2025年中考数学真题分类汇编26：相似三角形（13大考点，精选60题）（教师版）

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A．2B．3C．4D．6
【答案】D
【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据abc=bac=cab=2，可得a=2bc,b=2ac,c=2ab，从而得到a2=2abc,b2=2abc,c2=2abc，然后代入化简即可．
【详解】解：∵abc=bac=cab=2，
∴a=2bc,b=2ac,c=2ab，
∴a2=2abc,b2=2abc,c2=2abc，
∴a2+b2+c2abc=2abc+2abc+2abcabc=6abcabc=6．
故选：D
2．（2025·四川成都·中考真题）若ab=3，则a+bb的值为 ．
【答案】4
【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可．
【详解】解：∵ab=3，
∴a+bb=ab+1=3+1=4．
故答案为：4
考点2相似图形
3．（2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7cm和4cm，笔的实际长度为14cm，则该化石的实际长度为（ ）
A．2cmB．6cmC．8cmD．10cm
【答案】C
【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为xcm，根据题意得出714=4x，即可求解．
【详解】设该化石的实际长度为xcm，依题意，
714=4x，
解得：x=8
故选：C．
4．（2025·甘肃平凉·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知大、小风筝的对应边之比为3:1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为 cm．
【答案】195
【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为3:1，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3:1，
∴大风筝和小风筝相似，相似比为3:1，
∴大风筝两条对角线长:小风筝两条对角线长=3:1，
∴大风筝两条对角线的长分别为30cm×3=90cm和35cm×3=105cm，
∴大风筝两条对角线长的和为195cm，
故答案为：195．
考点3平行线分线段成比例
5．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片ABC（∠C=90°）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（ ）
A．MN∥DE∥PQ B．BC=2DE=4MN
C．AN=BQ=12NQD．MNDE=DEPQ=PQBC
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
由折叠可得：DE⊥AC,PQ⊥AC,MN⊥AC，AM=MD=DP=PC，则MN∥DE∥PQ∥BC，那么△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可．
【详解】解：由折叠可得：DE⊥AC,PQ⊥AC,MN⊥AC，AM=MD=DP=PC，
∴MN∥DE∥PQ∥BC，故A正确，不符合题意；
∴△ADE∽△ACB∽△AMN，
∴DEBC=ADAC=12，MNDE=AMAD=12，
∴BC=2DE，DE=2MN，
∴BC=4MN，
∴BC=2DE=4MN，故B正确，不符合题意；
∵MN∥PQ∥BC，
∴PCAC=BQAB=14，AMAC=ANAB=14，PMAC=QNAB=12
∴BQ=AN=14AB，QN=12AB，
∴AN=BQ=12NQ，故C正确，不符合题意；
∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，
∴MNDE=AMAD=12，DEPQ=ADAP=23，PQBC=APAC=34，
∴MNDE≠DEPQ≠PQBC，故D错误，符合题意，
故选：D．
6．（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边BA、CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（ ）

A．12B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出DE是△ABC的中位线是解题关键．取格点G、H，由网格的性质可知，EG∥CH，得到ADAB=AGAH=12，AEAC=AGAH=12，进而证明DE是△ABC的中位线，即可求解．
【详解】解：如图，取格点G、H，

由网格的性质可知，EG∥CH，
∴ADAB=AGAH=24=12，AEAC=AGAH=24=12，
∴D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC=1，
