五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(北京专用)18：圆综合（教师版）

这是一份五年(2021-2025)中考数学真题分类汇编(北京专用)18：圆综合（教师版），共38页。
考点1 圆综合
考点1 圆综合
1．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)延长交的延长线于点E．若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)长为44．
【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明；
（2）延长交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长．
【详解】（1）证明：，分别切于A点，B点，
平分，
，
又，
，
．
（2）延长交于点F，连接，则，
，分别切于A点，B点，
C为的中点，
，
，
又，，
，
，
，，
，
，
又，
，
，，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．
2．（2024·北京·中考真题）如图，是的直径，点，在上，平分.

(1)求证：；
(2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，得，结合，得到，继而得到，根据平分，得到，继而得到，可证；
（2）不妨设，则，求得，证明，，求得，取的中点M，连接，则，求得，，结合切线性质，得到，解答即可.
【详解】（1）根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
不妨设，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得，
取的中点M，连接，
则
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
解得，
故半径的长为.

【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键.
3．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．

(1)求证平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，即平分．
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直径，
∴；
（2）解：∵，，
∴，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，则．
∵平分，
∴．
∵是直径，
∴，则．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直径，
∴此圆半径的长为．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．（2022·北京·中考真题）如图，是的直径，是的一条弦，连接
(1)求证：
(2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）设交于点，连接，证明 ，故可得 ，于是 ，即可得到；
（2）连接AD，解出，根据为直径得到，进而得到，即可证明，故可证明直线为的切线．
【详解】（1）证明：设交于点，连接，
由题可知，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：
连接，
，
，
同理可得：,，
∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
直线为的切线．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．
5．（2021·北京·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，于点．
（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．
【答案】（1）见详解；（2），
【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证；
（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得如图所示：
由（1）可得点E为BC的中点，
∵点O是BG的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
1．（2025·北京大兴·一模）如图，内接于，，过点作的切线交延长线于点，是的直径．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接并延长，交于点F，连接，利用切线的性质定理得到，利用圆周角定理得到，再利用平行线的判定定理解答即可；
（2）连接，过点C作于点F，利用平行线的性质和直角三角形的边角关系定理求得，利用圆周角定理，圆的切线的性质定理和矩形的判定与性质，正方形的判定与性质得到，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得，则结论可求．
【详解】（1）证明：连接并延长，交于点F，连接，如图，
则为的直径，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，过点C作于点F，如图，
∵，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，矩形与正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
2．（2025·北京丰台·一模）如图，，是的直径，点在上，连接交于点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)过点作的切线交的延长线于点．若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为．
【分析】（1）证明，利用垂径定理即可证明；
（2）设，则，，证明，推出，，求得，，得到，据此求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵，
∴设，则，，
∵是的切线，是的直径，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
即，，
∴，，
∴，
整理得，
解得，
∴，，
在中，由勾股定理得，
即，
整理得，
∵，
∴，
∴，即的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
3．（2025·北京东城·一模）如图，在中，为直径，为弦，，垂足为，过点作的切线，与的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径为2，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由于点，得，由切线的性质得，即可由，，且，证明；
（2）由的半径为2，得，因为，所以，由，求得，则．
【详解】（1）证明：，垂足为，
，
与相切于点，
，
，
，，且，
．
（2）解：的半径为2，，
，
，，
，
，
，
，
的长是．
【点睛】此题重点考查切线的性质、等角的余角相等、勾股定理、垂径定理、解直角三角形等知识，推导出，进而证明是解题的关键．
4．（2025·北京石景山·一模）如图，是的直径，点C在上，交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)过点B作交于点M．若，，求半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)20
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）延长交于F，先证明，，则可证明四边形是矩形，得到，再证明，推出，即可证明；
（2）先证明，得到，即，设，则，，解直角三角形得到；，则，由相似三角形的性质得到，由矩形的性质得到，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，延长交于F，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴；
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴半径的长为20．
5．（2025·北京顺义·一模）如图，是的直径，，交于点，过点作的切线交于点．
(1)求证：；
(2)过点作交的延长线于点．若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接，利用等腰三角形的性质得到，继而得到，根据切线的性质得到，得出，即可得到结论；
（2）连接，得到，继而得到，求出，．得到．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
．
，
．
．
．
．
是的切线，
．
．
．
．
（2）解：如图，连接．
是的直径，
．
∵，
是的中点．
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
6．（2025·北京朝阳·一模）如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求半径的长．
【答案】(1)是的切线
(2)1
【分析】（1）先利用圆周角定理证得，再根据平行线的性质，求得，然后利用切线的判定得出结论；
（2）先证明，再根据相似三角形的性质，列出比例式，设，接着用表示出，然后利用勾股定理求得，代入比例式中，求得，再利用线段的和求得，得到关于的方程，求出，最后求出．
【详解】（1）证明：如图，连接．
，
．
，
．
∵是半径，
是的切线．
（2）设与相交于点D．
，
．
∵，
．
，
，
．
，
．
设，则．
∴在中，．
．
．
．
，
，
．
．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用平行线的性质求角度，解题的关键是证明三角形相似，列出比例式求出待求线段的长．
7．（2025·北京西城·一模）如图，是的直径，点C在上，连接，作直线，交直线于点E，交的角平分线于点D，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)连接交于点F．若，，求的半径．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键．
（1）由角平分线的定义以及已知条件可证明可得，进而得到即可证明结论；
（2）如图：连接．易证可得、，进而得到，易证可得，则、、，根据特殊角的三角函数值可得，则，进而得到，然后求得即可解答．
【详解】（1）证明：∵平分，
．
，
．
．
，垂足是C，
．
．
∴半径．
∴是的切线．
（2）解：如图：连接．
．
，
．
．
，，
，
．
．
，
．
，
．
．
∴，
∴，
∴，
∴
∴，即的半径为．
8．（2025·北京平谷·一模）如图，为的直径，点为外一点，，连接交于点，连接，过作的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）由，得，由，得，所以，则；
（2）连接，作于点F，由为的直径，得，由，，且，得，，可求得，由，求得，则，可证明，则，所以．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：连接，作于点F，
则，
∵为的直径，
∴，
∵，，且，
∴，，
∴
∵
∴，
∴
∵与相切于点B，
∴于点B，
∴，
∵，
∴
则
∴的长为．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定、切线的性质、勾股定理、解直角三角形、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．（2025·北京房山·一模）如图，是直径，点D是上一点，是切线，连接交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
（1）切线的性质，得到，进而得到，圆周角定理结合已知条件推出，进而得到，即可；
（2）解，求出的长，进而求出的长，连接，圆周角定理得到，根据，求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵是切线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，则：，
∴，
∴．
10．（2025·北京通州·一模）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，连接，分别与交于点．

