山东省东营市2025-2026学年高三第四次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份山东省东营市2025-2026学年高三第四次模拟考试数学试卷（含答案解析），共3页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，空间点到平面的距离定义如下，已知，，，若，则正数可以为，若函数满足，且，则的最小值是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等.记区域为不平等区域，表示其面积，为的面积，将称为基尼系数.
对于下列说法：
①越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有；
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则；
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则.
其中正确的是：
A．①④B．②③C．①③④D．①②④
2．已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．定义在R上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面，，两两互相垂直，点，点到，的距离都是3，点是上的动点，满足到的距离与到点的距离相等，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
5．已知，满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（ ）
A．4B．C．D．
6．已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）
①绕着轴上一点旋转;
②沿轴正方向平移;
③以轴为轴作轴对称;
④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A．①③B．③④C．②③D．②④
7．已知，，，若，则正数可以为（ ）
A．4B．23C．8D．17
8．过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点作准线的垂线，垂足为.若，则（ ）
A．B．C．D．
9．若函数满足，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
10．已知抛物线，F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．23B．25C．28D．29
12．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列中，为其前项和，，，则_________，_________.
14．设，若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是_____
15．函数的图象在处的切线与直线互相垂直,则_____．
16．在正方体中，已知点在直线上运动，则下列四个命题中：①三棱锥的体积不变；②；③当为中点时，二面角 的余弦值为；④若正方体的棱长为2，则的最小值为；其中说法正确的是____________（写出所有说法正确的编号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）若,且
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得？并说明理由.
18．（12分）设，，其中．
（1）当时，求的值；
（2）对，证明：恒为定值．
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（）.
（1）求抛物线C的极坐标方程；
（2）若抛物线C与直线l交于A，B两点，求的值.
20．（12分）已知函数的图象向左平移后与函数图象重合.
（1）求和的值；
（2）若函数，求的单调递增区间及图象的对称轴方程.
21．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F到准线的距离为3，抛物线E上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝1．线段AB的垂直平分线与x轴交于点 C．
（1）求抛物线E的方程；
（2）求△ABC面积的最大值．
22．（10分）在直角坐标系中，长为3的线段的两端点分别在轴、轴上滑动，点为线段上的点，且满足.记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若点为曲线上的两个动点，记，判断是否存在常数使得点到直线的距离为定值？若存在，求出常数的值和这个定值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
对于①，根据基尼系数公式，可得基尼系数越小，不平等区域的面积越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得，均有，可得，所以②错误.对于③，因为，所以，所以③错误.对于④，因为，所以，所以④正确.故选A．
2．B
【解析】
命题p：，为，又为真命题的充分不必要条件为，故
3．C
【解析】
先从函数单调性判断的取值范围，再通过题中所给的是正数这一条件和常用不等式方法来确定的取值范围.
【详解】
由的图象知函数在区间单调递增，而，故由可知.故，
又有，综上得的取值范围是.
故选：C
本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.
4．D
【解析】
建立平面直角坐标系，将问题转化为点的轨迹上的点到轴的距离的最小值，利用到轴的距离等于到点的距离得到点轨迹方程，得到，进而得到所求最小值.
【详解】
如图，原题等价于在直角坐标系中，点，是第一象限内的动点，满足到轴的距离等于点到点的距离，求点的轨迹上的点到轴的距离的最小值．
设，则，化简得：，
则，解得：，
即点的轨迹上的点到的距离的最小值是.
故选：.
本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.
5．D
【解析】
试题分析：先画出可行域如图：由，得，由，得，当直线过点时，目标函数取得最大值，最大值为3；当直线过点时，目标函数取得最小值，最小值为3a；由条件得，所以，故选D.
考点：线性规划.
6．D
【解析】
计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.
【详解】
，，，
当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；
，，
故，函数关于对称，故④正确；
根据图像知：①③不正确；
故选：.
本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.
7．C
【解析】
首先根据对数函数的性质求出的取值范围，再代入验证即可；
【详解】
解：∵，∴当时，满足，∴实数可以为8.
故选：C
本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.
8．C
【解析】
需结合抛物线第一定义和图形，得为等腰三角形，设准线与轴的交点为，过点作，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出，
，结合比值与正切二倍角公式化简即可
【详解】
如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知，
所以，，，，
所以.
故选：C
本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题
9．A
【解析】
由推导出，且，将所求代数式变形为，利用基本不等式求得的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值.
【详解】
函数满足，，即，
，，，即，
，则，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.
，
由于函数在区间上为增函数，
所以，当时，取得最小值.
故选：A.
本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.
10．A
【解析】
根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.
【详解】
由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则.
由得,则.
又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.
故选：A
本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.
11．D
【解析】
由可求，再求公差，再求解即可.
【详解】
解：是等差数列
，又，
公差为，
，
故选：D
考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.
12．B
【解析】
求出在的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案.
【详解】
当时，，，
，又，所以至少小于7，此时，
令，得，解得或，结合图象，故.
故选：B.
本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．8 （写为也得分）
【解析】
由，得，.当时，，所以，所以的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则，.
14．
【解析】
先求导数，求解导数为零的根，结合根的分布求解.