故选：B．
7．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，O是坐标原点，反比例函数y=−4xx>0与直线y=−2x交于点A，点B在y=−4xx>0的图象上，直线AB与y轴交于点C．连结OB．若AB=3AC，则OB的长为（ ）
A．10B．522C．34D．1302
【答案】D
【分析】如图所示，过点A作AD⊥x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴交于点E，首先联立得到−4x=−2x，求出OD=2，然后由AD∥BE得到ABAC=DEOD，求出DE=32，然后代入y=−4x求出BE=22，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，过点A作AD⊥x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴交于点E，
∵反比例函数y=−4xx>0与直线y=−2x交于点A，
∴联立得，−4x=−2x，
解得x=2或−2，
∴OD=2，
∵AD⊥x，BE⊥x，
∴AD∥BE，
∴ABAC=DEOD，
∵AB=3AC，
∴3=DE2，即DE=32，
∴OE=2+32=42，
∴将x=42代入y=−4x=−442=−22，
∴BE=22，
∴OB=OE2+BE2=1302．
故选：D．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
考点4相似三角形的判定
8．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（ ）
A．∠B+∠4=180°B．CD∥ABC．∠1=∠4D．∠2=∠3
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当∠B+∠4=180°时，可证明CD∥BM，由平行线的性质得到∠CDN=∠AME，∠AEM=∠CND，则可证明△MAE∽△DCN，据此可判断A、B；由平行线的性质可得∠1+∠B=180°，则∠B+∠4=180°，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明△MAE∽△DCN．
【详解】解：A、∵∠B+∠4=180°，
∴CD∥BM，
∴∠CDN=∠AME，
∵AE∥BC，
∴∠AEM=∠CND，
∴△MAE∽△DCN，故A不符合题意；
B、∵CD∥AB，
∴∠CDN=∠AME，
∵AE∥BC，
∴∠AEM=∠CND，
∴△MAE∽△DCN，故B不符合题意；
C、∵AE∥BC，
∴∠1+∠B=180°，
∵∠1=∠4，
∴∠B+∠4=180°，
∴CD∥BM，
∴∠CDN=∠AME，
∵AE∥BC，
∴∠AEM=∠CND，
∴△MAE∽△DCN，故C不符合题意；
D、根据∠2=∠3结合已知条件不能证明△MAE∽△DCN，故D符合题意；
故选：D．
考点5相似三角形的性质
9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（ ）
A．14cmB．18cmC．30cmD．34cm
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为10cm和6cm确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为48cm即可求解．
【详解】解：∵两个相似三角形的最长边分别为10cm和6cm，
∴相似比为10:6=5:3，
∴较大三角形与较小三角形的周长比为：5:3，
∵它们的周长之和为48cm，
∴较小三角形的周长为：48×35+3=18cm，
故选：B．
10．（2025·贵州·中考真题）如图，已知△ABC∽△DEF,AB:DE=2:1，若DF=2，则AC的长为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF,AB:DE=2:1，
∴AC:DF=2:1，
∵DF=2，
∴AC=4；
故选C．
11．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若OA=1，∠OAB=90°，则点G的坐标为
【答案】−6427，0
【分析】本题考查了相似三角形的性质、解直角三角形和点的坐标规律探求；先求得∠AOB=360°12=30°，然后解直角三角形分别求出OB=233，OC=OBcs30°=233×23，OD=OCcs30°=233×232，得到规律，再根据规律计算即可.
【详解】解：∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，
∴∠AOB=360°12=30°，
∵OA=1，∠OAB=90°，
∴AB=OA⋅tan30°=33,OB=2AB=233，
∵∠BOC=30°，
∴OC=OBcs30°=233×23，
同理：OD=OCcs30°=233×232，
依次类推：OG=233×235=233×3293=6427；
则点G的坐标为−6427，0；
故答案为：−6427，0.