(1)求证：；
(2)过点作的切线交的延长线于点．若，求半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）证明和，得到，即可得到结论；
（2）证明，得到，设，得到，则，由即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵点是的中点，
，
．
∵，
．
，
．
（2）解：如图，

∵，
，
，
设，
∵是的直径，
，
∵，
于点，
，
是的中位线，
，
，
∵是的切线，
，
，
∵，
，
∴半径的长为3．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、三角形的中位线的性质等知识，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
11．（2025·北京海淀·一模）如图，在中，，以为直径作交于点D．点在线段上，．连接并延长交于．
(1)求证：；
(2)连接交于点．若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，设，先证明，然后根据垂直平分线的性质定理证明，再逐步求得，即得答案；
（2）连接，先证明，接着证明，即得和，从而可得，继续证明是等边三角形，最后利用直角三角形的性质，即可求得答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，设，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
由（1）可得，，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
即的半径为．
【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合性问题，垂直平分线的性质定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
12．（2025·北京·一模）如图，在△ABC中，，点D在AB上，以AD为直径作与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)若，，求的半径的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)5
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，平行线的判定和性质，三角函数比，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，并准确构造辅助线．
（1）利用圆的切线的性质得出，再结合条件得出，根据平行线的性质和等边对等角即可得出；
（2）连接，则，利用三角函数比和勾股定依次求出的长即可求得半径．
【详解】（1）证明:∵是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图所示，连接，则，
由（1）得，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，，
，
在中，，
，
在中，由勾股定理得：，
的半径长为5．
13．（2025·北京房山·二模）如图，已知为的外接圆，为的直径，是的中点，弦于点，是上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据题意可得，根据垂径定理可得进而可得，则；
（2）连接，证明得出，进而得出，根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵D是的中点，
∴，
∵且为的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，则，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
14．（2025·北京西城·二模）如图，为的外接圆，点为的中点，的切线交的延长线于点，交于点．连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）本题要证明，通过设，利用同弧所对圆心角是圆周角的两倍，得到 ．再根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和求出 ．由切线性质得到，进而得出的度数．最后结合已知，得出的度数，从而证明两角相等．
（2）求的长，先延长交于．根据点为的中点，利用垂径定理的推论得到，再通过证明得出 ．由得到，进而推出角相等关系．结合前面（1）中角的结论，得出 ，从而得到线段相等关系 ，最后根据，结合求出的长．
【详解】（1）证明：设，则，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴半径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：延长交于，则，
∵点为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的相关知识，包括同弧所对圆心角与圆周角的关系、切线的性质、垂径定理及其推论，以及等腰三角形的性质和全等三角形的判定．解题的关键在于利用圆的性质找出角之间的等量关系，通过角的关系推导线段的等量关系，进而求解问题．
15．（2025·北京海淀·二模）如图，为的切线，为切点，与交于点P，交于点．
(1)求证：；
(2)连接交于点．若的半径为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键；
（1）根据切线长定理得，根据平行线的性质即可得证；
（2）连接．由（1）可得，则，由可得则，勾股定理求得证明得出，根据，即可求解．
【详解】（1）证明：为的切线，
．
．
．
，
．
（2）解：如图，连接．
由（1）可得，
是的直径．
是的切线，
．
．
，
．
，
．
．
．
在中，，
．
在中，
由（1）可得，，
为的中点．
为的中点，
．
，
．
．
．
．
在中，，
．
16．（2025·北京大兴·二模）如图，是的直径，是上一点，过点作交于点D，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据圆周角定理和等角对等边可证．
