山东省济宁市金乡县2025届九年级下学期中考二模数学试卷

这是一份山东省济宁市金乡县2025届九年级下学期中考二模数学试卷，共29页。试卷主要包含了如图①等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 8 页.满分 120 分.考试用时 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1．答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答
题卡和试卷规定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．非选择题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的
答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：（本大题共 10 个小题．每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．某同学去商场购买一种体育用品，他看到该体育用品的商
标如图所示．若这位同学任意买一只该种体育用品，则这
个体育用品最大质量可能是
A．2.76g B．2.72g
C．40.05mm D．39.95mm
2．随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出
行方式．下列图案是新能源汽车的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A． B． C． D．
3．1 月 29 号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截止 3 月 10 号全球累计票房已超过 149
亿元，目前位列全球影史票房第 6 名．其中 149 亿用科学记数法表示为
A．14.9×109 B．1.49×1010 C．1.49×109 D．0.149×1011
4．如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章
算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是
A． B．
九年级数学试题 第 1 页（共 8 页）
C． D．
5．如图，直线 a，b 分别经过 Rt△ABC（∠ACB=90°）的顶点 B，
C．若 a∥b，∠1=26°28′，则∠2 的大小为
A．63°32′ B．60°22′
C．53°32′ D．48°22′
6．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是
A．x2 －3x+1=x(x－3)+1 B．x2 －1=(x－1)2
C．x(x－2)=x2 －2x D．x2+x－6=(x+3)(x－2)
7．关于 x 的一元二次方程(m－1)x2 －2x+3=0 在实数范围内有实数根，则 m 的取值范围是
A．m≤ 且 m≠1 B．m≤ C．m≥ D．m≤ 且 m≠1
8．某小区有的护栏上有一块宣传版面（如图 1 所示），其形状是扇形的一部分．图 2 是
其平面示意图，AD和BC都是半径的一部分，测得∠ADC＝∠BCD＝120°，DC＝6cm，
AD＝BC＝5cm，则这块宣传版面的面积（单位：cm2）是
A． B． C． D．
图 1 图 2
第 8 题图 第 9 题图
9．某老板统计了自家经营的饭店“五一”期间 5 月 1 日至 5 月 5 日每天的用水量（单位：
吨），并绘制了日用水量折线统计图．则下列说法正确的是
①这 5 天用水量的平均数是 6； ②这 5 天用水量的众数是 7；
③这 5 天用水量的极差是 8； ④这 5 天用水量的中位数是 11；
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
10．干支纪年法是中国历法上的传统文化，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合
方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合（如对照表），60 年为
一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：
年份减 3，除以 10 所得的余数对应天干栏中的汉字即为天干；地支的计算方法是：
九年级数学试题 第 2 页（共 8 页）
年份减 3，除以 12 所得的余数对应地支栏中的汉字即为地支；属相的计算方法与地
支一致．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 …
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 …
属相 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 …
依据上述规律推断，2037 年为
A．戊酉鸡 B．丁巳蛇 C．丙申猴 D．己辰龙
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11．已知函数 y = ，则自变量 x 的取值范围是 ▲ ．
12．已知 b=ab－2a，且 a≠－b，则 的值为 ▲ ．
13．如图，△ABC 中，P 是 AB 上一点，连接 CP．请你补充一个条件 ▲ ，使△ABC∽△
ACP．
第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图
14．如图，Rt△AOB 中，∠AOB=90°，且点 A 在反比例函数 y = 的图象上，点 B 在反比
例函数 y = 的图象上．若 tanB = ，则 k 的值为 ▲ ．
15．如图，E 是矩形 ABCD 内部一动点，且 AB =AE =5，BC =6．在点 E 运动过程中，当
CE 所在直线与以点 B 为圆心，BE 的长为半径的圆相切时，设此时 BE = y，CE = x，
则代数式 的值是 ▲ ．
三、解答题：（本大题共 8 小题，共 75 分）
16．（本题 8 分）
（1）计算：2-1 － + ；
九年级数学试题 第 3 页（共 8 页）
（2）先化简，再求值： ，其中 a = ．
17．（本题 8 分）“少年自当扶摇上，揽星弦月逐日光”．值 2025 年学业水平考试临近，
某中学为减轻学生备考压力，让学生以轻松的姿态迎接学业水平考试，举行五一假期
研学游活动，选取了 A（微山湖），B（水泊梁山），C（金乡羊山），D（嘉祥武氏
祠）四个研学基地，参加活动的每名中学生必选取且只能选取其中一个研学基地．为
了解该校学生对四个基地的选取情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整