考点6相似三角形的应用
12．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA=150cm，阻力臂OB=50cm，BD=20cm，则AC的长度是（ ）
A．80cmB．60cmC．50cmD．40cm
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式．
【详解】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴AC∥BD，
∴ △AOC∽△BOD，
∴ ACBD=AOOB，
∵动力臂OA=150cm，阻力臂OB=50cm，BD=20cm
∴ AC20=15050，
∴AC=60，
∴AC的长为60cm．
故选：B．
13．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC=6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，DC=52BD．
(1)求岛A与港口B之间的距离；
(2)求tanC．
（参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34）
【答案】(1)4km
(2)821
【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据DC=52BD作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
（1）过点B作BM⊥AD，垂足为M，证明△BDM∽△CDA，得出BMCA=BDCD，结合DC=52BD，AC=6km，求出BM=125，再在Rt△ABM中利用三角函数即可求解；
（2）在Rt△ABM中，利用三角函数求出AM，利用△BDM∽△CDA，得出DMAD=BDCD=25，则可求出AD，再在Rt△ADC中利用三角函数即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M，
∵AC⊥AD，
∴BM∥AC，
∴△BDM∽△CDA，
∴BMCA=BDCD，
∵DC=52BD，AC=6km，
∴BM6=25，
得：BM=125，
在Rt△ABM中，由sin∠BAD=sin37°=BMAB=125AB≈35，
得AB≈4．
答：岛A与港口B之间的距离为4km；
（2）解：在Rt△ABM中，AM=AB×cs37°≈4×45=165，
∵△BDM∽△CDA，
∴DMAD=BDCD=25，
∴AD=57AM=165×57=167，
在Rt△ADC中，tanC=ADAC=1676=821．
14．（2025·吉林·中考真题）综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览馆．树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据．
项目报告表 时间：2025年5月29日
请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．
【答案】该城市规划展览馆AB的高度为77m；3D打印模型的高度约为19cm
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，比例的基本性质，正确理解题意是解题的关键．
任务二：先由矩形BECD得到BE=CD=1.4m，CE=BD=42m，然后解Rt△AEC即可；
任务三：由比例尺等于图上距离比上实际距离求解即可．
【详解】解：任务二：由题意得BECD为矩形，
∴BE=CD=1.4m，CE=BD=42m，
∵在Rt△AEC中，tan∠ACE=AECE
∴AE=CE×tan61°=42×1.804≈76m，
∴AB=AE+BE=76+1.4≈77m，
答：该城市规划展览馆AB的高度为77m；
任务三：设3D打印模型的高度约为xcm，
则由题意得：x7700=1400，
解得：x≈19cm，
答：3D打印模型的高度约为19cm．
15．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
根据以上信息，解决下列问题．
(1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD=CA，请说明理由．
(2)求纪念碑AB的高度．
(3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．
【答案】(1)见解析；
(2)纪念碑AB的高度为19.8m．
(3)小红的结果误差较大，理由见解析
【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据平行投影的性质可得ACCD=DEDF，即可证明结论；
（2）令BN与DE的交点为H，则四边形BCDH和MNHD是矩形，设AB=x，证明△NEH∽△NAB，得到EHAB=NHNB，求出x的值即可；
