广东省深圳市2026年高三第五次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份广东省深圳市2026年高三第五次模拟考试数学试卷（含答案解析），共7页。试卷主要包含了已知集合A，B=,则A∩B=，已知是边长为的正三角形，若，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（ ）
A．﹣21B．﹣24C．85D．﹣85
2．已知为等差数列，若，，则( )
A．1B．2C．3D．6
3．设命题：，，则为
A．，B．，
C．，D．，
4．中，点在边上，平分，若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．在中，，，，若，则实数( )
A．B．C．D．
6．在中，为上异于，的任一点，为的中点，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．下列函数中既关于直线对称，又在区间上为增函数的是( )
A．.B．
C．D．
8．已知复数，其中，，是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知集合A，B=,则A∩B=
A．B．C．D．
10．已知是边长为的正三角形，若，则
A．B．
C．D．
11．在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（ ）
A．2B．4C．D．8
12．以下关于的命题，正确的是
A．函数在区间上单调递增
B．直线需是函数图象的一条对称轴
C．点是函数图象的一个对称中心
D．将函数图象向左平移需个单位，可得到的图象
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知为正实数，且，则的最小值为____________.
14．已知，则展开式的系数为__________．
15．记等差数列和的前项和分别为和，若，则______.
16．已知等差数列满足，，则的值为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中底面是菱形，，是边长为的正三角形，，为线段的中点．
求证：平面平面；
是否存在满足的点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．（12分）已知点到抛物线C：y1=1px准线的距离为1．
（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；
（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB，分别交x轴于M，N两点，求的值．
19．（12分）如图，椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，且，为等边三角形，过点的直线与椭圆在轴右侧的部分交于、两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的取值范围．
20．（12分）已知数列满足，等差数列满足，
（1）分别求出，的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，数列的前n项和为证明：．
21．（12分）已知，，设函数，.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为1，证明：.
22．（10分）已知抛物线的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：（c为椭圆焦距的一半）的距离为4.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q.若，求直线AB的方程.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
由等比数列的性质求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可.
【详解】
设等比数列{an}的公比为q，
∵a5＝16，a3a4＝﹣32，
∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32，
∴q＝﹣2，则，
则，
故选：D.
本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题.
2．B
【解析】
利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．
【详解】
∵{an}为等差数列，,
∴，
解得＝﹣10，d＝3，
∴＝+4d＝﹣10+11＝1．
故选：B．
本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．D
【解析】
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：，，则为：，.
故本题答案为D.
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.
4．B
【解析】
由平分，根据三角形内角平分线定理可得，再根据平面向量的加减法运算即得答案.
【详解】
平分，根据三角形内角平分线定理可得，
又，，，，
.
.
故选：.
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.
5．D
【解析】
将、用、表示，再代入中计算即可.
【详解】
由，知为的重心，
所以，又，
所以，
，所以，.
故选：D
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
6．A
【解析】
根据题意，用表示出与，求出的值即可.
【详解】
解：根据题意，设，则
，
又，
，
，
故选：A.
本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.
7．C
【解析】
根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.
【详解】
A中，当时，，所以不关于直线对称，则错误；
B中，，所以在区间上为减函数，则错误；
D中，，而，则，所以不关于直线对称，则错误；
故选：C.
本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.
8．D
【解析】
试题分析：由,得,则，故选D.
考点：1、复数的运算；2、复数的模.
9．A
【解析】
先解A、B集合，再取交集。
【详解】
,所以B集合与A集合的交集为，故选A
一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。
10．A
【解析】
由可得，因为是边长为的正三角形，所以，故选A．
11．B
【解析】
根据题意得到，，解得答案.
【详解】
，，解得或（舍去）.
故.
故选：.
本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.
12．D
【解析】
利用辅助角公式化简函数得到，再逐项判断正误得到答案.
【详解】
A选项，函数先增后减，错误
B选项，不是函数对称轴，错误
C选项，，不是对称中心，错误
D选项，图象向左平移需个单位得到，正确
故答案选D
本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
，所以有，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】
由已知，，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，采用的是“1”的替换，也可以消元等，是一道中档题.
