2026北京延庆高三下高考一模数学试卷（教师版）

这是一份2026北京延庆高三下高考一模数学试卷（教师版），共8页。试卷主要包含了03等内容，欢迎下载使用。
2026.03
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
第二部分 （非选择题 共110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）的展开式中，常数项为_____．
（12）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则_____．
（13）已知是任意角，且满足，则常数的一个取值为_____．
（14）长方体的底面是一个正方形，其边长为，长方体的高为，联结各表面的中心构成一个八面体，则这个八面体的表面积为_____；这个八面体的体积和长方体的体积之比为_____.
（15）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，记.
①已知，，且，则；
②已知，，则存在实数，使得；
③已知，若，则对任意，都有；
④已知是等比数列的前项和，，则存在等比数列，使得；
其中所有不正确的命题是_____．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（16）（本小题14分）
如图，在四棱锥中，底面是一个等腰梯形，，，，为的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若平面.
（ⅰ）求证：平面；
（ⅱ）求二面角的余弦值.
（17）（本小题13分）
已知函数，从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求在区间上的最大值和最小值.
条件 = 1 \* GB3 ①：是偶函数；
条件 = 2 \* GB3 ②：的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数是奇函数；
条件 = 3 \* GB3 ③：在区间上单调递增．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（18）（本小题13分）
年联合国教科文组织第届世界遗产大会上，我国申报的“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》.北京中轴线位于北京老城中心，全长公里，始建于世纪，是统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体.北京中轴线共包含处遗产点构成要素，可分为、、、、五种类型，如下表：
在上述处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取处进行研学．
（Ⅰ）求选取的处遗产点都为类的概率；
（Ⅱ）若研学团队计划在、、这三类遗产点中，选取处研学地点．设选取的处遗产点的类型种数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）该研学团队通过调查发现：所有参观北京中轴线的人群可分为老年人、中年人、青少年三个群体，其人数比值为，同时，这三个群体选择参观类或类遗产点的频率分布情况如下：
用频率估计概率，若从所有参观类或类遗产点的人群中，随机选取人，只参观类型遗产点的概率为，只参观类型遗产点的概率为，根据上面的统计表，试估计与的大小关系．（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知椭圆与轴的交点为（点位于点的上方），且，椭圆的离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同两点，直线与直线交于点．
设与的面积分别为，，比较与的大小，并说明理由．
（20）（本小题15分）
已知函数，，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（Ⅲ）是否存在，使得不等式恒成立，若存在，求出的所有值；不存在，请说明理由．
（21）（本小题15分）
设为正整数，数列是公差不为的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的个数都能构成等差数列，则称数列是可分等差数列．
（Ⅰ）判断数列是不是、、、可分等差数列；（结论不要求证明）
（Ⅱ）当时，证明：数列是可分等差数列；
（Ⅲ）当时，数列是可分等差数列，证明：满足条件的个数不少于个．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）D （2）B （3）A （4）D （5）A
（6）B （7）C （8）C （9）C （10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12） （13） （14），
（15）①②③
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共14分）
（Ⅰ）取的中点，连接，.
因为为的中点，
所以，.
因为，，
所以，
所以四边形是平行四边形.
所以.
且平面，平面.
所以：平面.
（Ⅱ）（ⅰ）因为平面.
所以.
因为底面是一个等腰梯形，，，
所以，
所以，即.
又因为面，.
所以知平面.
（ⅱ）由（ⅰ）知平面.
所以.
如图建立空间直角坐标系.
则，，.
所以，，.
设平面的法向量为 ，则
即
令，则，.于是.
因为为平面的法向量，且，
所以二面角的余弦值为.
（17）（共13分）
（Ⅰ）解：选择②
将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数，
由函数为奇函数，则，
可得，又因为，则.
解：选择③
由 ，可得
在区间上单调递增，且的最小正周期为
所以，
所以
（Ⅱ）解：由（1）可知，，
则
，
由 ，可得
当时，取最大值，此时
当时，取最小值，此时
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）设这3个遗产点都在D类为事件，
．
（Ⅱ），
，

．
或．
．
（Ⅲ）
（19）（共15分）
（Ⅰ）根据题可得
解得，椭圆的标准方程．
（Ⅱ）将曲线的方程变为为，点，的坐标分别为，．
由得．
因为直线与曲线交于不同的两点，所以，
即 ．
设点的坐标分别为，，则，，
，．
直线的方程为，点的坐标为．
因为直线和直线的斜率分别为，，
所以

．即．
所以，，三点共线．
所以设与的高相等，
所以=
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）当时，，
所以．
，．
所以曲线在点处切线的方程为．
（Ⅱ）当时，的定义域为．
．
所以的单调递减区间为
当时，的定义域为．
所以时，；时，．
所以的单调递增区间为；单调递减区间为．
（Ⅲ）令
要使得不等式恒成立，即成立，
．
当时，的定义域为．
所以，在上单调递减．
因为，所以不合题意．
当时，的定义域为．
因为时，；时，．
所以的单调递增区间为；单调递减区间为．
所以．
设，则，
因为时，；时，，
所以的单调递减区间为；单调递增区间为．
所以．
当，不等式恒成立．
（21）(共15分）
（Ⅰ）解：数列是、、、可分数列，不是可分数列
（Ⅱ）证明：当
数列中删去和两项后，前面是（有连续的项，当时，无这项）；后面是（有连续的项，当时，无这项），和中间是（有连续的
项，当时，无这项），因为都是连续的的整数倍项，显然都可以平均分成每组都是个数公差为的等差数列.
（Ⅲ）首先证明：数列是可分数列，
其中.
证明：（1）数列中删去和两项后，前面是（有连续的项，当时，无这项），后面是（有连续的项，当时，无这项），因为都是连续的的整数倍项，显然都可以平均分每组都是个数公差为的等差数列.
（2）分析中间的数列是可分数列.
上述数列共有项
将数列写成下述形式：
第一行 共项
第二行共项
第三行共项
第四行共项
第五行 共项
上述表格中，若删去和两项，剩余显然可以平均分每组都是个数的等差数列。
所以，由（1）（2）可知，数列是可分数列，
其中.
当时，数列是可分数列，满足条件的个数有个，
当时，数列是可分等差数列，满足条件的个数有个。
所以共有不少于个
（1）已知集合，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）已知复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
（3）下列函数中，是奇函数且最小正周期为的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）已知，且，则下列不等式恒成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）在中，，，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）矩形中，，，且，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）设无穷等差数列的公差为，其前项和为，则“”是“存在最小值”的
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（9）在平面直角坐标系中，若对任意的点（且），都存在（且），使得，且，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，且已知三角形的重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆：相切．则圆上的点到直线的距离的最小值为
（A）
（B）
（C）
（D）
类型
古代皇家宫苑建筑
古代皇家祭祀建筑
古代城市管理设施
国家礼仪和公共建筑
居中道路遗存
中轴线遗产点
故宫
景山
太庙
社
稷
坛
天
坛
先
农
坛
钟
鼓
楼
万
宁
桥
端门
天安门
外金水桥
天安门广场及建筑群
正阳门
永
定
门
中轴线南段道路遗存
人群
老年人
中年人
青少年
只参观类型遗产点
只参观类型遗产点
两类遗产点都参观
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