贵州省遵义市绥阳县2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷

这是一份贵州省遵义市绥阳县2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷，文件包含84同一直线上二力的合成原卷版docx、84同一直线上二力的合成解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
1．（3分）2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．12024D．−12024
2．（3分）小强在制作正方体模型时，准备在六个外表面上分别写上“读书成就梦想”的字样，他先裁剪出了如图所示的表面展开图后开始写字，当他写下“读书”两个字时，突然想到把“梦”字放在正方体的与“读”字相对的面上，则“梦”字应写的位置正确的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（3分）仁怀市某镇2022年11月30日这一天的最高气温和最低气温分别是5℃和﹣1℃，这一天的温差是（ ）
A．﹣1℃B．4℃C．5℃D．6℃
4．（3分）如果单项式﹣3xny与3x2ym是同类项，那么m+n＝（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（3分）遵绥高速公路，主线长约310000米，极大便利周边群众的对外沟通和联系，拉动沿线乡镇的经济，310000这个数据可以用科学记数法表示为（ ）
A．3.1×105B．3.1×106C．31×105D．0.31×106
6．（3分）已知关于x的方程2x﹣a+5＝0的解是x＝﹣2，则a的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3（a+b）＝3a+bB．3a﹣a＝3
C．1﹣（a﹣b）＝1﹣a+bD．2a+2b＝4ab
8．（3分）《算学启蒙》中有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马日行一百二十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？译文为：跑得快的马每天走240里，跑的慢的马每天走120里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，可列方程（ ）
A．240（x+12）＝120xB．240（x﹣12）＝120x
C．240x＝120（x+12）D．240x＝120（x﹣12）
9．（3分）如图，长方形ABCD沿直线EF、EG折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点A′和点D′处，若∠2＝60°，则∠1的度数为（ ）
A．30°B．50°C．55°D．60°
10．（3分）如图，点C是线段AB的中点，点N是线段AC的三等分点．若线段AB的长为12，则线段BN的长度是（ ）
A．10B．8C．7或9D．8或10
11．（3分）三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简|a+b|﹣|c﹣b|+a的结果是（ ）
A．2a+2bB．2a+2b﹣cC．﹣cD．﹣2b﹣c
12．（3分）小明为了求1+2+22+23+⋯+2100的值，进行了以下探究：他令M＝1+2+22+23+⋯+2100，在等式两边同乘2得，2M＝2+22+23+24+⋯+2101，因此2M﹣M＝2101﹣1，所以M＝2101﹣1．即1+2+22+23+⋯+2100＝2101﹣1．请仿照以上推理计算：1+3+32+33+⋯+32023的值为（ ）
A．32024﹣1B．32024−12C．32024−13D．32024−14
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．答题请用0.5毫米黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡的相应位置上．）
13．（4分）单项式﹣9x3y2的系数是 ．
14．（4分）若x2+2x＝4，则2x2+4x+1＝ ．
15．（4分）将一副三角板按如图方式摆放在一起，且∠1比∠2大28°，则∠2＝ ．
16．（4分）在一次趣味数学活动中，某兴趣小组用相同的小五角星按照平移进行如图摆放，则第50个图形中五角星的个数是 ．
三、解答题（本题共9个小题，共98分．答题请用0.5毫米黑色墨水签字笔或钢笔直接答在答题卡的对应位置上．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算：
（1）（﹣11）﹣（﹣7.5）﹣（+9）+2.5；
（2）4+（﹣2）3×|﹣5|﹣（﹣72）．
18．（10分）解方程：
（1）3（1﹣x）＝1+2x；
（2）3x2−4x−25=−1．
19．（10分）先化简，再求值：(8a2−4ab)−4(2a2−2ab+14b2)，其中a＝1，b＝﹣1．
20．（10分）如图，已知不在同一直线上的三点A，B，C和直线l，请根据下列要求完成作图．（不写作法，请保留作图痕迹）
（1）作直线AB交直线l于点D；
（2）作射线BC交直线l于点E；
（3）请在直线l上确定点P，使PA+PC的值最小，并说明理由．