（3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可．
【详解】（1）解：∵太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，
∴ACCD=DEDF，
∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，即DE=DF，
∴CD=CA；
（2）解：如图，令BN与DE的交点为H，
则四边形BCDH和MNHD是矩形，
∵DE=2.1m,DF=2.1m,DM=1m,MN=1.2m
∴CD=BH，BC=DH=MN=1.2m，NH=DM=1m，
∴EH=DE−DH=0.9m，
设AB=x，则AC=AB+BC=1.2+xm，
∴BH=CD=1.2+xm，
∴NB=BH+NH=2.2+x，
∵EH∥AB，
∴△NEH∽△NAB，
∴EHAB=NHNB，
∴0.9x=12.2+x，
解得：x=19.8，
答：纪念碑AB的高度为19.8m．
（3）解：纪念碑的实际高度为19.64m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5m，（2）中纪念碑AB的高度为19.8m，
则小红的结果误差较大，
理由是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果．
16．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长2m，面积为1.5m2．
(1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
(2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积ym2与DE的长xm之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．
【答案】(1)图1的正方形面积较大
(2)在图3中，y=−34x−12+34，当x=1m时，长方形的面积有最大值为34m2；在图4中，y=−1225x−542+34，当x=54m时，长方形的面积有最大值为34m2
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运用勾股定理算出AB=BC2+AC2=2.5m，再运用正方形的性质分别证明Rt△ADE∽Rt△ACB，Rt△DEC∽Rt△ABC，Rt△ADG∽Rt△ABC，然后代入数值化简得x32−35x=45，进行计算得x=3037m，然后进行比较，即可作答．
（2）与（1）同理证明Rt△ADE∽Rt△ACB，则长方形的面积y=DE×DC=−34x−12+34，结合二次函数的图象性质得当x=1m时，长方形的面积有最大值为34m2．，然后证明Rt△DEC∽Rt△ABC，Rt△ADG∽Rt△ABC，再把数值代入长方形的面积y=DE×DG，化简得y=−1225x−542+34，结合二次函数的图象性质进行作答即可．
【详解】（1）解：∵BC=2m，面积为1.5m2，
∴AC=1.512×2=1.5m，
∴AB=BC2+AC2=2.5m．
设正方形的边长为xm，
∵四边形CDEF是正方形
∴DE∥CF，∠ADE=∠C=90°，DE=CD=x,AD=1.5−x,
∵∠A=∠A
∴Rt△ADE∽Rt△ACB
得DECB=ADAC，
即x2=1.5−x1.5，
解得x=67m．
∵四边形GDEF是正方形
∴DE∥GF，
∴∠CED=∠B,∠EDC=∠A
∴Rt△DEC∽Rt△ABC，
得DCDE=ACAB=35，
即DCDE=35，
∴DC=35x．
AD=AC−DC=32−35x，
∵∠A=∠A,∠AGD=∠C=90°
∴Rt△ADG∽Rt△ABC，
得DGDA=BCAB，
即x32−35x=45，
解得x=3037m．
∵67>3037，
∴图1的正方形面积较大．
（2）解：∵四边形CDEF是长方形
∴DE∥CF，∠ADE=∠C=90°，DE=CD=x,AD=1.5−x,
∵∠A=∠A
∴Rt△ADE∽Rt△ACB；
得ADDE=ACCB=34，
则AD=34x，DC=AC−AD=6−3x4，
∴长方形的面积y=DE×DC=x×6−3x4=34x2−x=−34x−12+34，
∵−34PN，MN=2，求PN的长．
(2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)如图，动点B在第一象限内，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点F．当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明．
【答案】(1)PN=3−5
(2)见解析