14．
【解析】
先根据定积分求出的值，再用二项展开式公式即可求解.
【详解】
因为
所以
的通项公式为
当时，
当时，
故展开式中的系数为
故答案为：
此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目.
15．
【解析】
结合等差数列的前项和公式,可得,求解即可.
【详解】
由题意,,,
因为,所以.
故答案为:.
本题考查了等差数列的前项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.
16．11
【解析】
由等差数列的下标和性质可得，由即可求出公差，即可求解；
【详解】
解：设等差数列的公差为，
，
又因为，解得
故答案为：
本题考查等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．证明见解析；2.
【解析】
利用面面垂直的判定定理证明即可；
由，知，所以可得出，因此，的充要条件是，继而得出的值.
【详解】
解：证明：因为是正三角形，为线段的中点，
所以．
因为是菱形，所以．
因为，
所以是正三角形，
所以，而，
所以平面．
又，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
由，知．
所以，，
．
因此，的充要条件是，
所以，．
即存在满足的点，使得，此时．
本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，属于难题．
18． (Ⅰ)C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；（Ⅱ）1
【解析】
（Ⅰ）根据抛物线定义求出p，即可求C的方程及焦点F的坐标；
（Ⅱ）设点A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(−1,−1)，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=k(x+1)−1(k≠0)，与抛物线联立可得ky1-4y+4k-8=0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解|MF|•|NF|的值．
【详解】
(Ⅰ)由已知得，所以p=1.
所以抛物线C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；
(II)设点A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(−1,−1)，
由题意直线AB斜率存在且不为0.
设直线AB的方程为y=k(x+1)−1(k≠0).
由得，
则,.
因为点A,B在抛物线C上,所以
,.
因为PF⊥x轴，
所以
，
所以|MF|⋅|NF|的值为1.
本题考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线中的定值问题，常用韦达定理设而不求来求解，本题解题关键是找出弦长与斜率之间的关系进行求解，属于中等题.
19．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据坐标和为等边三角形可得，进而得到椭圆方程；
（2）①当直线斜率不存在时，易求坐标，从而得到所求面积；②当直线的斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定的取值范围；利用，代入韦达定理的结论可求得关于的表达式，采用换元法将问题转化为，的值域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.
【详解】
（1），，
为等边三角形，，椭圆的标准方程为．
（2）设四边形的面积为．
①当直线的斜率不存在时，可得，，
．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，，
联立得：，
，，．
，，，，
面积．
令，则，，
令，则，，
在定义域内单调递减，．
综上所述：四边形面积的取值范围是．
本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的四边形面积的取值范围的求解问题；关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，将问题转化为函数值域的求解问题.
20． (1) （2）证明见解析
【解析】
（1）因为，所以，
所以，即，又因为，
所以数列为等差数列，且公差为1，首项为1，
则，即.
设的公差为，则，
所以（），则（），
所以，因此，
综上，．
（2）设数列的前n项和为，则
两式相减得
，所以，
设则，
所以.
21．（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）利用零点分段法，求出各段的取值范围然后取并集可得结果.
（2）利用绝对值三角不等式可得，然后使用柯西不等式可得结果.
【详解】
（1）由，所以
由
当时，则
所以
当时，则
当时，则
综上所述：
（2）由
当且仅当时取等号
所以
由，
所以
所以
令
根据柯西不等式，则
当且仅当，即取等号
由
故，又
则
本题考查使用零点分段法求解绝对值不等式以及柯西不等式的应用，属基础题.
22．（1）；（2）或.
【解析】
（1）由抛物线的准线方程求出的值，确定左焦点坐标，再由点F到直线l：的距离为4，求出即可；
（2）设直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数关系和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程.
【详解】
（1）抛物线的准线方程为，
，直线，点F到直线l的距离为，
，
所以椭圆的标准方程为；
（2）依题意斜率不为0，又过点，设方程为，
联立，消去得，，
，设，
，
，
，
线段AB的中垂线交直线l于点Q，所以横坐标为3，
，，
，平方整理得，
解得或（舍去），，
所求的直线方程为或.
本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式，合理运用两点间的距离公式，考查计算求解能力，属于中档题.