21．（10分）从一个边长为a的正方形纸片（如图1）上剪去两个相同的小长方形，得到一个美术字“5”的图案（如图2），再将剪下的两个小长方形拼成一个新长方形（如图3）．
（1）求新长方形的周长（用含a，b的式子表示）；
（2）若a＝8，剪去的小长方形的宽为1，求新长方形的周长．
22．（12分）滴滴出行为人们带来方便，滴滴司机小李某天上午运营的路线可以看作是在东西走向的大道上，若规定向东为正．行车记录情况（单位：千米）如下：﹣10，13，12，﹣9，﹣11，9，﹣14．
（1）当司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李与出车地点的距离是多少千米？
（2）在第几次记录时，小李距出发地最远？距离是多少千米？
（3）若小李的平均运营额为3.2元/千米，成本为1.4元/千米，求这天上午小李盈利多少元？
23．（12分）在“双减”政策背景下，为丰富课后延时服务，某中学开设了手工制作活动课，在活动课上，辅导老师组织兴趣小组学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒，已知该兴趣小组共有学生50人，其中女生人数比男生人数多2人，并且每名学生每节课能制作筒身8个或筒底24个．
（1）该兴趣小组有男生、女生各多少人？
（2）原计划男生负责制作筒底，女生负责制作筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每节课制作的筒身与筒底配套．
24．（12分）【知识背景】若数轴上点M，N表示的数分别为m，n，则M、N两点之间的距离MN＝|m﹣n|；线段MN的中点表示的数为m+n2．
【问题情境】如图，数轴上点M表示的数为﹣4，点N表示的数为6，点P从点M出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时点Q从点N出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【解决问题】
（1）填空：
①M，N两点间的距离MN＝ ；线段MN的中点表示的数为 ．
②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
（2）求P，Q两点相遇时，点P所表示的数；
（3）点P与点Q之间的距离表示为PQ，求当PQ=12MN时，点P所表示的数．
25．（12分）（1）理解计算：如图①，∠AOB＝80°，∠AOC＝40°．射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数；
（2）拓展探究：如图②，∠AOB＝α，∠AOC＝β（α，β为锐角）．射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数；
（3）迁移应用：线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图③，线段AB＝a，延长线段AB到C，使得BC＝b，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．
2024-2025学年贵州省遵义市绥阳县七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满．）
1．（3分）2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．12024D．−12024
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【解答】解：2024的相反数是﹣2024，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（3分）小强在制作正方体模型时，准备在六个外表面上分别写上“读书成就梦想”的字样，他先裁剪出了如图所示的表面展开图后开始写字，当他写下“读书”两个字时，突然想到把“梦”字放在正方体的与“读”字相对的面上，则“梦”字应写的位置正确的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据立方体展开图找相对面的方法“同行隔一行为相对面，同列隔一列为相对面”或“Z”字首位为相对面的方法即可求解．
【解答】解：“梦”字放在正方体的与“读”字相对的面上，
∴根据“Z”字首位的方法为相对面，如图所示，
∴“梦”字应写的位置正确的是4，
故选：D．
【点评】本题主要考查立体图形展开图的知识，掌握相对面的识别方法是解题的关键．
3．（3分）仁怀市某镇2022年11月30日这一天的最高气温和最低气温分别是5℃和﹣1℃，这一天的温差是（ ）
A．﹣1℃B．4℃C．5℃D．6℃
【分析】首先要弄清温差的含义是最高气温与最低气温的差，那么这个实际问题就可以转化为减法运算即可．
【解答】解：这一天的温差是：5﹣（﹣1）＝6（℃），
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的减法，解题的关键在于掌握运算法则．
4．（3分）如果单项式﹣3xny与3x2ym是同类项，那么m+n＝（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可．
【解答】解：由同类项定义可知n＝2，m＝1，
