安徽省江淮名校2025-2026学年高二下学期4月学情检测数学试卷含解析（word版）

这是一份安徽省江淮名校2025-2026学年高二下学期4月学情检测数学试卷含解析（word版），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 答案 C
命题透析 本题考查随机变量的期望与方差的计算.
解析 由题意得 EX=2×13+3×13+4×13=3 ,所以 DX=2−32×13+3−32×13+4−32× 13=23
2. 答案 A
命题透析 本题考查空间向量的运算.
解析 因为 P,Q 分别为线段 AB,CD 的中点,所以 PA+PB=0,CQ+DQ=0 ,因为 PQ=PA+AD+DQ,PQ=PB+ BC+CQ ,两式相加,得 2PQ=AD+BC ,所以 PQ=AD+BC2 .
3. 答案 B
命题透析 本题考查等差数列的性质.
解析 因为 S19=19a1+a192=19a10=20a10 ,所以 a10=0,a9+a10+a11=3a10=0 ,所以 S8=S11 .
4. 答案 D
命题透析 本题考查双曲线的几何性质.
解析 由 C 的离心率为 2,得 ca=1+ba2=2 ,得 ba=3 ,所以 C 的一条渐近线的方程为 y=3x ,设所求点的横坐标为 x0x0>0 ,则 3x0−032+1=2 ,解得 x0=433 .
5. 答案 B
命题透析 本题考查回归分析.
解析 画出散点图可知营业额成指数级增长, 选 B 最适合.
6. 答案 C
命题透析 本题考查等比数列的前 n 项和公式.
解析 由题知数列 an,an,−1nan 均为等比数列,首项分别为 a1,a1,−a1 ,公比分别为 q , q,−q ,且 a11−q991−q=A,a11−q991−q=B ,设数列 −1nan 的前 99 项和为 Q ,则 Q= −a11−−q991+q=−a11+q991+q ,所以 BQ=−a11−q991−q=−A ,所以 Q=−AB .
7. 答案 B
命题透析 本题考查条件概率的计算.
解析 设事件“该球队获胜”为 A ,事件“甲上场”为 B ,根据题意得 PA=12,PB=13,PA∣B=PB∣A , 即 PABPB=PABPA ,所以 PAB=23PAB ,又因为 PAB+PAB=PA=12 ,所以 PAB=15 .
8. 答案 B
命题透析 本题考查椭圆的定义、方程.
解析 设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1−1,0,F21,0 ,由椭圆的定义得 PF1+PF2=4 ,设 Q0,1 ,则 m2+n2+2m+1+m2+n2−2n+1+2m2+n2−2m+1=PF1+PQ+2PF2=8+PQ−PF1≤ 8+F1Q=8+2 ,当点 P 为线段 QF1 的延长线与 C 的交点时取等号.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的 得 0 分.
9. 答案 AD
命题透析 本题考查空间向量基本定理.
解析 对于 A ,易得 a,−b,c 不共面,故 A 正确;
对于 B ,因为 a−b+b−c+c−a=0 ,所以 a−b,b−c,c−a 共面,故 B 错误;
对于 C ,因为 4a+3b=2a+b+2a+b ,所以 a+b,2a+b,4a+3b 共面,故 C 错误;
对于 D ,假设 2a−b,c−a,a+b+c 共面,则存在实数 x,y ,使得 a+b+c=x2a−b+yc−a ,因为 a,b,c 不共
面,所以 2x−y=1,−x=1,y=1, 该方程组无解,所以假设不成立,故 D 正确.
10. 答案 ABC
命题透析 本题考查二项式定理和计数原理的应用.
解析 对于 A ,展开式共有 9 项,正中间项即第 5 项的二项式系数最大,故 A 正确;
对于 B,x+18=a0+a1x+⋯+a8x8 ,令 x=0 ,得 a0=1 ,令 x=−1 ,得 1+i=18−1iai=0 ,则 i=18−1iai=−1 ,故 B 正确;
对于 C ,因为 a,b∈{1,2,3,4,5} ,所以总共有 25 个方程,当 a=b 时,方程 ax+by=0 都表示直线 x+y=0 ,故减去 4 条重复的,方程 x+2y=0 与 2x+4y=0 表示同一条直线,方程 2x+y=0 与 4x+2y=0 表示同一条直线,再减去 2 条重复的,故符合条件的有 25−4−2=19 条直线,故 C 正确;
对于 D ,根据题意,所得结果有 ±2,±4,±6,±10,±12 ,共 10 个不相等的值,故 D 错误.
11. 答案 ACD
命题透析 本题考查新定义及数列的运算.
解析 对于 Λ ,由题意知 bn+3+bn=4,bn+6+bn+3=4 ,两式相减,得 bn+6=bn ,故 Λ 正确;
对于 B ,数列 bn 的前 6 项依次为1,2,3,3,2,1,结合 bn+6=bn 可知 bn 是周期为 6 的周期数列,其各项依次为 1,2,3,3,2,1,⋯ ,故 B 错误;
对于 C ,由对 B 的分析可得 S12n=2S6n=24n ,故 C 正确;
对于 D ,易知 Bn+3=Bn ,且 Bn 的前 6 项依次为1,0,1,1,0,1,记 Bn 的前 n 项和为 Tn ,则 T3n=2n,T3039= 2026,即 Bn 的前 m 项和为 2026 时, m=3039 ,故 D 正确.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 答案 -1
命题透析 本题考查二项式定理的应用.