（2）根据直径所对的圆周角为直角，切线的性质定理，可推出，，设，则，利用勾股定理可得，，，进而证明，即可得出．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
．
（2）解：连接，
为切线，是直径，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
是直径，
，
在中，，
，负值舍去
在中，，
，
解得：，负值舍去
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形，切线的性质定理，平行线的性质，等角对等边，勾股定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
17．（2025·北京石景山·二模）如图，四边形内接于，．
(1)求证：；
(2)作直径，交于点，连接，交于点．若，，．求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）结合圆内角四边形对角互补以及圆周角定理得，则，即可作答．
（2）根据，得．则，结合，，得，运用．，．根据，得，，再证明是等边三角形．得，在中，，运用勾股定理算出，即可作答．
【详解】（1）证明：∵四边形内接于，，
∴，．
∴．
∴；
（2）解：依题意，连接，，过点A作于点H．
∵，
∴．
∴
∵是直径，
∴．
∵，，
∴，．
∵，，
∴，．
∵在中，，
∴，，
∴，．
∵，
∴是等边三角形．
∴，
∵
∴，
在中，，
∴，．
∴．
【点睛】本题考查了圆内接四边形，平行线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
18．（2025·北京朝阳·二模）如图，为的直径，点，在上，平分，连接．
(1)求证：；
(2)过点作的切线，分别交，的延长线于点，，连接，交于点．若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（）利用圆周角定理和角平分线的定义可得，进而即可求证；
（）由切线的性质可得，由得，，即得，利用三角函数得，即得，设的半径为，由解得，即得，，进而得，，即可得，最后代入计算即可求解．
【详解】（1）证明：为上的点，
，
平分，
，
，
∴；
（2）解：如图，
与相切于点，
∴，
，
∵，
，，
，
，
∴在中，，
，
设的半径为，则，
解得，
∴，，
∴，
，
，
∵，
∴，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，平行线的判定，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，灵活运用以上知识点是解题的关键．
19．（2025·北京顺义·二模）如图，是的直径，点在上，．
(1)求证：；
(2)为中点，直线交于点，（点在点上方），连接，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查弦、弧、圆心角的关系，垂径定理，解直角三角形等知识，正确作辅助线是解答本题的关键．
（1）由，且，得，由得，则，推出，从而可得结论；
（2）连接，由是的直径，为的中点，根据垂径定理得出，则，可证明，由可求得，，则，，求得，，由可得结论．
【详解】（1）证明：∵，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵是的直径，为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴的长为．
20．（2025·北京密云·二模）如图，是的直径，点E在上，连接交于点F，连接交于点G，．
(1)求证：；
(2)过点D作的切线交的延长线于点H．若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明，得，得出，由圆周角定理得，从而可得结论；
（2）设，则，，证明，推出，，求得，即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∴，
又，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
设，则，，
∵是的切线，是的直径，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，，
即，，
∴，，
∴，
整理得，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
21．（2025·北京丰台·二模）如图，是的直径，点在上，于点，
(1)求证：；
(2)过点的切线交延长线于点．若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）垂径定理，得到，圆周角定理得到即可；
（2）垂径定理，得到，解，求出的长，设的半径为，在，勾股定理求出的值，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵于点是的半径，
∴．
∴．
（2）解：∵于点E，是的半径，，
∴，．
∵，，
∴．
在中，．
∴
设的半径为．
∴．
在中，．
∴．
∴．
∴．
∵是的切线，
∴．
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
22．（2025·北京昌平·二模）如图，在中，，过中点作与相切于点，交于点E，F，交于点M，N．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，．由圆切线的定义得出，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出．再由等腰三角形三线合一即可得出答案．
（2）过点作于点，连接．设的半径为，则．先由勾股定理定理得出，再由垂径定理得出，再根据矩形的判定和性质得出，再根据勾股定理得出，
再利用垂径定理求值即可．
【详解】（1）解：连接，．
与相切，
．
在中，，
．
．
（2）解：过点作于点，连接．
设的半径为，则．
，
．
在中，
，
．
．
解得：．
为的弦，
．
，
四边形为矩形．
．
在中，
，
．
．
【点睛】本题主要考查了圆切线的定义，垂径定理，三线合一，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是