∴m+n＝1+2＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．
5．（3分）遵绥高速公路，主线长约310000米，极大便利周边群众的对外沟通和联系，拉动沿线乡镇的经济，310000这个数据可以用科学记数法表示为（ ）
A．3.1×105B．3.1×106C．31×105D．0.31×106
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
【解答】解：310000＝3.1×105，
故选：A．
【点评】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
6．（3分）已知关于x的方程2x﹣a+5＝0的解是x＝﹣2，则a的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】由x＝﹣2是方程的解，故将x＝﹣2代入原方程中，得到关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可．
【解答】解：由方程2x﹣a+5＝0的解是x＝﹣2，
故将x＝﹣2代入方程得：2×（﹣2）﹣a+5＝0，
解得：a＝1．
故选：C．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解为能使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握方程解的定义是解本题的关键．
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3（a+b）＝3a+bB．3a﹣a＝3
C．1﹣（a﹣b）＝1﹣a+bD．2a+2b＝4ab
【分析】根据整式的运算法则逐项判断即可．
【解答】解：3（a+b）＝3a+3b，
故A选项不正确，不符合题意；
3a﹣a＝2a，
故B选项不正确，不符合题意；
1﹣（a﹣b）＝1﹣a+b，
故C选项正确，符合题意；
2a与2b不是同类项，不可以合并，
故D选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
8．（3分）《算学启蒙》中有一道题，原文是：良马日行二百四十里，驽马日行一百二十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？译文为：跑得快的马每天走240里，跑的慢的马每天走120里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，可列方程（ ）
A．240（x+12）＝120xB．240（x﹣12）＝120x
C．240x＝120（x+12）D．240x＝120（x﹣12）
【分析】设快马x天可以追上慢马，则慢马跑了（x+12）天，根据路程＝速度×时间结合两匹马跑过的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设快马x天可以追上慢马，则慢马跑了（x+12）天，
依题意，得：240x＝120（x+12）．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（3分）如图，长方形ABCD沿直线EF、EG折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点A′和点D′处，若∠2＝60°，则∠1的度数为（ ）
A．30°B．50°C．55°D．60°
【分析】根据折叠前后对应角相等可得∠D′EG＝∠2＝60°，∠AEF＝∠1，结合∠D′EG+∠2+∠AEF+∠1＝180°可得答案．
【解答】解：由折叠知∠D′EG＝∠2＝60°，∠AEF＝∠1，
又∵∠D′EG+∠2+∠AEF+∠1＝180°，
∴∠1=12(180°−∠D′EG−∠2)=12×(180°−60°−60°)=30°．
故选：A．
【点评】本题考查角的计算，翻折变换（折叠问题），熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
10．（3分）如图，点C是线段AB的中点，点N是线段AC的三等分点．若线段AB的长为12，则线段BN的长度是（ ）
A．10B．8C．7或9D．8或10
【分析】先根据已知条件求出AC和BC的长，然后根据点N的位置，分两种情况讨论，画出图形，利用已知条件，求出BN的值即可．
【解答】解：∵AB＝12，点C是AB中点，
∴AC＝BC＝6，
分两种情况讨论：
①点N的位置如图所示：
∵点N是线段AC的三等分点，
∴CN=13AC=2，
∴BN＝BC+CN＝6+2＝8；
②点N位置如图所示：
∵点N是线段AC的三等分点，
∴AN=13AC=2，
∴BN＝AB﹣AN＝12﹣2＝10；
综上可知：BN的长度为8或10，
故选：D．
【点评】本题主要考查了线段中的两点间的距离，解题关键是熟练掌握线段与线段之间的和差倍分关系．
11．（3分）三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简|a+b|﹣|c﹣b|+a的结果是（ ）
A．2a+2bB．2a+2b﹣cC．﹣cD．﹣2b﹣c
【分析】由数轴得，a＜b＜0，c＞0，进一步判断出a+b＜0，c﹣b＞0，再根据绝对值的性质化简即可．
【解答】解：由数轴得，a＜b＜0，c＞0，
