2026年新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州高三3月份第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2026年新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州高三3月份第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共17页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，函数的部分图象大致是，已知复数，，则，已知集合，，则，已知向量与的夹角为，，，则，以，为直径的圆的方程是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，内接于圆，是圆的直径，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．设集合（为实数集），，，则（ ）
A．B．C．D．
4．函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知复数，，则（ ）
A．B．C．D．
6．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）
A．8B．7C．6D．4
7．已知整数满足，记点的坐标为，则点满足的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知向量与的夹角为，，，则( )
A．B．0C．0或D．
10．以，为直径的圆的方程是
A．B．
C．D．
11．函数的大致图象是
A．B．C．D．
12．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，则________.
14．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的焦距为2c，过C外一点P(c,2c)作线段PF1，PF2分别交椭圆C于点A、B，若|PA|＝|AF1|，则_____.
15．已知两个单位向量满足，则向量与的夹角为_____________.
16．二项式的展开式中项的系数为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求边上的高.
18．（12分）已知等差数列和等比数列满足：
(I)求数列和的通项公式；
(II)求数列的前项和.
19．（12分）已知函数
（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：
20．（12分）某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司年的相关数据如下表所示：
注：年返修率=
（1）从该公司年的相关数据中任意选取3年的数据，以表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；
（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润（百万元）关于年生产台数（万台）的线性回归方程（精确到0.01）.
附：线性回归方程中， ，.
21．（12分）设函数，，
（Ⅰ）求曲线在点（1,0）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
22．（10分）的内角的对边分别为，已知.
（1）求的大小；
（2）若，求面积的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得．
【详解】
令，则，，，，
，因此，.
故选：C.
本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．
2．B
【解析】
根据已知证明平面，只要设，则，从而可得体积，利用基本不等式可得最大值．
【详解】
因为，所以四边形为平行四边形.又因为平面，平面，
所以平面，所以平面.在直角三角形中，，
设，则，
所以，所
以.又因为，当且仅当，即时等号成立，
所以.
故选：B．
本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为，用建立体积与边长的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值．
3．A
【解析】
根据集合交集与补集运算,即可求得.
【详解】
集合,,
所以
所以
故选:A
本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.
4．C
【解析】
判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.
【详解】
，函数是奇函数，排除，
时，，时，，排除，
当时，，
时，，排除，
符合条件，故选C.
本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.
5．B
【解析】
分析：利用的恒等式，将分子、分母同时乘以 ，化简整理得
详解： ，故选B
点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意符号的正、负问题.
6．A
【解析】
则从下往上第二层正方体的棱长为：，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.
【详解】
最底层正方体的棱长为8，
则从下往上第二层正方体的棱长为：，
从下往上第三层正方体的棱长为：，
从下往上第四层正方体的棱长为：，
从下往上第五层正方体的棱长为：，
从下往上第六层正方体的棱长为：，
从下往上第七层正方体的棱长为：，
从下往上第八层正方体的棱长为：，
∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8.
故选：A.
本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.
7．D
【解析】
列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.
【详解】
因为是整数，所以所有满足条件的点是位于圆（含边界）内的整数点，满足条件的整数点有
共37个，
满足的整数点有7个，则所求概率为.
故选：.
本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.
8．B
【解析】
求出集合，利用集合的基本运算即可得到结论.
【详解】
由，得，则集合，
所以，.
故选：B.
本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合是解决本题的关键，属于基础题.
9．B
【解析】
由数量积的定义表示出向量与的夹角为，再由，代入表达式中即可求出.
【详解】
由向量与的夹角为，
得，
所以，
又，，，，
所以，解得.
故选：B
本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题.
10．A
【解析】
设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出，从而求出圆的方程.
【详解】
设圆的标准方程为，
由题意得圆心为，的中点，
根据中点坐标公式可得，，
又，所以圆的标准方程为：
，化简整理得，
所以本题答案为A.
本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.
11．A
【解析】
利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.
【详解】
由题意可知函数为奇函数，可排除B选项；
当时，，可排除D选项；
当时，，当时，，
即，可排除C选项，
故选：A
本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．
12．B
【解析】
由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解
【详解】
双曲线的一条渐近线与直线垂直．
∴双曲线的渐近线方程为．
，得．
则离心率．
故选：B
本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
利用正弦定理边化角可得，从而可得，进而求解.
