2025-2026学年河南省信阳市高三上学期第一次教学质量检测数学试题（附答案解析）

这是一份2025-2026学年河南省信阳市高三上学期第一次教学质量检测数学试题（附答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．8B．10C．14D．18
3．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数..为定义在上的偶函数，当时，，则下列正确的为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．设函数则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知函数.（ ）
A．在上单调递增B．是奇函数
C．过点可作曲线的两条切线D．当时，恒成立
10．已知数列的首项，且满足，则（ ）
A．为等差数列B．
C．数列为递增数列D．数列的前项和为
11．已知函数是定义域为的偶函数，是奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是以4为周期的函数D．的图象关于对称
三、填空题
12．全称量词命题，它的否定：
13．已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为 ．
14．已知函数，则至多有 个实数解.
四、解答题
15．已知集合，集合．
(1)若存在，使得，求的取值范围
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16．已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且．
(1)求函数、的解析式；
(2)设，，对于，都有，使得，求实数的取值范围．
17．设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且．
(1)求证：为等差数列，并分别求，的通项公式；
(2)设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围．
18．设函数，其中是的导函数．
(1)令，归纳猜想的表达式（不用证明）；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)比较与的大小，并证明．
19．已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”.
①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由.
《河南省信阳市2025-2026学年高三上学期第一次教学质量检测数学试题》参考答案
1．A
【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可.
【详解】对于集合，由，得，
则，即，则，
对于集合，由，得，则，
所以.
故选：A.
2．A
【分析】根据等比数列片段和的性质即可得到成等比数列，再计算即可得到答案.
【详解】等比数列中，成等比数列，
成等比数列，
，
故选：A．
3．A
【分析】首先根据函数零点排除B，C选项，然后再根据函数单调性进行判断即可.
【详解】令，解得或，
由此可得函数存在两个零点，因此可以判断B，C选项错误；
对函数求导得，
所以当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减；
当时，，故在上单调递增；
根据函数单调性可知：A选项正确，D选项错误.
故选：A
4．C
【分析】先求函数的对称轴，要使函数在区间上不单调，则必有对称轴在区间内，列出不等式即可.
【详解】由已知，函数的对称轴为，
又因为函数在区间上不单调，
则必有，即.
故选：C
5．D
【分析】根据给定条件，构造函数，探讨函数的奇偶性、单调性，再逐项判断作答.
【详解】令函数，而函数是偶函数，则，
即函数是奇函数，当时，求导得，
即函数在上递增，则在上递增，
因为，所以，即，
所以，虽然，但不能确定与的大小，故ABC错误，D正确.
故选：D.
6．C
【分析】由函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交可得出，再将原点坐标代入该函数的解析式可求得即可.
【详解】由函数的图象无限接近于直线，但不与该直线相交可得，
又因函数的图象过原点，则，故.
故选：C.
7．A
【分析】，令，利用导数求出函数的单调区间，令，利用导数求出函数的单调区间，从而可得出和的大小，从而可得出的大小关系，将两边同时取对数，然后作差，从而可得出的大小关系，即可得出结论.
【详解】解：，，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
即，
所以，
即，所以，
由，得，
由，得，
，
因为，
所以，所以，
所以，即，
所以，
综上所述.
故选：A.
【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.
8．B
【分析】构造，发现为奇函数，从而可得的对称中心为，得到，再通过求导可发现与在R上单调递增，继而求解不等式即可.
【详解】假设，
所以，所以，
所以为奇函数，
而，
则其图象是的图象向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到的，
所以的对称中心为，所以，
因为，所以，
易得，当且仅当时等号成立，
而，则，
所以恒成立，即在上单调递增，
所以在R上单调递增，
因为得，
所以，解得.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过构造函数，利用其奇偶性结合函数图象的平移和函数导数与单调性的关系即可得到，解出即可.
9．BCD
【分析】利用导数求单调区间可判断A；求出的解析式，根据奇函数定义可判断B；设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点求出即可判断C；构造函数，根据二次函数性质求解可判断D.
【详解】对A，由题知，
由解得，所以在上单调递减，错误；
对B，记，
则，所以为奇函数，正确；
对C，设切点坐标为，则切线斜率为，且，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，
整理得，解得或，
所以过点可作两条直线与曲线相切，正确；
对D，记
，
当时，若恒成立，则，解得，
所以时，恒成立，正确.
故选：BCD
10．BCD
【分析】对取倒数，采用构造法证明为等比数列，判断A；利用是首项为，公比为的等比数列，求判断B；对化简为，证明为递增数列判断C；，采用分组求和和错位相减法求和判断D.
【详解】由得，则，即为等比数列，故A错误；
由得，所以是首项为，公比为的等比数列，
则，整理得，故B正确；
由得，则数列为递增数列，故C正确；
由得，
数列为首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前项和为，
设数列的前项和①，
则②，
①-②得，，
即
所以，所以前项和为，故D正确，
故选：BCD．
11．ACD
【分析】利用函数奇偶函数的性质，结合特殊值代入法、函数周期和对称性的性质逐一判断即可.