∴a+b＜0，c﹣b＞0，
∴|a+b|﹣|c﹣b|+a
＝（﹣a﹣b）﹣（c﹣b）+a
＝﹣a﹣b﹣c+b+a
＝﹣c，
故选：C．
【点评】本题考查了数轴，绝对值，得出a+b＜0，c﹣b＞0是解题的关键．
12．（3分）小明为了求1+2+22+23+⋯+2100的值，进行了以下探究：他令M＝1+2+22+23+⋯+2100，在等式两边同乘2得，2M＝2+22+23+24+⋯+2101，因此2M﹣M＝2101﹣1，所以M＝2101﹣1．即1+2+22+23+⋯+2100＝2101﹣1．请仿照以上推理计算：1+3+32+33+⋯+32023的值为（ ）
A．32024﹣1B．32024−12C．32024−13D．32024−14
【分析】先设S＝1+3+32+33+⋯+32023，则3S＝3+32+33+⋯+32024，再求出3S﹣S的值，最后求出S的值．
【解答】解：设S＝1+3+32+33+⋯+32023，
∴3S＝3+32+33+⋯+32024，
∴3S﹣S＝3+32+33+⋯32003+32024﹣（1+3+32+33+⋯+32023）
＝32024﹣1．
∴S=32024−12．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的混合运算的应用，正确理解题干中的推理过程是解决本题的关键．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．答题请用0.5毫米黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡的相应位置上．）
13．（4分）单项式﹣9x3y2的系数是 ﹣9 ．
【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数．
【解答】解：单项式﹣9x3y2的系数是﹣9．
故答案为：﹣9．
【点评】本题考查单项式的系数，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数．
14．（4分）若x2+2x＝4，则2x2+4x+1＝ 9 ．
【分析】根据2x2+4x+1＝2（x2+2x）+1利用整体代入法求解即可．
【解答】解：∵x2+2x＝4，
∴2x2+4x+1＝2（x2+2x）+1＝2×4+1＝9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
15．（4分）将一副三角板按如图方式摆放在一起，且∠1比∠2大28°，则∠2＝ 31° ．
【分析】设∠2＝x，则∠1＝x+28°，根据角的和差关系列出方程，解方程即可．
【解答】解：∵∠1比∠2大28°，
∴设∠2＝x，则∠1＝x+28°，
根据题意得：x+x+28°＝90°，
解得：x＝31°，
∴∠2＝31°
故答案为：31°．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用及角的和差计算，关键是设出未知数找出等量关系列方程．
16．（4分）在一次趣味数学活动中，某兴趣小组用相同的小五角星按照平移进行如图摆放，则第50个图形中五角星的个数是 2550 ．
【分析】观察各个图形，找出五角星个数与图形的序号的数量关系，根据这个数量关系，得到第n个图形中五角星的个数为：n（n+1），然后把n＝50代入进行计算即可．
【解答】解：由题意可得：
第一个图形中五角星的个数为：2＝1×2，
第二个图形中五角星的个数为：6＝2×3，
第三个图形中五角星的个数为：12＝3×4，
第四个图形中五角星的个数为：20＝4×5，
…，
第n个图形中五角星的个数为：n（n+1），
∴第50个图形中五角星的个数是：50×（50+1）＝50×51＝2550，
故答案为：2550．
【点评】本题主要考查了图形的变化类，发现规律是关键．
三、解答题（本题共9个小题，共98分．答题请用0.5毫米黑色墨水签字笔或钢笔直接答在答题卡的对应位置上．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算：
（1）（﹣11）﹣（﹣7.5）﹣（+9）+2.5；
（2）4+（﹣2）3×|﹣5|﹣（﹣72）．
【分析】（1）利用有理数的加减法则计算即可；
（2）先算乘方及绝对值，再算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣11﹣9+7.5+2.5
＝﹣20+10
＝﹣10；
（2）原式＝4+（﹣8）×5+72
＝4﹣40+72
＝36．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（10分）解方程：
（1）3（1﹣x）＝1+2x；
（2）3x2−4x−25=−1．
【分析】（1）（2）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出每个方程的解是多少即可．
【解答】解：（1）去括号，得3﹣3x＝1+2x，
移项，得﹣3x﹣2x＝1﹣3，
合并同类项，得﹣5x＝﹣2，
解得x＝0.4；
（2）去分母，得5×3x﹣2（4x﹣2）＝﹣10，
去括号，得15x﹣8x+4＝﹣10，
移项，得15x﹣8x＝﹣10﹣4，
合并同类项，得7x＝﹣14，
系数化为1，得x＝﹣2．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