【详解】
由，
由正弦定理可得，
即，
整理可得，
又因为，所以，
因为，
所以，
故答案为：
本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式，属于基础题.
14．
【解析】
根据条件可得判断OA∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，从而得到点A为椭圆上顶点，则有b＝c，解出B的坐标即可得到比值.
【详解】
因为|PA|＝|AF1|，所以点A是线段PF1的中点，
又因为点O为线段F1F2的中点，所以OA∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，
因为点P（c，2c），所以PF2⊥x轴，则|PF2|＝2c，
所以OA⊥x轴，则点A为椭圆上顶点，
所以|OA|＝b，
则2b＝2c，所以b＝c，ac，
设B（c，m）（m＞0），则，解得mc，
所以|BF2|c，
则.
故答案为：2.
本题考查椭圆的基本性质，考查直线位置关系的判断，方程思想，属于中档题.
15．
【解析】
由得，即得解.
【详解】
由题意可知，则.
解得，所以，
向量与的夹角为.
故答案为：
本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．15
【解析】
由题得，，令，解得，代入可得展开式中含x6项的系数.
【详解】
由题得，，令，解得，
所以二项式的展开式中项的系数为.
故答案为：15
本题主要考查了二项式定理的应用，考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）
【解析】
（1）利用正弦定理将边化成角，可得，展开并整理可得，从而可求出角；
（2）由余弦定理得，进而可得，由，可求出的值，设边上的高为，可得的面积为，从而可求出.
【详解】
（1）由题意，由正弦定理得.
因为，所以，所以，展开得，整理得.
因为，所以，故，即.
（2）由余弦定理得，则，得，故，
故的面积为.
设边上的高为，有，故，
所以边上的高为.
本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
18． (I) ，；(II)
【解析】
(I)直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案.
(II) ，利用裂项相消法计算得到答案.
【详解】
(I) ，故，
解得，故，.
(II)
，故.
本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
19．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）将问题转化为对任意恒成立，换元构造新函数即可得解；
（2）结合（1）可得，令，求导后证明其导函数单调递增，结合，即可得函数的单调区间和最小值，即可得证.
【详解】
（1）对任意恒成立等价于对任意恒成立，
令，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
有最大值，
.
（2）证明：由（1）知，当时，即，
，，
令，则，
令，则，
在上是增函数，又，
当时，；当时，，
在上是减函数，在上是增函数，
，即，
．
本题考查了利用导数解决恒成立问题，考查了利用导数证明不等式，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.
20．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）先判断得到随机变量的所有可能取值，然后根据古典概型概率公式和组合数计算得到相应的概率，进而得到分布列和期望．（2）由于去掉年的数据后不影响的值，可根据表中数据求出；然后再根据去掉年的数据后所剩数据求出即可得到回归直线方程．
【详解】
（1）由数据可知，，，，，五个年份考核优秀．
由题意的所有可能取值为，，，，
，
，
，
．
故的分布列为：
所以．
（2）因为，所以去掉年的数据后不影响的值，
所以．
又去掉年的数据之后，
所以，
从而回归方程为：．
求线性回归方程时要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意运算的合理性和正确性，对于题目中给出的中间数据要合理利用．本题考查概率和统计的结合，这也是高考中常出现的题型，属于基础题．
21．（1）（2）
【解析】
分析：(1)先断定在曲线上，从而需要求，令，求得结果，注意复合函数求导法则，接着应用点斜式写出直线的方程；
(2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值.
详解：（Ⅰ）当，. ，
当，， 所以切线方程为.
（Ⅱ）,
,因为，所以.
令，，则在单调递减，
因为，所以在上增，在单调递增.
,,
因为，所以在区间上的值域为.
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线在某个点处的切线方程的求法，复合函数求导，函数在给定区间上的最值等，在解题的过程中，需要对公式的正确使用.
22．（1）；（2）.
【解析】
（1）利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得，根据可求得结果；（2）利用余弦定理可得，利用基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得结果.
【详解】
（1）由正弦定理得：
，又
，即
由得：
（2）由余弦定理得：
又（当且仅当时取等号）
即
三角形面积的最大值为：
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题型.
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年生产台数（万台）
2
3
4
5
6
7
10
11
该产品的年利润（百万元）
2.1
2.75
3.5
3.25
3
4.9
6
6.5
年返修台数（台）
21
22
28
65
80
65
84
88
部分计算结果：，，，
，