解析 x+1x+21x−16=x2+3x+21x−16 的展开式中的常数项为 C64−14+3C65−15+ 2C66−16=−1.
13. 答案 x−32+y+32=3
命题透析 本题考查直线与圆的位置关系.
解析 两平行直线 x−y−4=0,x−y−8=0 均与直线 x+y=0 垂直,且交点分别为 A2,−2,B4,−4,C 为 AB 的中点,所以 C3,−3 ,点 C 到直线 x−y−4=0 的距离 d=3+3−42=2 ,所以圆 C 的半径 r= 12+22=3 ,所以圆 C 的标准方程为 x−32+y+32=3 .
14. 答案 43
命题透析 本题考查递推数列、等比数列的性质.
解析 因为 4Sn=6+an ,当 n=1 时, 4S1=6+S1 ,得 S1=2 . 当 n≥2 时, 4Sn=6+Sn−Sn−1 ,即 Sn=−13Sn−1+2 , 整理可得 Sn−32=−13Sn−1−32 ,所以数列 Sn−32 是以 12 为首项, −13 为公比的等比数列,所以 Sn− 32=12×−13n−1,Sn=32+12×−13n−1 . 当 n 为奇数时, Sn∈32,2 ,当 n 为偶数时, Sn∈43,32 . 则 Sn 的最小值为 43 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 命题透析 本题考查独立性检验的应用、全概率公式.
解析 (1)根据表中数据得
χ2=10035×25−15×25260×40×50×50=256≈4.167>3.841,
(4 分)
所以有 95% 的把握认为该市空气质量与风向有关. (6 分)
(2)从这 100 天中随机抽取 1 天，记该天空气优良为事件 A ，则该天空气污染为 A ，该天 PM2.5 重度超标为事件 C . (7 分)
由已知得 PA=60100=0.6,PA=40100=0.4 , (8 分)
PC∣A=0.05,PC∣A=0.3, (10 分)
所以 PC=PAPC∣A+PAPC∣A=0.6×0.05+0.4×0.3=0.15 . (13 分)
16. 命题透析 本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式,分组、裂项相消法求和.
解析 (1) 设 an 的公差为 d .
由 S7=a25=−49 ,得 7a1+21d=−49,a1+24d=−49, (2 分)
解得 a1=−1,d=−2 , (4 分)
所以 an=a1+n−1d=−1+n−1×−2=−2n+1 , (6 分)
Sn=na1+an2=n−1−2n+12=−n2. (8 分)
(2)由(1)知 an=−2n+1,Sn=−n2 ，
所以 bn=4n2−2n+1−2n−1=1+12n−12n+1=1+1212n−1−12n+1 , (11 分)
所以 Tn=n+121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1
=n+121−12n+1=2n2+2n2n+1 . (15 分)
17. 命题透析 本题考查线面平行的证明和利用空间向量求两平面的夹角.
解析 (1) 如图,连接 A1C .
因为 D 为 A1B1 的中点,所以 BEEA1=BADA1=2 , (1 分)
因为 BF=2FC ,所以 BFFC=2 , (2 分)
所以 BEEA1=BFFC ,所以 EF//A1C . (4 分)
因为 EF⊄ 平面 ACC1A1,A1C⊂ 平面 ACC1A1 ,所以 EF// 平面 ACC1A1 . (6 分)

(2)在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AB⊥AA1 ，
因为 BC=BA1,BA=BA,AA1=AC ，所以 △BAC≅△BAA1 ，所以 AB⊥AC ，
所以 AB,AC,AA1 两两互相垂直. (7 分)
因为 BA1⋅BA=BA2=9 ，所以 AB=3 .
以 A 为坐标原点， AB,AC,AA1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A10,0,3,C10,3,3,E1,0,2,F1,2,0 ,
所以 EC1=−1,3,1,EF=0,2,−2,EA1=−1,0,1 . (9 分)
设平面 A1C1E 的法向量为 m=x,y,z ,
则 m⋅EC1=0,m⋅EA1=0, 即 −x+3y+z=0,−x+z=0,
取 x=1 ,得 m=1,0,1 . (11 分)
设平面 EFC1 的法向量为 n=a,b,c ,
则 n⋅EC1=0,n⋅EF=0, 即 −a+3b+c=0,2b−2c=0,
取 c=1 ,得 n=4,1,1 . (13 分)
设平面 A1C1E 与平面 EFC1 的夹角为 θ ,
则 csθ=m⋅nmn=52×18=56 ,
故平面 A1C1E 与平面 EFC1 夹角的余弦值为 56 . (15 分)
18. 命题透析 本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列与期望.
解析 (1) 因为 X∼N50,9 ,所以 μ=50,σ=3 , (1 分)
所以从该批零件中随机抽取 1 个为优质品的概率
P471 ,当 k≥4 时, 94−25k0 ,所以 x2+y2