19．（10分）先化简，再求值：(8a2−4ab)−4(2a2−2ab+14b2)，其中a＝1，b＝﹣1．
【分析】根据整式的加减运算法则进行化简，然后将a与b的值代入即可求出答案．
【解答】解：原式＝8a2﹣4ab﹣8a2+8ab﹣b2
＝4ab﹣b2，
当a＝1，b＝﹣1时，
原式＝4×1×（﹣1）﹣1
＝﹣4﹣1
＝﹣5．
【点评】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
20．（10分）如图，已知不在同一直线上的三点A，B，C和直线l，请根据下列要求完成作图．（不写作法，请保留作图痕迹）
（1）作直线AB交直线l于点D；
（2）作射线BC交直线l于点E；
（3）请在直线l上确定点P，使PA+PC的值最小，并说明理由．
【分析】（1）根据直线的定义画图即可．
（2）根据射线的定义画图即可．
（3）结合两点之间线段最短，连接AC交直线l于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）如图所示．
（3）如图，连接AC交直线l于点P，
则点P即为所求．
理由：两点之间线段最短．
【点评】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，解题关键是掌握射线和直线的定义、线段的性质．
21．（10分）从一个边长为a的正方形纸片（如图1）上剪去两个相同的小长方形，得到一个美术字“5”的图案（如图2），再将剪下的两个小长方形拼成一个新长方形（如图3）．
（1）求新长方形的周长（用含a，b的式子表示）；
（2）若a＝8，剪去的小长方形的宽为1，求新长方形的周长．
【分析】（1）新长方形的长是：（a﹣b），新长方形的宽是：（a﹣3b），根据长方形的周长＝（长+宽）×2，据此解答．
（2）剪去的小长方形的宽为1，新长方形的宽为2，即a﹣3b＝2，因为a＝8，所以b＝2，求出长和宽，再代入长方形的周长公式计算即可．
【解答】解：（1）新长方形的长是：（a﹣b），
新长方形的宽是：（a﹣3b），
周长是：[（a﹣b）+（a﹣3b）]×2
＝[a﹣b+a﹣3b]×2
＝（2a﹣4b）×2
＝4a﹣8b；
（2）因为a＝8，剪去的小长方形的宽为1，
所以新长方形的宽为2，
即a﹣3b＝2，b＝2，
新长方形的长是a﹣b＝6，
周长是（6+2）×2＝16．
【点评】本题考查了代数式求值、列代数式，解决本题的关键是熟练运用长方形的周长公式．
22．（12分）滴滴出行为人们带来方便，滴滴司机小李某天上午运营的路线可以看作是在东西走向的大道上，若规定向东为正．行车记录情况（单位：千米）如下：﹣10，13，12，﹣9，﹣11，9，﹣14．
（1）当司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李与出车地点的距离是多少千米？
（2）在第几次记录时，小李距出发地最远？距离是多少千米？
（3）若小李的平均运营额为3.2元/千米，成本为1.4元/千米，求这天上午小李盈利多少元？
【分析】（1）把七次记录的结果相加，所得结果的绝对值即为答案；（2）分别计算出七次记录后与出发地的距离，比较即可得到答案；（3）先求出总路程，再用总路程乘以每千米的盈利即可得到答案．
【解答】（1）解：﹣10+13+12+（﹣9）+（﹣11）+9+（﹣14）
＝﹣10+13+12﹣9﹣11+9﹣14
＝﹣10，
∴司机小李将最后一名乘客送到目的地时，小李与出车地点的距离是10千米；
（2）解：第一次记录时距离出发地10千米，
第二次记录时距离出发地﹣10+13＝3千米，
第三次记录时距离出发地3+12＝15千米，
第四次记录时距离出发地15﹣9＝6千米，
第五次记录时距离出发地|6﹣11|＝5千米，
第六次记录时距离出发地﹣5+9＝4千米，
第七次记录时距离出发地|4﹣14|＝10千米，
∴在第三次记录时，小李距出发地最远，距离是15千米．
（3）解：|﹣10|+|13|+|12|+|﹣9|+|﹣11|+|9|+|﹣14|
＝10+13+12+9+11+9+14
＝78（千米），
（3.2﹣1.4）×78＝140.4（元），
∴这天上午小李盈利140.4元．
【点评】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数乘法和有理数加减法的实际应用是关键．
23．（12分）在“双减”政策背景下，为丰富课后延时服务，某中学开设了手工制作活动课，在活动课上，辅导老师组织兴趣小组学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒，已知该兴趣小组共有学生50人，其中女生人数比男生人数多2人，并且每名学生每节课能制作筒身8个或筒底24个．
（1）该兴趣小组有男生、女生各多少人？
（2）原计划男生负责制作筒底，女生负责制作筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每节课制作的筒身与筒底配套．
【分析】（1）设七年级2班有男生有x人，则女生有（x+2）人，根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）设男生应向女生支援y人，根据制作筒底的数量＝筒身的数量×2，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）设七年级2班有男生有x人，则女生有（x+2）人，
