河北省衡水中学2026届高三下学期综合素质评价三 数学试题 Word版含解析

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考试时间：120分钟；试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（共58分）
一、单选题(共8个小题，每题5分，共40分)
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知， 为虚数，则 的值可能为（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
4. 一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 设双曲线的焦距为，若成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知满足，且当时， ，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（ ）
A. 3B. C. 4D. 5
二、多选题(每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分)
9. 下列说法正确是（ ）
A. 样本相关系数越大，则线性相关性越强
B. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15
C. 随机变量的方差，期望，则
D. 某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8
10. 已知左、右焦点分别为，长轴长为，点在椭圆外，点在椭圆上，则下列说法中正确的有（ ）
A. 椭圆的离心率的取值范围是
B. 椭圆上存在点使得
C. 已知，椭圆离心率为，则的最大值为
D. 的最小值为
11. 定义：若函数在区间的值域为，则称区间是函数的“完美区间”.另外，定义区间的“复区间长度”为.已知函数，则下列说法中正确的是:( )
A. 是的一个“完美区间”
B. 是的一个“完美区间”
C. 所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
第II卷（共92分）
三、填空题(每题5分，共15分)
12. 已知，则______.
13. 甲、乙、丙等5名同学站一排照相合影，要求甲与乙之间有一人，丙与甲不相邻，丙与乙相邻，则不同的排法有______种．
14. 已知正实数x，y满足，则的最小值为______．
四、解答题(共5题，满分77分)
15. 已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为．
16. 手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买手机的情况，得到数据如下表.
（1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由：
（2）为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望.
参考公式及数据：①，其中．
②,,,．
17. 在中，角，，所对边分别为，，，.
（1）求的值；
（2）若是边上一点，，，求的周长.
18. 对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，.
（1）若，求函数的不动点；
（2）若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19. 如图（1），已知抛物线的焦点为，准线为，过点的动直线与交于A，B两点（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线相切于点C，D为弦AB上任意一点，现将沿CD折成直二面角，如图（2）．
（1）证明：；
（2）当最小时，
①求，两点间的最小距离；
②当，两点间的距离最小时，在三棱锥内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱体积的最大值．
购买手机
购买无技术的手机
总计
男性顾客
45
65
110
女性顾客
56
34
90
总计
101
99
200