2024-2025学年宜宾市宜宾县高三下学期一模考试数学试题含解析

这是一份2024-2025学年宜宾市宜宾县高三下学期一模考试数学试题含解析，文件包含84同一直线上二力的合成原卷版docx、84同一直线上二力的合成解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（ ）
A．B．
C．D．
3．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）
A．甲得分的平均数比乙大B．甲得分的极差比乙大
C．甲得分的方差比乙小D．甲得分的中位数和乙相等
4．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知为锐角，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．是正四面体的面内一动点，为棱中点，记与平面成角为定值，若点的轨迹为一段抛物线，则（ ）
A．B．C．D．
7．等比数列若则（ ）
A．±6B．6C．-6D．
8．设双曲线（，）的一条渐近线与抛物线有且只有一个公共点，且椭圆的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，若，，,则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
10．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A．20B．27C．54D．64
11．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是( )
A．B．
C．D．
12．如图，四边形为平行四边形，为中点，为的三等分点（靠近）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则面积的最大值为________.
14．已知椭圆与双曲线（,）有相同的焦点,其左、右焦点分别为、,若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为,且,则双曲线的离心率为__________．
15．学校艺术节对同一类的，，，四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“或作品获得一等奖”； 乙说：“作品获得一等奖”；
丙说：“，两项作品未获得一等奖”； 丁说：“作品获得一等奖”．
若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.
16．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．（12分）已知曲线：和：（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.
（1）求曲线的直角坐标方程和的方程化为极坐标方程；
（2）设与，轴交于，两点，且线段的中点为.若射线与，交于，两点，求，两点间的距离.
19．（12分）已知是抛物线的焦点，点在轴上，为坐标原点，且满足，经过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于、两点，若，求点到直线的最大距离.
20．（12分）已知，且的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）若的图像与直线及围成的四边形的面积不小于14，求实数取值范围.
21．（12分）如图为某大江的一段支流，岸线与近似满足∥，宽度为．圆为江中的一个半径为的小岛，小镇位于岸线上，且满足岸线，．现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的水上通道（图中粗线部分折线段，在右侧），为保护小岛，段设计成与圆相切．设．

（1）试将通道的长表示成的函数，并指出定义域；
（2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？
22．（10分）已知数列满足：，，且对任意的都有,
（Ⅰ）证明：对任意，都有；
（Ⅱ）证明：对任意，都有；
（Ⅲ）证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
化简复数为、的形式，可以确定对应的点位于的象限．
【详解】
解：复数
故复数对应的坐标为位于第三象限
故选：．
本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题．
2．A
【解析】
分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.
详解：根据题意有，如果交换一个球，
有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，
红球的个数就会出现三种情况；
如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，
对应的红球的个数就是五种情况，所以分析可以求得，故选A.
点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.
3．B
【解析】
由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论．
【详解】
对于甲，；
对于乙，，
故正确；
甲的极差为，乙的极差为，故错误；
对于甲，方差.5，
对于乙，方差，故正确；
甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，故正确．
故选：．
本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
4．A
【解析】
先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可求得离心率.
【详解】
由题意知，抛物线焦点，准线与x轴交点，双曲线半焦距，设点 是以点为直角顶点的等腰直角三角形，即，结合点在抛物线上，
所以抛物线的准线，从而轴，所以，