【详解】
因为，所以，令得，
因为函数有大于0的极值点，所以，即.
本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，极值点为导数的变号零点，侧重考查转化化归思想.
15．1.
【解析】
求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可．
【详解】
函数的图象在处的切线与直线垂直,
函数的图象在的切线斜率

本题正确结果：
本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．
16．①②④
【解析】
①∵，∴平面 ，得出上任意一点到平面的距离相等，所以判断命题①；
②由已知得出点P在面上的射影在上，根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理，可判断命题②；
③当为中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系，如下图所示，运用二面角的空间向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判断命题③；
④过作平面交于点，做点关于面对称的点，使得点在平面内，根据对称性和两点之间线段最短，可求得当点在点时，在一条直线上，取得最小值.可判断命题④.
【详解】
①∵，∴平面 ，所以上任意一点到平面的距离相等，所以三棱锥的体积不变，所以①正确；
②在直线上运动时，点P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以②正确；
③当为中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系，如下图所示，设正方体的棱长为2.
则:，，所以，
设面的法向量为，则，即，令，则，
设面的法向量为， ，即，
，由图示可知，二面角 是锐二面角，所以二面角的余弦值为，所以③不正确；
④过作平面交于点，做点关于面对称的点，使得点在平面内，
则，所以，当点在点时，在一条直线上，取得最小值.
因为正方体的棱长为2，所以设点的坐标为，，，所以，
所以，又所以，
所以，，，故④正确.
故答案为：①②④.
本题考查空间里的线线，线面，面面关系，几何体的体积，在求解空间里的两线段的和的最小值，仍可以运用对称的思想，两点之间线段最短进行求解，属于难度题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）不存在.
【解析】
（1）由已知，利用基本不等式的和积转化可求，利用基本不等式可将转化为，由不等式的传递性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值为，而，故不存在．
【详解】
（1）由，得，且当时取等号．
故，且当时取等号．
所以的最小值为；
（2）由（1）知，．
由于，从而不存在，使得成立．
【考点定位】
基本不等式．
18．（1）1（2）1
【解析】
分析：（1）当时可得，可得.（2）先得到关系式，累乘可得，从而可得，即为定值．
详解：（1）当时，，
又，
所以.
（2）



即，
由累乘可得，
又，
所以．
即恒为定值1．
点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的的定义，并结合组合数公式求解．由于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误．
19．（1）（2）
【解析】
(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式，,即可求得结果.
(2) 由的几何意义得,. 将代入抛物线C的方程,利用韦达定理，，即可求得结果.
【详解】
（1）因为，，
代入得，
所以抛物线C的极坐标方程为.
（2）将代入抛物线C的方程得，
所以，，
所以，
由的几何意义得，.
本题考查直角坐标和极坐标的转化,考查极坐标方程的综合应用,考查了学生综合分析,转化与划归,数学运算的能力,难度一般.
20．（1），；（2），，.
【解析】
（1）直接利用同角三角函数关系式的变换的应用求出结果．
（2）首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
【详解】
（1）由题意得，
，
（2）
由，解得，
所以对称轴为，.
由，
解得，
所以单调递增区间为.,
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
21．（1）y2＝6x（2）．
【解析】
（1）根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；
（2）根据中点坐标表示出|AB|和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值.
【详解】
（1）抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F（，0）到准线x的距离为3，可得p＝3，即有抛物线方程为y2＝6x；
（2）设线段AB的中点为M（x0，y0），则，
y0，kAB，
则线段AB的垂直平分线方程为y﹣y0（x﹣2），①
可得x＝5，y＝0是①的一个解，所以AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，
且点C（5，0），由①可得直线AB的方程为y﹣y0（x﹣2），即x（y﹣y0）+2 ②
代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02＝0 ③，
由题意y1，y2是方程③的两个实根，且y1≠y2，
所以△＝1y02﹣1（2y02﹣12）＝﹣1y02+18＞0，解得﹣2y0＜2，
|AB|
，
又C（5，0）到线段AB的距离h＝|CM|，
所以S△ABC|AB|h•
，
当且仅当9+y02＝21﹣2y02，即y0＝±，A（，），B（，），
或A（，），B（，）时等号成立，
所以S△ABC的最大值为．
此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程，根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值，表示三角形的面积关系常涉及韦达定理整体代入，抛物线中需要考虑设点坐标的技巧，处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式求最值.
22．（1）（2）存在；常数，定值
【解析】
（1）设出的坐标，利用以及，求得曲线的方程.
（2）当直线的斜率存在时，设出直线的方程，求得到直线的距离.联立直线的方程和曲线的方程，写出根与系数关系，结合以及为定值，求得的值.当直线的斜率不存在时，验证.由此得到存在常数，且定值.
【详解】
（1）解析：（1）设，，
由题可得
，解得
又，即，
消去得：
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
设，
由可得：
由点到的距离为定值可得（为常数）即
得：
即
，
又
为定值时，，此时，且符合
当直线的斜率不存在时，设直线方程为
由题可得，时，，经检验，符合条件
综上可知，存在常数，且定值
本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查椭圆中的定值问题，属于难题.