的对称性.
21．（1）；（2）2个，证明见解析
【解析】
（1）要恒成立，只要的最小值大于或等于零即可，所以只要讨论求解看是否有最小值；
（2）将图像与图像的交点个数转化为方程实数解的个数问题，然后构造函数，再利用导数讨论此函数零点的个数.
【详解】
（1）的定义域为，因为，
1°当时，在上单调递减，时，使得，与条件矛盾；
2°当时，由，得；由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，即有，由恒成立，所以恒成立，令，
若；
若；而时，，要使恒成立，
故.
（2）原问题转化为方程实根个数问题，
当时，图象与图象有且仅有2个交点，理由如下：
由，即，令，
因为，所以是的一根；，
1°当时，，
所以在上单调递减，，即在上无实根；
2°当时，，
则在上单调递递增，又，
所以在上有唯一实根，且满足，
①当时，在上单调递减，此时在上无实根；
②当时，在上单调递增，
，故在上有唯一实根.
3°当时，由（1）知，在上单调递增，
所以，
故，所以在上无实根.
综合1°，2°，3°，故有两个实根，即图象与图象有且仅有2个交点.
此题考查不等式恒成立问题、函数与方程的转化思想，考查导数的运用，属于较难题.
22．（1）；（2）
【解析】
（1）将代入可得集合B，解对数不等式可得集合A，由并集运算即可得解.
（2）由可知B为A的子集，即；当符合题意，当B不为空集时，由不等式关系即可求得的取值范围.
【详解】
（1）若，则，
依题意，
故；
（2）因为，故；
若，即时，，符合题意；
若，即时，，
解得；
综上所述，实数的取值范围为.
本题考查了集合的并集运算，由集合的包含关系求参数的取值范围，注意讨论集合是否为空集的情况，属于基础题.
亮灯时长/
频数
10
20
40
20
10