(3)当△ODE是等腰直角三角形时，点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点，证明过程见解析
【分析】（1）设PN=x，根据题意MNMP=MPPN，得22−x=2−xx，解分式方程，即可求解；
（2）①作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点D；②过点B作BF⊥AB，且BF=BD；③连接AF；④以点F为圆心，BF为半径，画弧，交AF于点G；⑤以点A为圆心，AG为半径，画弧，交AB于点C，点C即为线段AB的中外比点．
设BD=x，根据勾股定理求得AF=x5，继而求得AG=AC=5−1x，BC=3−5x，分别代入ABAC、ACBC，即可求证点C为线段AB的中外比点；
（3）当△ODE是等腰三角形时，点D、E、F分别为AB，BC，OB的中外比点，分三种情况讨论：①当△OED=90°时，证得△COE≌△BED，设点Em,n，则Dm+n,n−m，根据点D、E在反比例函数y=kxk>0,x>0的图象上，可构建方程n2−mn−m2=0，解得n=1+52m，分别求得BE、CE、BC、BD、AD、AB的值，即可求证．设直线OB的函数解析式为y=axa≠0，利用待定系数法求得直线OB的函数解析式为y=5−12x，联立方程组，求得点F的坐标，即可求证；②当∠ODE=90°，同理可证点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点；③当∠EOD=90°，则点E、D分别位于y轴、x轴上，与反比例函数不符．
【详解】（1）解：设PN=x，则MP=MN−PN=2−x，
根据题意，得：MNMP=MPPN，即22−x=2−xx，
整理，得：x2−6x+4=0，解得：x1=3+5，x2=3−5，
∵ 3+5>2，
∴ x1=3+5舍去，
∴ PN=3−5．
（2）解：如图所示，点C为所求．
设BD=x，
∴根据题意，得：AD=BD=BF=FG=x，AB=2x，
∴ AF=AB2+BF2=2x2+x2=x5，
∴ AG=AC=x5−x=5−1x，BC=AB−AC=2x−5−1x=3−5x，
∵ ABAC=2x5−1x=5+12，ACBC=5−1x3−5x=5+12，
∴ ABAC=ACBC，
∴点C为线段AB的中外比点．
（3）解：当△ODE是等腰三角形时，点D、E、F分别为AB，BC，OB的中外比点，理由如下：
第一种情况：当△OED=90°，则OE=ED，
∴ ∠OEC+∠DEB=90°，
∵四边形OABC是矩形，
∴ ∠OCE=∠EBD=90°，
∴ ∠COE+∠OEC=90°，
∴ ∠COE=∠DEB，
∴△COE≌△BEDAAS，
设点Em,n，
∴ OC=EB=n，CE=BD=m，则Dm+n,n−m，
∵点D、E在反比例函数y=kxk>0,x>0的图象上，
∴得：km=n①km+n=n−m②，
由①得：k=mn，将其代入②，得：mnm+n=n−m，
整理，得：n2−mn−m2=0，
解得：n=m±−m2−4×1×−m22=m±m52，
∴ n1=1+52m，n2=1−52m（舍去），
∴ Em,1+52m，D3+52m,5−12m，B3+52m,1+52m，
∴ BE=1+52m，CE=m，BC=3+52m，
BD=m，AD=5−12m，AB=1+52m，
∵ BE2=1+52m2=3+52m2，BC⋅CE=3+52m⋅m=3+52m2，
BD2=m2，AB⋅AD=1+52m⋅5−12m=m2，
∴BCBE=BECE，ABBD=BDAD，
∴点E、D为BC、AB的中外比点．
∵点E在反比例函数y=kxk>0,x>0的图象上，Em,1+52m，
∴ k=mn=1+52m2，
∴反比例函数为y=1+52m2x，
∵ B3+52m,1+52m，
设直线OB的函数解析式为y=axa≠0，
将点B3+52m,1+52m，O0,0代入，得：a=5−12，
∴直线OB的函数解析式为y=5−12x，
联立方程组y=5−12xy=1+52m2x，解得：x=5+12my=m，
∴ F5+12m，m，
∴ OBOF=OFBF，
∴点F为OB的中外比点．
第二种情况：当∠ODE=90°，则OD=DE，
∴ ∠ODA+∠EDB=90°，
∵四边形OABC是矩形，
∴ ∠OAD=∠EBD=90°，
∴ ∠ODA+∠DOA=90°，
∴ ∠EDB=∠DOA，
∴△OAD≌△DBEAAS，
设点Da,b，
∴ OA=DB=a，AD=BE=b，则Ea−b,a+b，
∵点D、E在反比例函数y=kxk>0,x>0的图象上，
∴得：ka=b①ka−b=a+b②，
由①得：k=ab，将其代入②，得：aba−b=a+b，
整理，得：b2+ab−a2=0，
解得：b=−a±a2−4×1×−a22=−a±a52，
∴ b1=−1+52a，b2=−1−52a（舍去），
∴ Da,5−12a，E3−52a,5+12a，Ba,1+52a，
∴ BE=5−12a，CE=3−52a，BC=a，
BD=a，AD=5−12a，AB=1+52a，