理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）在扇形统计图中，A 所在的扇形的圆心角的度数为 ▲ ，若该中学有 1000 名中学生
参加本次活动，则选择嘉祥武氏祠研学基地的学生大约有 ▲ 人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）甲、乙两位同学计划从 A，B，C，D 四个研学基地任意选择一个参加研学游活动，
请用列表法或画树状图的方法求两人恰好选取同一个研学基地的概率．
九年级数学试题 第 4 页（共 8 页）
18．（本题 8 分）如图，平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+1(k 0)的图象与反比例函数
y= (x＞0)的图象交于点 A(a，3)，与 x 轴交于点 B(－2，0)，与 y 轴交于点 C．
（1）尺规作图：作直线 OP，使 OP∥AB，与反比例函数图象在第一象限内交于点 P；（要
求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）求（1）中点 P 的坐标．
19．（本题 8 分）为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进
一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据素材，解答问题 1，2．
该学校决定购买排球和足球共 50 个，且购买足球的数量不少于排球的
素材 2 数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球给 7.5 折优惠，
足球给予 8 折优惠．
解决问题
问题 1 探求商品单价 请求出每个排球和足球的价格．
九年级数学试题 第 5 页（共 8 页）
素材 1
某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少 20 元，用 800 元购买的
排球数量与 1 000 元购买的足球数量相等．
问题 2 确定购买方案
运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用
最少的方案，并求出最少费用．
20．（本题 8 分）综合与实践
某同学学习完解直角三角形后，结合光的折射原理进行了如下探究活动．
【实验操作】
第一步，将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿 A 处投射到底部 B
处，入射光线与水槽内壁 AC 的夹角为∠A；
第二步，向水槽注水，水面上升到 AC 的中点 E 处时，停止注水．（直线 NN′为法线，
AO 为入射光线，OD 为折射光线．）
【测量数据】
如图，点 A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得 AC =20cm，∠A =45°，
折射角∠DON=32°．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求 BC 的长；
（2）求 B，D 之间的距离（结果精确到 0.1cm）．
（参考数据：sin32°≈0.53，cs32°≈0.85，tan32°≈0.62）
21．（本题 11 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点
D，过点 D 的直线 EF∥BC，分别交 AB，AC 的延长线于点 E，F．
（1）猜想直线 EF 与⊙O 的位置关系，并证明你的猜想；
（2）若 sin∠ABC = ，BE = 2，求 AC 的长．
九年级数学试题 第 6 页（共 8 页）
22．（本题共 12 分）抛物线 （a≠0，a，b 为实数）．
（1）当 a =1，b ≠0 时，抛物线的顶点恰好在直线 y1 = kx 上．
①求 k 的值；
②若抛物线与直线 y1 有两个交点，设两个交点分别为 A (x1，y1)，B (x2，y2)，求证：
；
（2）若 a＜0，b＞0，直线 与抛物线相交于 C ( ，p )和 D 两点，其中 p≠0．
当 1 ≤ x ≤ 3 时，求二次函数 的最大值．
九年级数学试题 第 7 页（共 8 页）
23．（本题共 12 分）
【经典再现】
人教（2013 年版）八年级数学下册教科书 69 页 14 题，原文如下：如图 1，四边形
ABCD 是正方形，E 是边 BC 的中点，∠AEF=90°且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F．
求证：AE=EF．（提示：取 AB 的中点 H，连接 HE．）
（1）请你写出证明过程；
【类比探究】
（2）将图 1 中的“四边形 ABCD 是正方形”换成“四边形 ABCD 是矩形，且 ”，
其它条件不变（如图 2 所示）．猜想 AE 与 EF 的数量关系，并证明你的猜想；
【综合应用】
（3）将图 2 中“ ”换成“ ”，其它条件不变，增加条件“P 为边 CD 上
一点，∠PAE=45°，PF= ”（如图 3 所示）．请你直接写出 BC 的长．
九年级数学试题 第 8 页（共 8 页）
2024—2025 学年度第二学期第二次模拟考试
九年级数学试题参考答案
一、选择题：每小题 3 分，满分 30 分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C A D A D C B
二、填空题：本题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分
11．x≤2； 12． ； 13． （答案不唯一）； 14．-9； 15． .
三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分
16．（8 分）（1）2-1 － + ；
= － + －1……………………3 分（每正确写出一个结果得 1 分）
=－ ．…………………………………………………………4 分
（2）解：
………………………………………………………5 分
……………………………………………………………6 分
.………………………………………………………………………7 分
当 时，原式 ．……………………………………8 分
17．（8 分）
（1）86.4°，160.……………………………2 分
（2）补图：如图所示. ………………………4 分
九年级二模数学答案第 1 页，共 2 页
（3）解：列表如下标：
乙
甲 A B C D
A （A,A） （A,B） （A,C） （A,D）
B （B,A） （B,B） （B,C） （B,D）
…………………………6 分
C （C,A） （C,B） （C,C） （C,D）
D （D,A） （D,B） （D,C） （D,D）
由列表可知，总共有 16 种等可能结果，两人恰好选取同一个研学地的结果有 4 种，
P= = .…………………………………………………8 分
18．（8 分）（1）作图：如图所示.