由题意得：x+x+2＝50，
解得：x＝24，
女生：24+2＝26（人），
答：七年级2班有男生有24人，则女生有26人；
（2）设男生应向女生支援y人，由题意得：24×（24﹣y）＝（26+y）×8×2，
解得：y＝4，
答：男生应向女生支援4人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底相同．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．
24．（12分）【知识背景】若数轴上点M，N表示的数分别为m，n，则M、N两点之间的距离MN＝|m﹣n|；线段MN的中点表示的数为m+n2．
【问题情境】如图，数轴上点M表示的数为﹣4，点N表示的数为6，点P从点M出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时点Q从点N出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【解决问题】
（1）填空：
①M，N两点间的距离MN＝ 10 ；线段MN的中点表示的数为 1 ．
②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为 ﹣4+2t ；点Q表示的数为 6﹣3t ．
（2）求P，Q两点相遇时，点P所表示的数；
（3）点P与点Q之间的距离表示为PQ，求当PQ=12MN时，点P所表示的数．
【分析】（1）①根据数轴上两点距离计算公式和两点中点计算公式求解即可；②根据数轴上两点距离计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求可得方程﹣4+2t＝6﹣3t，解方程即可得到答案；
（3）根据（1）所求可得方程|5t−10|=10×12，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）①由题意得，MN＝|6﹣（﹣4）|＝10，线段MN的中点表示的数为−4+62=1，
故答案为：10；1；
②由题意得，t秒后点P表示的数为﹣4+2t；点Q表示的数为6﹣3t；
故答案为：﹣4+2t；6﹣3t；
（2）由题意得，﹣4+2t＝6﹣3t，
解得t＝2，
∴﹣4+2t＝0，
∴P，Q两点相遇时，点P所表示的数为0；
（3）由（2）可知PQ＝|﹣4+2t﹣（6﹣3t）|＝|5t﹣10|，
∵PQ=12MN，
∴|5t−10|=10×12，
∴5t﹣10＝5或5t﹣10＝﹣5，
∴t＝3或t＝1，
∴﹣4+2t＝2或﹣4+2t＝﹣2，
∴点P表示的数为﹣2或2．
【点评】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、一元一次方程的应用等知识点，掌握绝对值的几何意义，数形结合的数学思想是解题关键．
25．（12分）（1）理解计算：如图①，∠AOB＝80°，∠AOC＝40°．射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数；
（2）拓展探究：如图②，∠AOB＝α，∠AOC＝β（α，β为锐角）．射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数；
（3）迁移应用：线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图③，线段AB＝a，延长线段AB到C，使得BC＝b，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．
【分析】（1）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论；
（2）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论；
（3）根据（2）的原理，可直接得出结论．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝80°+40°＝120°，
射线OM平分∠BOC，
∴∠COM=12∠BOC=12×120°＝60°，
∵ON平分∠AOC，
∴∠CON=12∠AOC=12×40°＝20°，
∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝60°﹣20°＝40°．
（2）∵∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝α+β，
∵射线OM平分∠BOC，
∴∠COM=12∠BOC=12（α+β），
∵ON平分∠AOC，
∴∠CON=12∠AOC=12β，
∴∠MON＝∠COM﹣∠CON=12（α+β）−12β=12α．
（3）∵AB＝a，BC＝b，
∴AC＝AB+BC＝a+b，
∵点M，N分别为AC，BC的中点，
∴CM=12AC=12（a+b），CN=12BC＝b，
∴MN＝CM﹣CN=12a．
故答案为：12a．
【点评】本题考查的是角的计算，解题的关键是明白角平分线的特点，根据此特点结合角与角间的数量关系即可得出结论．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
D
D．
A
C
C
C
A
D
C
题号
12
答案
B