山东省东营市2025-2026学年高三六校第一次联考数学试卷（含答案解析）

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1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设是虚数单位，复数（ ）
A．B．C．D．
2．的展开式中，含项的系数为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．若函数的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
5．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（ ）
A．B．3C．D．2
6．设，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市月至月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）
A．1月至8月空气合格天数超过天的月份有个
B．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了
C．8月是空气质量最好的一个月
D．6月份的空气质量最差.
8．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
9．若（是虚数单位），则的值为（ ）
A．3B．5C．D．
10．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（ ）
附：若，则，.
A．0.6826B．0.8413C．0.8185D．0.9544
11．在中，D为的中点，E为上靠近点B的三等分点，且，相交于点P，则（ ）
A．B．
C．D．
12．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中含的系数为__________．（用数字填写答案）
14．函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____.
15．如图，在三棱锥中，平面，，已知，，则当最大时，三棱锥的体积为__________．
16．己知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，是与的等比中项.
（1）求；
（2）设数列满足，，求数列的通项公式.
18．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为.（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程及的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到距离的取值范围.
19．（12分）已知函数.
（1）设，若存在两个极值点，，且，求证：；
（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）.
20．（12分）已知是递增的等差数列，，是方程的根.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
21．（12分）在极坐标系中，已知曲线C的方程为（），直线l的方程为.设直线l与曲线C相交于A，B两点，且，求r的值.
22．（10分）已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
利用复数的除法运算，化简复数，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，复数，故选D．
本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
2．B
【解析】
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得含项的系数．
【详解】
的展开式通项为，
令，得，可得含项的系数为.
故选：B.
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
3．D
【解析】
由变形可得,可知函数在为增函数, 由恒成立,求解参数即可求得取值范围.
【详解】
,即函数在时是单调增函数.
则恒成立.
.
令,则
时,单调递减,时单调递增.
故选:D.
本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.
4．B
【解析】
因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；
对B满足函数定义，故符合；
对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；
对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．
故选B．
5．D
【解析】
根据抛物线的定义求得，由此求得的长.
【详解】
过作，垂足为，设与轴的交点为.根据抛物线的定义可知.由于，所以，所以，所以，所以.
故选：D
本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
6．D
【解析】
因为，，
所以且在上单调递减，且
所以，所以，
又因为，，所以，
所以.
故选：D.
本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“”比较大小.
7．D
【解析】
由图表可知月空气质量合格天气只有天，月份的空气质量最差．故本题答案选．
8．C
【解析】
套用命题的否定形式即可.
【详解】
命题“”的否定为“”，所以命题“”的否定为“”.
故选：C
本题考查全称命题的否定，属于基础题.
9．D
【解析】
直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.
【详解】
（是虚数单位）
可得
解得
本题正确选项：
本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.
10．C
【解析】
根据服从的正态分布可得，，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果.
【详解】
由题意，，，则，，
所以，.
故果实直径在内的概率为0.8185.
故选：C
本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.
11．B
【解析】
设，则，，
由B，P，D三点共线，C，P，E三点共线,可知，,解得即可得出结果.
【详解】
设，则，，
因为B，P，D三点共线，C，P，E三点共线，
所以，，所以，.
故选:B.
本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.
12．D
【解析】
先将化为，根据函数图像的平移原则，即可得出结果.
【详解】
因为，
所以只需将的图象向右平移个单位.
本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由题意得，二项式展开式的通项为，
令，则，所以得系数为．
14．
【解析】
对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解.
【详解】
由题：函数在区间内有且仅有两个零点，
，
等价于函数恰有两个公共点，
作出大致图象：
要有两个交点，即，
所以.
故答案为：
此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解.
15．4
【解析】
设，则，，，
，当且仅当，即时，等号成立.
,
故答案为4
16．
【解析】
先求导，再根据导数的几何意义，有求解.
【详解】
因为函数，
所以，
所以，
解得.
故答案为：
本题考查导数的几何意义，还考查运算求解能力以及数形结合思想，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据题意，建立首项和公差的方程组，通过基本量即可写出前项和；
（2）由（1）中所求，结合累加法求得.
【详解】
（1）由题意可得即
又因为，所以，所以.

（2）由条件及（1）可得.
由已知得，
所以
.
又满足上式，
所以
本题考查等差数列通项公式和前项和的基本量的求解，涉及利用累加法求通项公式，属综合基础题.
18．（1），.（2）
【解析】
（1）根据直线的参数方程为（为参数），消去参数，即可求得的的普通方程，曲线的极坐标方程为，利用极坐标化直角坐标的公式: ，即可求得答案；
（2）的标准方程为，圆心为，半径为，根据点到直线距离公式，即可求得答案.
【详解】
（1）直线的参数方程为（为参数），消去参数
的普通方程为.
曲线的极坐标方程为，
利用极坐标化直角坐标的公式:
的直角坐标方程为.
（2）的标准方程为，圆心为，半径为
圆心到的距离为，
点到的距离的取值范围是.
本题解题关键是掌握极坐标化直角坐标的公式和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）先求出，又由可判断出在上单调递减，故，令，记， 利用导数求出的最小值即可；
（2）由在上不单调转化为在上有解，可得，令，分类讨论求的最大值，再求解即可.
【详解】
（1）已知，
，
由可得，
又由,知
在上单调递减，
令，记，则
在上单调递增；
，在上单调递增；
，
（2），，
在上不单调，
在上有正有负，在上有解，
，，
恒成立，
记，则，
记，，
在上单调增，在上单调减.

于是知
（i）当即时，恒成立，在上单调增，
，
，.
（ii）当时，
，故不满足题意.
综上所述，
本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.
20．（1）;（2）.
【解析】
（1）方程的两根为，由题意得，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可求出．
【详解】
方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.
由题意得a2＝2，a4＝3.
设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而得a1＝.
所以{an}的通项公式为an＝n＋1.
（2）设的前n项和为Sn，
由（1）知＝，
则Sn＝＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减得
Sn＝＋－
＝＋－，
所以Sn＝2－.
考点：等差数列的性质；数列的求和．
【方法点晴】
本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为，由题意得，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．
21．
【解析】
先将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心到直线的距离，再由勾股定理，计算即得.
【详解】
以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，
可得曲线C：（）的直角坐标方程为，表示以原点为圆心，半径为r的圆.
由直线l的方程，化简得，
则直线l的直角坐标方程方程为.
记圆心到直线l的距离为d，则，
又，即，所以.
本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程，是基础题.
22．（1）（2）
【解析】
（1）先利用同角的三角函数关系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可；
（2）由（1）可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.
【详解】
解:（1）因为,
所以
又,故,
所以,
所以
（2）由（1）得,,,
所以,
所以,
因为且,
即,解得,
因为,所以,所以,
所以,
所以
本题考查已知三角函数值求值,考查三角函数的化简,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.