……………………………………2 分
（2）解：将点 代入 得， ，
解得： .………………………………………………3 分
一次函数关系式为 .………………………………4 分
将点 代入 ，得 .
解得： .
.……………………………………………………5 分
将 代入 ，得 ，
的值为 .………………………………………………6 分
一次函数关系式为 ， ，
直线 的函数关系式为 .
可联立方程组，得 .
九年级二模数学答案第 1 页，共 2 页
解得： ， (舍去)，………………………7 分
点 的坐标为 ．……………………………………8 分
19．（8 分）任务 1 解：设排球的单价为 x 元，则足球的单价是 元
根据题意，得 .……………………………………………1 分
解得 .………………………………………………………………2 分
经检验， 是原方程的根.…………………………………………3 分
足球的单价： .
答：每个排球 元，每个足球 元；…………………………………4 分
任务 2 解：设排球购买 m 个，则足球购买了 个，
根据题意得 .…………………………………………………5 分
解得 .……………………………………………………………6 分
设总费用为 w 元，根据题意，得
∴ .………………………7 分
∵－20＜0，所以 w 随 m 的增大而减小.
∴当 时，w 最小 元，
购买方案为： 个排球， 个足球时费用最小，最小费用为 元.……8 分
20．（8 分）（1）解：在 中， ，
∴∠ABC=45°.
∴ .………………4 分
（2）解：由题可知 ，
∴ .……………………………6 分
又∵ ，
（第 20 题）
∴ .………7 分∴
．……………………………8 分
九年级二模数学答案第 1 页，共 2 页
21．（11 分）（1）答：直线 是 的切线…………………………………1 分
证明：连接 ．
∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴∠OAD=∠DAC．
∴ ．…………………………………2 分
∴AC∥OD.
∴ ．…………………………………3 分
∵ 是 的直径，
∴ ．…………………………………4 分
∵EF∥BC，
∴ ．
∴ ．…………………………………5 分
即 ．
∴直线 是 的切线．…………………………6 分
（2）解：∵ ，
设 的半径为 r，则 ．………………………………7 分
∵EF∥BC，
∴ ．……………………………………………………8 分
∵ ，
在 Rt△OED 中， ．
即 ．………………………………………………………9 分
∴ ．
∴ ．…………………………………………………………10 分
∴ ．………………………………………11 分
九年级二模数学答案第 1 页，共 2 页
22．（1） 解：当 ， 时，
抛物线 的解析式为 .
当 时， .……………………1 分
抛物线的顶点坐标为 .………………………………………2 分
又 抛物线的顶点恰好在直线 上，
.
解得： .…………………………………………………………………3 分
证明：将 带入 ，
可得： .
又 ，
可得： .
整理得： .……………………………………………4 分
.
抛物线与 恒有两个交点.……………………………………………5 分
； .
.……………………………………………6 分
（2）解： 点 C( ，p)在抛物线和 上，
， .
可得： .…………………………………………7 分
解得： 或 ，
，
；…………………………………………………………………8 分
抛物线的解析式为 .
抛物线的对称轴 . ………………………………………9 分
九年级二模数学答案第 1 页，共 2 页
时，抛物线开口向下，
当 时，
解得： .
.
此时二次函数在 时的图象上， 随 的增大而增大.
在 时， 取得最大值为 ；…………………………………………10 分
当 时，
解得： .
此时二次函数在 时的图象上，当 时， 取得最大值 .………11 分
③当 时，
解得： ，
此时二次函数在 时的图象上， 随 的增大而减小，
当 时，y 取最大值为 ．………………………………………………12 分
综上所述：当 时最大值为 .
当 时，最大值为 .
当 时，最大值为 .……………………………………………………12 分
九年级二模数学答案第 1 页，共 2 页
23．（12 分）证明：（1）如图 1，
取 的中点 H，连接 ，
∵四边形是正方形，
∴， .
∵E 是 的中点，
∴ ………………………………1 分
∴ ，
∵∠B=90°，
∴ .
∵ ，
∴ .…………………………………………………2 分
∴ .
∴△AHE≌△ECF.………………………………………………………3 分
∴AE=EF.…………………………………………………………………4 分
（2）答：AE=3EF.……………………………………………………………………………5 分
证明：在 上截取 ，连接 ，
∵E 是 的中点，
∴ .
∵ ，
设 AB=4n，∴BC=2n.
∴BH=BE=CE=n.
∴AH=AB－BH=4n－n=3n.………………………………………………………6 分
由（1）可知： ， .
∴ .……………………………………………………………7 分
∴ .……………………………………………………………8 分
∴AE=3EF.………………………………………………………………………9 分
（3）BC=4.………………………………………………………………………………12 分
九年级二模数学答案第 1 页，共 2 页