河南省安鹤新联盟2024-2025学年高二下学期3月联考数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章至第七章第三节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知某校仅有一栋高三教学楼，且该教学楼共有1号、2号、3号、4号四个入口．若来自高三（1）班、（2）班、（3）班、（4）班的四位同学进入该教学楼且不能走与自己班级号码相同的入口（例如高三（1）班的同学不走1号入口），则四位同学用不同的方式进入该教学楼的方法种数为（ ）
A. 16B. 128C. 64D. 81
2. 设函数，若曲线在点处的切线斜率为1，则（ ）
A. 0B. C. 1D. －1
3. 已知随机变量X满足，，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 已知为等差数列，且．若直线l：与圆：相切，则的公差为（ ）
A. 8B. 4或8C. 6D. 2或6
5. 设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，与的准线交于点．若，点为的焦点，则与的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
6. 某平台账号开放给甲、乙、丙三人使用的时间合计为30分钟，同一时间只能供一人使用．为了优化该平台的使用效果，要求这三人均要使用该平台，且三人使用的时间累加刚好为30分钟，每人的使用时间不间断，每人的使用时间均为1分钟的正整倍数，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 3654B. 4060C. 406D. 435
7. 根据天气预报，某地区近期有小暴雨的概率为0.4，有大暴雨的概率为0.01．该地区某蔬菜农场主有一大片蔬菜未收割，若遭遇小暴雨，则该农场主将损失5000元；若遭遇大暴雨，该农场主将损失10000元．为了减少损失，有三种方案可供选择：方案①是雇人收割蔬菜，劳务费为2000元；方案②是搭建挡雨棚，搭建费为1800元，但仅可以防小暴雨；方案③是不采取任何措施．从农场主损失期望的角度出发，下列结论正确的是（ ）
A 农场主采用方案①可以让损失降到最小B. 农场主采用方案②可以让损失降到最小
C. 农场主采用方案③可以让损失降到最小D. 农场主采用三种方案的损失均相同
8. 已知数列满足，．数列满足，，且数列是等比数列．设数列的前n项和为，则满足不等式成立的整数n的最小值为（ ）
A. 99B. 100C. 199D. 200
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，在正方体中，，M为棱的中点，动点P满足，其中，，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为4
B. 若，则点P平面上
C. 若，则点M到平面的距离为定值1
D. 若点N为外接圆的圆心，则
11. 已知函数，则下列结论正确是（ ）
A.
B. 若方程有两个不相等的实数根，则
C. 存在，使
D. 若不等式恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若的展开式共有6项，则展开式中所有二项式系数之和为______．
13. 设正整数p大于1，若正整数a与p互质，则a与p的最大公约数为1，记．若对于正整数a，，存在一个整数x，使得为整数，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余．现从4到19这16个整数中随机抽取一个整数a，记事件“”，“a是10的二次剩余”，则______，______．
14. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于点A，B．若点H满足，且，，的面积之比为，则椭圆C的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列满足．
（1）求；
（2）求的通项公式；
（3）设，求数列的前n项和．
16. 如图，在三棱台中，平面，，，，，为棱的中点．
（1）求该三棱台的体积．
（2）证明：平面．
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
17. 某旅行社举办“寻找旅游热爱者”活动，活动工作人员准备了南方景点库、北方景点库两个景点库，用此筛选符合要求的参与者，并为符合要求的参与者准备了精美的纪念品．参与者需要先从这两个景点库中随机选择一个景点库，再从所选景点库中等可能地抽取一个景点，这是第一次抽取．将第一次抽取的景点放回原来的景点库，再进行第二次抽取．若两次抽取的景点都是参与者曾经去过的景点，则参与者符合活动要求并获得精美的纪念品．已知南方景点库共有12个景点，参与者小方去过其中9个景点，北方景点库共有8个景点，小方去过其中4个景点．第一次选择南方景点库和选择北方景点库的概率均为．
（1）求小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的概率．
（2）在小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的条件下，求小方第一次抽取的景点是南方景点库的景点的概率．
（3）将小方第一次抽取到的曾经去过的景点放回原来的景点库，再进行第二次抽取时，有如下两种方案：方案一，从第一次抽取的景点库中抽取；方案二，从另外一个景点库中抽取．试比较两个方案，哪个方案使得小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率更大．
18. 已知双曲线的焦距为，是双曲线上任意一点，，分别为双曲线的左、右焦点，且．
（1）求双曲线的标准方程．
（2）设双曲线左、右顶点分别为．若为直线上一点，不在轴上，直线与直线分别与交于（不与重合）两点，试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
19. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与“契合函数”，为“契合点”．
（1）若函数和为“契合函数”，求的取值范围．
（2）已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”．
①求的取值范围；
②若，证明：．