∴BCBE=BECE，ABBD=BDAD，
∴点E、D为BC、AB的中外比点．
∵点E在反比例函数y=kxk>0,x>0的图象上，E3−52a,5+12a，
∴ k=ab=5−12a2，
∴反比例函数为y=5−12a2x，
∵ Ba,1+52a，
设直线OB的函数解析式为y=gxg≠0，
将点Ba,1+52a，O0,0代入，得：g=5+12，
∴直线OB的函数解析式为y=5+12x，
联立方程组y=5+12xy=5−12a2x，解得：x=5−12ay=a，
∴ F5−12a，a，
∴ OBOF=OFBF，
∴点F为OB的中外比点．
第三种情况：当∠EOD=90°，则点E、D分别位于y轴、x轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在．
∴综上所述，当△ODE是等腰直角三角形时，点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题关键．
考点9相似三角形的性质与判定综合问题
27．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在△ABC与△DCB中，∠BAC=∠CDB，AC与DB相交于点P，PB=PC，求证：△ABC≌△DCB；
（2）如图2，将图1中的△DCB绕点B逆时针旋转得到△D′C′B，当点D的对应点D′在线段BA的延长线上时，BC′与AC相交于点M：若AB=2，BC=3，∠ABC=60°，求CM的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CC′并延长，与BD′的延长线相交于点N，连接MN，求△AMN的面积．
【答案】（1）见解析；（2）CM=377；（3）S△AMN=3217．
【分析】（1）利用等边对等角求得∠DBC=∠ACB，再利用AAS证明△ABC≌△DCB即可；
（2）由题意得△ABC≌△D′C′B，得到∠BAC=∠C′D′B，AB=D′C′=2，AC=BD′，作AE⊥BC于点E，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得BE=1，BD′=AC=7，证明AM∥C′D′，推出△BAM∽△BD′C′，利用相似三角形的性质列式计算即可求解；
（3）设∠BC′C=α，由旋转的性质得BC′=BC，则∠BC′C=∠BCC′=α，利用三角形内角和定理以及平角的性质求得∠BNC=120°−α，∠D′C′N=120°−α，推出∠BNC=∠D′C′N=120°−α，求得AN=AC=7，作CF⊥BN于点F，求得S△ACN=3214，再求得AM:CM=4:3，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，即∠DBC=∠ACB，
∵∠BAC=∠CDB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCBAAS；
（2）∵△ABC≌△DCB，即△ABC≌△D′C′B，
∴∠BAC=∠C′D′B，AB=D′C′=2，AC=BD′，
作AE⊥BC于点E，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=12AB=1，AE=AB2−BE2=3，
∴CE=BC−BE=2，
∴AC=AE2+CE2=7，
∴BD′=AC=7，
∵∠BAC=∠C′D′B，
∴AM∥C′D′，
∴△BAM∽△BD′C′，
∴BABD′=AMC′D′，即27=AM2，
∴AM=477，
∴CM=AC−AM=377；
（3）设∠BC′C=α，
由旋转的性质得BC′=BC，则∠BC′C=∠BCC′=α，
∵∠ABC=∠D′C′B=60°，∠NBC+∠BCN+∠BNC=180°，∠BC′C+∠BC′D′+∠D′C′N=180°，
∴∠BNC=120°−α，∠D′C′N=120°−α，
∴∠BNC=∠D′C′N=120°−α，
∵AM∥C′D′，
∴∠ANC=∠ACN，
∴AN=AC=7，
作CF⊥BN于点F，
∵∠ABC=60°，
∴∠BCF=30°，
∵BC=3，
∴BF=32，
∴CF=BC2−BF2=332，
∴S△ACN=12AN×CF=12×7×332=3214，
∵AM=477，CM=377，即AM:CM=4:3，
∴S△AMN=47S△ACN=3217．
28．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在△ABC中，AB=AC，AC=AD，∠D=∠BAC．此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”．
【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB=AC，AD=CD，∠D=∠BAC．求：
①AD与BC的位置关系为：__________：
②AC2_____AD⋅BC．（填“>”，“