即
故双曲线的离心率为
故选A
本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.
5．C
【解析】
由可得，再利用计算即可.
【详解】
因为，，所以，
所以.
故选：C.
本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.
6．B
【解析】
设正四面体的棱长为，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设的坐标，求出向量，求出线面所成角的正弦值，再由角的范围，结合为定值，得出为定值，且的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值．
【详解】
由题意设四面体的棱长为，设为的中点，
以为坐标原点，以为轴，以为轴，过垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则可得，，取的三等分点、如图，
则，，，，
所以、、、、，
由题意设，，
和都是等边三角形，为的中点，，，
，平面，为平面的一个法向量，
因为与平面所成角为定值，则，
由题意可得，
因为的轨迹为一段抛物线且为定值，则也为定值，
，可得，此时，则，.
故选：B.
考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．
7．B
【解析】
根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可.
【详解】
由等比数列中等比中项性质可知，，
所以，
而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以，
故选：B.
本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题.
8．B
【解析】
设双曲线的渐近线方程为，与抛物线方程联立，利用，求出的值，得到的值，求出关系，进而判断大小，结合椭圆的焦距为2，即可求出结论.
【详解】
设双曲线的渐近线方程为，
代入抛物线方程得，
依题意，
，
椭圆的焦距，
，
双曲线的标准方程为.
故选:B.
本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题.
9．D
【解析】
根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数，又由，分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，函数，其导数函数，
则有在上恒成立，
则在上为增函数；
又由，
则；
故选：．
本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题．
10．B
【解析】
设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解。
【详解】
设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，
设落在小正方形内的米粒数大约为，
则，解得：
故选：B
本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。
11．B
【解析】
执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.
【详解】
由题意，执行给定的程序框图，输入，可得：
第1次循环：；
第2次循环：；
第3次循环：；
第10次循环：，
此时满足判定条件，输出结果，
故选：B.
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
12．D
【解析】
使用不同方法用表示出，结合平面向量的基本定理列出方程解出．
【详解】
解：，
又
解得，所以
故选：D
本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
利用正弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，根据同角三角函数的基本关系表示出，最后利用面积公式得到，由基本不等式求出的取值范围，即可得到面积的最值；
【详解】
解：∵在中，，∴，
∴，
∴，
∴.
∵，即，当且仅当时等号成立，
∴，∴面积的最大值为.
故答案为：
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.
14．
【解析】
先根据椭圆得出焦距,结合椭圆的定义求出,结合双曲线的定义求出双曲线的实半轴,最后利用离心率的公式求出离心率即可.
【详解】
解: 因为椭圆,则焦点为,
又因为椭圆与双曲线（,）有相同的焦点,
椭圆与双曲线在第一象限内的交点为,且,
在椭圆中:
由椭圆的定义:
在双曲线中: ,
所以双曲线的实轴长为: ,实半轴为
则双曲线的离心率为: .
故答案为:
本题主要考查椭圆与双曲线的定义,考查离心率的求解,利用定义解决综合问题.
15．B
【解析】
首先根据“学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果．
【详解】
若A为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；
若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；
若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；
若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；
综上所述，故B获得一等奖．
本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确．
16．
【解析】
分类讨论，时不合题意；时求导，求出函数的单调区间，得到在上的最小值，利用不等式恒成立转化为函数最小值，化简得，构造放缩函数对自变量再研究，可解,
【详解】
令；当时，，不合题意；
当时，，
令，得或，
所以在区间和上单调递减.
因为，且在区间上单调递增，
所以在处取极小值，即最小值为.
若，，则，即.
当时，，当时，则.
设，则.
当时，；当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以，即，所以的最大值为.
故答案为：
本题考查不等式恒成立问题.
不等式恒成立问题的求解思路：已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，求参数的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法; 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(,或，)求解．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）答案不唯一，具体见解析（2）
【解析】
（1）分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间.
（2）分离出参数后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域.
【详解】
（1）
由得或
①当时，由，得.
由，得或
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.
②当时，由，得
由，得或
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和
综上：当时，单调递减区间为，单调递增区间为和
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和.
（2）依题意，不等式恒成立
等价于在上恒成立，
可得，在上恒成立，
设，则
令，得，（舍）
当时，；当时，
当变化时，，变化情况如下表：
∴当时，取得最大值，，∴.
∴的取值范围是.
本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.
18．（1），；（2）1.
【解析】
（1）利用正弦的和角公式，结合极坐标化为直角坐标的公式，即可求得曲线的直角坐标方程；先写出曲线的普通方程，再利用公式化简为极坐标即可；
（2）先求出的直角坐标，据此求得中点的直角坐标，将其转化为极坐标，联立曲线的极坐标方程，即可求得两点的极坐标，则距离可解.
【详解】
（1）：可整理为，
利用公式可得其直角坐标方程为：，
：的普通方程为，
利用公式可得其极坐标方程为
（2）由（1）可得的直角坐标方程为，
故容易得，，
∴，∴的极坐标方程为，
把代入得，.
把代入得，.
∴，
即，两点间的距离为1.
本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的转化，涉及参数方程转化为普通方程，以及在极坐标系中求两点之间的距离，属综合基础题.
19．（1）；（2）.
【解析】
（1）求得点的坐标，可得出直线的方程，与抛物线的方程联立，结合求出正实数的值，进而可得出抛物线的方程；
（2）设点，，设的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合求得的值，可得出直线所过定点的坐标，由此可得出点到直线的最大距离.
【详解】
（1）易知点，又，所以点，则直线的方程为.
联立，解得或，所以.
故抛物线的方程为；
（2）设的方程为，联立有，
设点，，则，所以.
所以，解得.
所以直线的方程为，恒过点.
又点，故当直线与轴垂直时，点到直线的最大距离为.
本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
20．（1），；（2）
【解析】
（1）解绝对值不等式得，根据不等式的解集为列出方程组，解出即可；（2）求出的图像与直线及交点的坐标，通过分割法将四边形的面积分为两个三角形，列出不等式，解不等式即可.
【详解】
（1）由得：，，
即，解得，.
（2）的图像与直线及围成的四边形，，，，.
过点向引垂线，垂足为，则.
化简得：，（舍）或.
故的取值范围为.
本题主要考查了绝对值不等式的求法，以及绝对值不等式在几何中的应用，属于中档题.
21．（1），定义域是．（2）百万
【解析】
（1）以为原点，直线为轴建立如图所示的直角坐标系，设，利用直线与圆相切得到，再代入这一关系中，即可得答案；
（2）利用导数求函数的最小值，即可得答案；
【详解】
以为原点，直线为轴建立如图所示的直角坐标系．

设，则，，．
因为，
所以直线的方程为，
即，
因为圆与相切，所以，
即，从而得，
在直线的方程中，令，得，
所以，
所以
当时，，设锐角满足，则，
所以关于的函数是，定义域是．
（2）要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即最小．
令，得，设锐角，满足，得．
列表：
所以时，，所以建造此通道的最少费用至少为百万元．
本题考查三角函数模型的实际应用、利用导数求函数的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
22．（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】
分析：(1)用反证法证明，注意应用题中所给的条件，有效利用，再者就是注意应用反证法证题的步骤；
(2)将式子进行相应的代换，结合不等式的性质证得结果；
(3)结合题中的条件，应用反证法求得结果.
详解：证明：（Ⅰ）证明：采用反证法，若不成立，则
若,则,与任意的都有矛盾；
若,则有,则
与任意的都有矛盾；
故对任意，都有成立；
（Ⅱ）由得，
则，由（Ⅰ）知，，
即对任意，都有；.
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：，
由（Ⅰ）知，， ∴，
∴，即，
若，则,取时，有，与矛盾.
则. 得证.
点睛：该题考查的是有关命题的证明问题，在证题的过程中，注意对题中的条件的等价转化，注意对式子的等价变形，以及证题的思路，要掌握证明问题的方法，尤其是反证法的证题思路以及证明步骤.
1
0
单调递增
单调递减
0
减
极小值
增