【详解】因为函数是定义域为的偶函数，所以，
因为是奇函数，所以，
将换成，则有，
A：令，所以，因此本选项正确；
B：因为，所以函数关于点对称，
由，可得，的值不确定，
因此不能确定的值，所以本选项不正确；
由，可得
C：因为，
所以，
所以，因此是以4为周期的函数，因此本选项正确；
D：因为，
所以，
因此有，
所以函数的图象关于对称，
由上可知是以4为周期的函数，
所以的图象也关于对称，因此本选项正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题的关键是把函数的奇偶性转化为等式的关系，通过赋值法判断函数的对称性和周期性.
12．
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题直接求解即可.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知：
命题的否定：.
故答案为：
13．
【分析】利用等差数列的定义以及的关系即可得出结论.
【详解】由知，
当时，；
当时，，
此时，当时，，
当时，，而，
若数列是等差数列，则，
所以，则.
故答案为：.
14．7
【分析】分类讨论的大小关系脱掉绝对值符号，求导，判断函数单调性，进而作出函数的大致图象，设，则即，从而将的解的个数问题转化函数图象的交点个数问题，数形结合，即可求得答案.
【详解】由可得，由知，，
当时，，，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
当时，，，在单调递增，
则可作出函数的大致图像如图：
三个图分别对应时的情况，
设，则即，
则的解的个数问题即为的交点个数问题，
结合的图象可知的交点个数最多是3个，
即为图2个和图3所示情况，
不妨设交点横坐标为，当如图2所示时，，
此时无解，有1个解，最多有3个解，
故此时最多有4个解；
当如第3个图所示时，，
此时有一个解，最多有3个解，最多有3个解，
故此时最多有7个解；
故答案为：7
【点睛】方法点睛：解答此类复合函数的解的个数问题，一般采用换元法，将方程解的个数转化为函数图象的交点个数问题，数形结合，解决问题.
15．(1)
(2)或
【分析】（1）先解不等式求得集合A，问题转化为集合在内有解，由函数的单调性确定最值，即可求的取值范围；
（2）由（1）可得，，由题意，可得是的真子集，分情况讨论求解即可.
【详解】（1）集合，
若存在，使得，只需集合在内有解，
即大于在内的最小值，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以在内的最小值为，
所以，解得，
所以的范围为；
（2）由得，，，
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，
分类讨论如下：
当，即时，，不符题意；
当，即时，，
此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集；
当，即时，，
此时(等号不同时成立)，解得，时，满足是的真子集，
综上，或时，满足“”是“”的充分不必要条件．
16．(1)，；
(2)
【分析】（1）根据函数奇偶性得到，结合条件得到方程组，求出答案；
（2）在R上的值域为在上的值域的子集，求出在R上的值域为，换元得到，在上的值域为，所以，故，解得.
【详解】（1）因为①，所以，
是偶函数，是奇函数，故，
故②，
故①+②得，则，
（2）对于，都有，使得，
则在R上的值域为在上的值域的子集，
其中，
因为，，，
所以在R上的值域为，
，
令，显然在上单调递增，
所以，
故，
当时，取得最小值，最小值为，
故在上的值域为，
所以，故，解得.
17．(1)证明见解析，；
(2).
【分析】（1）利用等差数列的定义证得数列是等差数列，求得，进而求得，利用求得.
（2）利用裂项求和法求得，根据的最小值列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）由题意知，且当时，，
所以由得，
所以，由得，即，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，即，所以；
当时，，
当时，也符合上式，所以．
（2）由（1）得，
所以
，
所以
，
所以数列是单调递增数列，所以，
因为不等式对任意正整数恒成立，
所以，即，又，
所以解得，所以的取值范围为.
【点睛】易错点睛：
小问1：在证明是等差数列时，必须清楚地理解递推关系如何构建，并确保每一步的推导是严谨的.尤其是求得后，要确保与的关系准确无误.
小问2：求和时，特别是在裂项求和法中，要小心每一项的符号和相加的顺序，特别是涉及到单调性和不等式的推导时，不能忽略最小值的正确性.
18．(1)
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）依次由求出、和，依此类推即可归纳出的表达式；
（2）构造函数，求导函数，根据的取值分成和两类情况，讨论函数的单调性，结合恒成立即可得解；
（3）由题意，将问题转化为比较与的大小，结合（2）的结论可得，从而累加计算即可得证.
【详解】（1）由题意，
，
，
...
依次类推，．
（2）若恒成立，则恒成立，
令，，
则，，
①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
则，符合题意．
②当时，若，在上单调递减，则，不合题意，
综上所述，的取值范围为．
（3）
证明：因则，
而，故只需比较与的大小．
由（2）知，
令，得，即，
于是累加得，
即
故得．
19．(1)单调递增区间为和，单调递减区间为
(2)①证明见解析；②不存在，理由见解析
【分析】（1）当时，，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）①确定，构造函数.求导得到函数单调递增，计算最值即可证明结论成立；
②确定则，，根据，得到，确定，再假设存在得到，，，整理得到，无解即可.
【详解】（1）当时，，，
令，则，解得或，
当时，；
当时，；
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2））①，，故，
构造函数，
，则
函数在上单调递增，，故在恒成立，单调递增，
故，即，，
当时，，
综上所述：恒成立，即.
②，则，，
设，即，则，
设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应，
即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增，
故，
假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，，
故，整理得到，无正整数解.
故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列.
【点睛】本题考查了函数导数和数列综合，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造新函数确定函数的单调性得到是解题的关键.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
A
C
D
C
A
B
BCD
BCD
题号
11









答案
ACD